高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用第1課時教學設(shè)計新人教A版必修4

1.6三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用（第1課時）一、教學分析三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,可以用來探討許多問題,在刻畫周期改變規(guī)律、預(yù)料其將來等方面都發(fā)揮著非常重要的作用.三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用的設(shè)置目的,在于加強用三角函數(shù)模型刻畫周期改變現(xiàn)象的學習.本節(jié)教材通過4個例題,按部就班地從四個層次來介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的選擇上留意了廣泛性、真實性和新奇性,同時又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特殊是周期性)的應(yīng)用.通過引導(dǎo)學生解決有肯定綜合性和思索水平的問題,培育他們綜合應(yīng)用數(shù)學和其他學科的學問解決問題的實力.培育學生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等實力.由于實際問題經(jīng)常涉及一些困難數(shù)據(jù),因此要激勵學生利用計算機或計算器處理數(shù)據(jù),包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點圖,依據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合等.二、教學目標1．學問與技能．切身感受數(shù)學建模的全過程，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用及數(shù)學和日常生活和其它學科的聯(lián)系。．三、教學重點與難點教學重點:分析、整理、利用信息,從實際問題中抽取基本的數(shù)學關(guān)系來建立三角函數(shù)模型,用三角函數(shù)模型解決一些具有周期改變規(guī)律的實際問題.教學難點:將某些實際問題抽象為三角函數(shù)的模型,并調(diào)動相關(guān)學科的學問來解決問題.四、教學設(shè)想三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用（一）一、導(dǎo)入新課思路1.(問題導(dǎo)入)既然大到宇宙天體的運動,小到質(zhì)點的運動以及現(xiàn)實世界中具有周期性改變的現(xiàn)象無處不在,那么原委怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性改變的問題？它究竟能發(fā)揮哪些作用呢？由此綻開新課.思路2.我們已經(jīng)學習了三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì),特殊探討了三角函數(shù)的周期性.在現(xiàn)實生活中,假如某種改變著的現(xiàn)象具有周期性,那么是否可以借助三角函數(shù)來描述呢？回憶必修1第三章其次節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”,面臨一個實際問題,應(yīng)當如何選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？以下通過幾個詳細例子,來探討這種三角函數(shù)模型的簡潔應(yīng)用.二、推動新課、新知探究、提出問題①回憶從前所學,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型都是常用來描述現(xiàn)實世界中的哪些規(guī)律的?②數(shù)學模型是什么,建立數(shù)學模型的方法是什么?③上述的數(shù)學模型是怎樣建立的?④怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù)?活動:師生互動,喚起回憶,充分復(fù)習前面學習過的建立數(shù)學模型的方法與過程.對課前已經(jīng)做好復(fù)習的學生賜予表揚,并激勵他們類比以前所學學問方法,接著探究新的數(shù)學模型.對還沒有進入狀態(tài)的學生,老師要幫助回憶并快速激起相應(yīng)的學問方法.在老師的引導(dǎo)下,學生能夠較好地回憶起解決實際問題的基本過程是:收集數(shù)據(jù)→畫散點圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗→用函數(shù)模型說明實際問題.這點很重要,學生只要有了這個認知基礎(chǔ),本節(jié)的簡潔應(yīng)用便可迎刃而解.新課標下的教學要求,不是老師給學生解決問題或帶領(lǐng)學生解決問題,而是老師引領(lǐng)學生逐步登高,在合作探究中自己解決問題,探求新知.探討結(jié)果:①描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型.②簡潔地說,數(shù)學模型就是把實際問題用數(shù)學語言抽象概括,再從數(shù)學角度來反映或近似地反映實際問題時,所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學描述.數(shù)學模型的方法,是把實際問題加以抽象概括,建立相應(yīng)的數(shù)學模型,利用這些模型來探討實際問題的一般數(shù)學方法.③解決問題的一般程序是:①審題:逐字逐句的閱讀題意,審清晰題目條件、要求、理解數(shù)學關(guān)系；②建模:分析題目改變趨勢,選擇適當函數(shù)模型；③求解:對所建立的數(shù)學模型進行分析探討得到數(shù)學結(jié)論；4°還原:把數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的解答.④畫出散點圖,分析它的改變趨勢,確定合適的函數(shù)模型.三、應(yīng)用示例例1如圖1,某地一天從6—14時的溫度改變曲線近似滿意函數(shù)y=sin(ωx+φ)+b.圖1(1)求這一天的最大溫差;(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.活動:這道例題是2002年全國卷的一道高考題,探究時老師與學生一起探討.本例是探討溫度隨時間呈周期性改變的問題.老師可引導(dǎo)學生思索,本例給出模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決的問題是什么？怎樣解決？然后完全放給學生自己探討解決.題目給出了某個時間段的溫度改變曲線這個模型.其中第(1)小題事實上就是求函數(shù)圖象的解析式,然后再求函數(shù)的最值差.老師應(yīng)引導(dǎo)學生視察思索:“求這一天的最大溫差”實際指的是“求6是到14時這段時間的最大溫差”,可依據(jù)前面所學的三角函數(shù)圖象干脆寫出而不必再求解析式.讓學生體會不同的函數(shù)模型在解決詳細問題時的不同作用.第(2)小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù),即可確定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通過建立方程得解.解:(1)由圖可知,這段時間的最大溫差是20℃.(2)從圖中可以看出,從6—14時的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象,∴A=(30-10)=10,b=(30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.將x=6,y=10代入上式,解得φ=.綜上,所求解析式為y=10sin(x+)+20,x∈[6,14].點評:本例中所給出的一段圖象事實上只取6—14即可,這恰好是半個周期,提示學生留意抓關(guān)鍵.本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度改變狀況,因此應(yīng)當特殊留意自變量的改變范圍,這點往往被學生忽視掉.例2函數(shù)y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間是()A.(,)B.(,)C.(π,)D.(,2π)答案:C例3如圖2,設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為θ,δ為此時太陽直射緯度,φ為該地的緯度值,那么這三個量之間的關(guān)系是θ=90°-|φ-δ|.當?shù)叵陌肽軎娜≌?冬半年δ取負值.假如在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40°)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離不應(yīng)小于多少?活動:如圖2本例所用地理學問、物理學問較多,綜合性比較強,需調(diào)動相關(guān)學科的學問來幫助理解問題,這是本節(jié)的一個難點.在探討時要讓學生充分熟識實際背景,理解各個量的含義以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.圖2首先由題意要知道太陽高度角的定義:設(shè)地球表面某地緯度值為φ,正午太陽高度角為θ,此時太陽直射緯度為δ,那么這三個量之間的關(guān)系是θ=90°-|φ-δ|.當?shù)叵陌肽軎娜≌?冬半年δ取負值.依據(jù)地理學問,能夠被太陽直射到的地區(qū)為南、北回來線之間的地帶,圖形如圖3,由畫圖易知太陽高度角θ、樓高h0與此時樓房在地面的投影長h之間有如下關(guān)系:h0=htanθ.由地理學問知,在北京地區(qū),太陽直射北回來線時物體的影子最短,直射南回來線時物體的影子最長.因此,為了使新樓一層正午的太陽全年不被遮擋,應(yīng)當考慮太陽直射南回來線時的狀況.圖3解:如圖3,A、B、C分別為太陽直射北回來線、赤道、南回來線時樓頂在地面上的投影點.要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋,應(yīng)取太陽直射南回來線的狀況考慮,此時的太陽直射緯度－23°26′.依題意兩樓的間距應(yīng)不小于MC.依據(jù)太陽高度角的定義,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC＝=≈2.000h0,即在蓋樓時,為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當于樓高兩倍的間距.點評:本例是探討樓高與樓在地面的投影長的關(guān)系問題,是將實際問題干脆抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡潔函數(shù)模型,然后依據(jù)所得的函數(shù)模型解決問題.要干脆依據(jù)圖2來建立函數(shù)模型,學生會有肯定困難,而解決這一困難的關(guān)鍵是聯(lián)系相關(guān)學問,畫出圖3,然后由圖形建立函數(shù)模型,問題得以求解.這道題的結(jié)論有肯定的實際應(yīng)用價值.教學中,老師可以在這道題的基礎(chǔ)上再提出一些問題,如下例的變式訓(xùn)練,激發(fā)學生進一步探究.變式訓(xùn)練某市的緯度是北緯23°,小王想在某住宅小區(qū)買房,該小區(qū)的樓高7層,每層3米,樓與樓之間相距15米.要使所買樓層在一年四季正午太陽不被前面的樓房遮擋,他應(yīng)選擇哪幾層的房？圖4解:如圖4,由例3知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每層樓高為3米,依據(jù)以上數(shù)據(jù),所以他應(yīng)選3層以上.四、課堂小結(jié)1.本節(jié)課學習了三個層次的三角函數(shù)模型的應(yīng)用,即依據(jù)圖象建立解析式,依據(jù)解析式作出圖象,將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡潔函數(shù)模型.你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟嗎？2.實際問題的背景往往比較困難,而且須要綜合應(yīng)用多學科的學問才能解決它.因此,在應(yīng)用數(shù)學學問解決實際問題時,應(yīng)當留意從困難的背景中抽取基本的數(shù)學關(guān)系,還要調(diào)動相關(guān)學科學問來幫助理解問題.五、作業(yè)1.圖5表示的是電流I與時間t的函數(shù)關(guān)系圖5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在一個周期內(nèi)的圖象.(1)依據(jù)圖象寫出I=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)為了使I=Asin(ωx+φ)中的t在隨意一段s的時間內(nèi)電流I能同時取得最大值和最小值,那么正整數(shù)ω的最小值為多少?解:(1)由圖知A=300,第一個零點為(－,0),其次個零點為(,0),∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=,∴I=300sin(100πt+).(2)依題意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ωmin=629.2.搜集、歸納、分類現(xiàn)實生活中周期改變的情境模型.解:如以下兩例:①人體內(nèi)部的周期性節(jié)律改變和個人的習慣性的生理改變,如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節(jié)奏、饑餓程度等；②蛻皮(tuipi)昆蟲綱和甲殼綱等節(jié)肢動物,以及線形動物等的體表具有堅硬的幾丁質(zhì)層,雖有愛護身體的作用,但限制動物的生長、發(fā)育