2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)61用樣本估計(jì)總體理含解析新人教版

PAGE課后限時(shí)集訓(xùn)(六十一)用樣本估計(jì)總體建議用時(shí)：40分鐘一、選擇題1．某班的全體學(xué)生參與英語測(cè)試，成果的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45B．50C．55D．60B[由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴該班學(xué)生人數(shù)n＝eq\f(15,0.3)＝50.]2．甲、乙、丙、丁四人參與某運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目的選拔賽，四人的平均成果和方差如下表所示：甲乙丙丁平均環(huán)數(shù)eq\x\to(x)8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4從這四個(gè)人中選擇一人參與該運(yùn)動(dòng)會(huì)射擊項(xiàng)目競(jìng)賽，最佳人選是()A．甲B．乙C．丙D．丁C[由題表中數(shù)據(jù)可知，丙的平均環(huán)數(shù)最高，且方差最小，說明技術(shù)穩(wěn)定，且成果好．]3．小凱利用上下班時(shí)間跑步健身，隨身佩戴的手環(huán)記錄了近11周的跑步里程(單位：km)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．依據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是()A．剔除第8周數(shù)據(jù)，周跑步里程逐周增加B．周跑步里程的極差為20kmC．周跑步里程的平均數(shù)低于第7周對(duì)應(yīng)的里程數(shù)D．周跑步里程的中位數(shù)為第6周對(duì)應(yīng)的里程數(shù)C[剔除第8周數(shù)據(jù)，周跑步里程逐周有增有減，A錯(cuò)；周跑步里程的極差比20km稍小，B錯(cuò)；周跑步里程的中位數(shù)為第5周對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，D錯(cuò)．故選C．]4．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是()A．極差B．方差C．平均數(shù)D．中位數(shù)C[由題中莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布，可知方差不同，極差不同，甲的中位數(shù)為eq\f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位數(shù)為eq\f(14＋18,2)＝16，eq\x\to(x)甲＝eq\f(5＋16＋12＋25＋21＋37,6)＝eq\f(58,3)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq\f(58,3)，所以甲、乙的平均數(shù)相同．故選C．]5．某教研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取某校20個(gè)班級(jí)，調(diào)查各班關(guān)注漢字聽寫大賽的學(xué)生人數(shù)，依據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖如圖所示，則原始莖葉圖可能是()ABCDA[由頻率分布直方圖可知，[0,5)的頻數(shù)為20×0.01×5＝1，[5,10)的頻數(shù)為20×0.01×5＝1，[10,15)的頻數(shù)為20×0.04×5＝4，[15,20)的頻數(shù)為20×0.02×5＝2，[20,25)的頻數(shù)為20×0.04×5＝4，[25,30)的頻數(shù)為20×0.03×5＝3，[30,35)的頻數(shù)為20×0.03×5＝3，[35,40]的頻數(shù)為20×0.02×5＝2，則對(duì)應(yīng)的莖葉圖為A．]6．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入改變狀況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下列結(jié)論不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入削減B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半A[設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入的總量為2x.建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確；建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確；建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確；建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入總量的58%，故D正確．]二、填空題7．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝5，則樣本數(shù)據(jù)2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均數(shù)為．11[由x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝5，得2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均數(shù)為2eq\x\to(x)＋1＝2×5＋1＝11.]8．(2024·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展快速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為．0.98[經(jīng)停該站高鐵列車全部車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.]9．對(duì)某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25,30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)[25,30)年齡組對(duì)應(yīng)小矩形的高度為；(2)據(jù)此估計(jì)該市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中志愿者年齡在[25,35)的人數(shù)為．(1)0.04(2)440[設(shè)[25,30)年齡組對(duì)應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.則志愿者年齡在[25,35)年齡組的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25,35)年齡組的人數(shù)約為0.55×800＝440.]三、解答題10．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)．試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)依據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？[解](1)設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)，B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(y)，由觀測(cè)結(jié)果可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)×(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.由以上計(jì)算結(jié)果可得eq\x\to(x)>eq\x\to(y)，因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“2.”“3.”上，而B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“0.”“1.”上，由此可看出A藥的療效更好．11．某高校藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參與某次測(cè)評(píng)，依據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，運(yùn)用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例．[解](1)依據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4.所以從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4.(2)依據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為400×eq\f(5,100)＝20.(3)由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為60×eq\f(1,2)＝30.所以樣本中的男生人數(shù)為30×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2.所以依據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計(jì)為3∶2.1．下圖是追蹤調(diào)查200個(gè)某種電子元件壽命(單位：h)所得到的頻率分布直方圖，其中300h～400h,400h～500h兩組數(shù)據(jù)丟失，下面四個(gè)說法中有且只有一個(gè)與原數(shù)據(jù)相符，這個(gè)說法是()①壽命在300h～400h的頻數(shù)是90；②壽命在400h～500h所對(duì)應(yīng)的矩形的面積是0.2；③用頻率分布直方圖估計(jì)該種電子元件的平均壽命為(150×0.1＋250×0.15＋350×0.45＋450×0.15＋550×0.15)h；④壽命超過400h的頻率為0.3.A．①B．②C．③D．④B[若①正確，則300h～400h對(duì)應(yīng)的頻率為0.45，400h～500h對(duì)應(yīng)的頻率為0.15，則②錯(cuò)誤，電子元件的平均壽命約為(150×0.1＋250×0.15＋350×0.45＋450×0.15＋550×0.15)h，則③正確，壽命超過400h的頻率為0.15＋0.15＝0.3，則④正確，故不符合題意；若②正確，則300h～400h對(duì)應(yīng)的頻率為0.4，則①錯(cuò)誤，電子元件的平均壽命約為(150×0.1＋250×0.15＋350×0.4＋450×0.2＋550×0.15)h，則③錯(cuò)誤，壽命超過400h的頻率為0.2＋0.15＝0.35，則④錯(cuò)誤，故符合題意．故選B．]2．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)記為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位：℃①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有1個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，總體方差為10.8.其中確定進(jìn)入夏季的地區(qū)有()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[甲地的5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，眾數(shù)為22，則甲地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)中必有22,22,24，其余2天的記錄數(shù)據(jù)大于24，且不相等，故甲地符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)．乙地的5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體均值為24，當(dāng)5個(gè)數(shù)據(jù)為19,20,27,27,27時(shí)，其連續(xù)5天的日平均溫度中有低于22℃丙地的5個(gè)數(shù)據(jù)中有1個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體均值為26，設(shè)其余4個(gè)數(shù)據(jù)分別為x1，x2，x3，x4，則總體方差s2＝eq\f(1,5)×[(32－26)2＋(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2]＝7.2＋eq\f(1,5)[(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2]．若x1≤21，則s2≥7.2＋5＝12.2，即s2>10.8，不滿足題意，所以x1，x2，x3，x4均大于或等于22，故丙地符合進(jìn)入夏季的標(biāo)準(zhǔn)．綜上所述，確定進(jìn)入夏季的地區(qū)有①③.故選B．]3．某小區(qū)為了讓居民了解更多垃圾分類的學(xué)問，對(duì)500名小區(qū)居民進(jìn)行了培訓(xùn)，并進(jìn)行了培訓(xùn)結(jié)果測(cè)試，從中隨機(jī)抽取50名居民的成果(單位：分)，依據(jù)[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5組，并制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是(填序號(hào))．①所抽取的50名居民成果的平均數(shù)約為74②所抽取的50名居民成果的中位數(shù)約為75③所抽取的50名居民成果的眾數(shù)約為65、75④參與培訓(xùn)的居民中約有100人的成果不低于85分①④[由頻率分布直方圖可得，成果在[80,90)內(nèi)的頻率為1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，則x＝0.02.故可估計(jì)所抽取的50名居民成果的平均數(shù)為(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74，所以①正確．由頻率分布直方圖可知，成果在[50,60)內(nèi)的頻率為0.1，成果在[60,70)內(nèi)的頻率為0.3，成果在[70,80)內(nèi)的頻率為0.3，所以中位數(shù)在[70,80)內(nèi)．設(shè)中位數(shù)約為70＋y，則0.03y＝0.5－0.1－0.3＝0.1，解得y≈3.33，所以所求中位數(shù)約為73.33，所以②錯(cuò)誤．最高矩形是其次個(gè)、第三個(gè)(從左往右數(shù))，這兩個(gè)最高矩形數(shù)據(jù)的中間值為70，所以所求眾數(shù)約為70，所以③錯(cuò)誤．由頻率分布直方圖可得成果在[80,90)內(nèi)的頻率為0.2，則成果在[85,90)內(nèi)的頻率為0.1，又成果在[90,100]內(nèi)的頻率為0.1，所以參與培訓(xùn)的居民中成果不低于85分的約有500×0.1＋500×0.1＝100(人)．故④正確．]4．某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿足度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，依據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿足評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的頻率分布表．A地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的頻率分布表滿足度評(píng)分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿足度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出詳細(xì)值，給出結(jié)論即可)；B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的頻率分布直方圖圖②(2)依據(jù)用戶滿足度評(píng)分，將用戶的滿足度分為三個(gè)等級(jí)：滿足度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿足度等級(jí)不滿足滿足特別滿足估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿足度等級(jí)為不滿足的概率大？說明理由．[解](1)作出頻率分布直方圖如圖：通過兩地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿足度評(píng)分比較分散．(2)A地區(qū)用戶的滿足度等級(jí)為不滿足的概率大．記CA表示事務(wù)：“A地區(qū)用戶的滿足度等級(jí)為不滿足”；CB表示事務(wù)：“B地區(qū)用戶的滿足度等級(jí)為不滿足”．由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估計(jì)值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區(qū)用戶的滿足度等級(jí)為不滿足的概率大．1．近年來，我國國內(nèi)文化和旅游市場(chǎng)潛力不斷釋放，大眾出游熱忱持續(xù)高漲，行業(yè)發(fā)展整體呈好的趨勢(shì)，以下為2011－2024年我國國內(nèi)旅游收入狀況統(tǒng)計(jì)圖．依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論正確的是()A．與2024年相比，2024年國內(nèi)旅游收入增幅約為19.61%B．2011－2024年國內(nèi)旅游收入的中位數(shù)為3.3萬億元C．2011－2024年國內(nèi)旅游收入的平均數(shù)約為3.5萬億元D．若每年國內(nèi)旅游收入y(萬億元)與年份x線性相關(guān)，且滿足eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))(x－2010)＋1.205，則估計(jì)2024年的國內(nèi)旅游收入為7.2萬億元A[選項(xiàng)A，由圖可知，2024年國內(nèi)旅游收入比2024年增長了1萬億元，增幅約為eq\f(1,5.1)×100%≈0.1961×100%＝19.61%，故A選項(xiàng)正確．選項(xiàng)B，將2011－2024年這九年的國內(nèi)旅游收入的金額依據(jù)由小到大的依次排列，可得中位數(shù)是3.4萬億元，故B選項(xiàng)不正確．選項(xiàng)C,2011－2024年國內(nèi)旅游收入的平均數(shù)約為eq\f(1.9＋2.3＋2.6＋3.3＋3.4＋3.9＋4.6＋5.1＋6.1,9)≈3.69(萬億元)，故C選項(xiàng)不正確．選項(xiàng)D，由題意可得eq\x\to(x)＝eq\f(2011＋2012＋2013＋2014＋2015＋2016＋2017＋2018＋2019,9)＝2015，將(2015,3.69)代入eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))(x－2010)＋1.205，得5b＋1.205＝3.69，可得eq\o(b,\s\up7(^))＝0.497，所以eq\o(y,\s\up7(^))＝0.497(x－2010)＋1.205，將x＝2020代入，可得eq\o(y,\s\up7(^))＝6.175，D選項(xiàng)不正確．]2．隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享自行車”在許多城市相繼出現(xiàn)．某“共享自行車”運(yùn)營公司為了了解某地區(qū)用戶對(duì)該公司所供應(yīng)的服務(wù)的滿足度，隨機(jī)調(diào)查了40名用戶，得到用戶的滿足度評(píng)分如下：用戶編號(hào)評(píng)分用戶編號(hào)評(píng)分用戶編號(hào)評(píng)分用戶編號(hào)評(píng)分178118821793193273128622833278381139523723375492147624