24.4 相似三角形判定（第2課時）同步練習

24.4相似三角形判定（第2課時）【夯實基礎】一、選擇題1．（2021·上海九年級專題練習）如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海九年級專題練習）如圖，四邊形的對角線相交于點，且將這個四邊形分成四個三角形，若，則下列結論中正確的是（）A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOCC．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD二、填空題3．在與中，，，，，，，則與是否相似？______，理由是______．4．（2021·上海九年級專題練習）如圖，點D在的邊上，當______時，與相似．三、解答題5.如圖，點是的邊上的一點，且．求證：．6．如圖，已知，，與相似嗎，為什么？7．如圖，，，．當與、之間滿足怎樣的解析式時，∽？8．已知：如下圖所示，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點.ΔADQ與ΔQCP是否相似？為什么？9．如圖，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE.（1）寫出圖中兩對相似三角形（不得添加字母和線）；（2）請證明你寫出的兩對相似三角形.【能力提升】1.如圖，是內(nèi)一點，是外一點，，， 求證：．2.已知，在中，、是的兩條高，、交于點．求證：（1）；（2）．3.如圖，點是的垂心（垂心即三角形三條高所在直線的交點），聯(lián)結交 的延長線于點，聯(lián)結交的延長線于點，聯(lián)結．求證：．4.如圖，，點、分別對應點、．求證：．5.如圖，在中，，是邊上的高，點在線段上，，，垂足分別為、．求證：（1）；（2）．

24.4相似三角形判定（第2課時）（解析版）【夯實基礎】一、選擇題1．（2021·上海九年級專題練習）如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可求解．【詳解】解:在與中，∵，且，∴．故選:A．【點睛】此題考查了相似三角形的判定:（1）平行線法:平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法:三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法:兩組對應邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；（4）兩角法:有兩組角對應相等的兩個三角形相似．2．（2021·上海九年級專題練習）如圖，四邊形的對角線相交于點，且將這個四邊形分成四個三角形，若，則下列結論中正確的是（）A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOCC．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理：兩邊對應成比例且夾角相等，即可判斷△AOB∽△COD．【詳解】解：∵四邊形的對角線相交于點，∴∠AOB=∠COD，在△AOB和△COD中，∴△AOB∽△COD．故選：D．【點睛】本題考查相似三角形的判定．熟練掌握兩邊對應成比例且夾角相等則這兩個三角形相似是解題的關鍵．二、填空題3．在與中，，，，，，，則與是否相似？______，理由是______．【答案】

相似

兩個三角形兩邊對應成比例且夾角相等，則這兩三角形相似【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出答案.【詳解】解：∵，，，，，∴∴故答案為；.相似；兩個三角形兩邊對應成比例且夾角相等，則這兩三角形相似【點睛】本題是相似三角形的判定的基礎題，在中考中比較常見，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度一般.4．（2021·上海九年級專題練習）如圖，點D在的邊上，當______時，與相似．【答案】【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要滿足即可．【詳解】由∠BAC=∠CAD共用，當時，∽．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形判定問題，關鍵是掌握相似三角形的判定定理．三、解答題5.如圖，點是的邊上的一點，且．求證：．【解析】證明：， ， ， ．【總結】考查相似三角形判定定理2，根據(jù)題目條件進行比例變形，對應邊成比例夾角相等．6．如圖，已知，，與相似嗎，為什么？【答案】相似，理由見解析.【分析】將進行變形，再根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出答案.【詳解】相似，理由如下：∵，∴．又，∴．∴∽．【點睛】考查相似三角形的判斷方法，掌握相似三角形常用的判定方法是解題的關鍵.7．如圖，，，．當與、之間滿足怎樣的解析式時，∽？【答案】【分析】要想證明△ACB∽△CBD，由于已知∠ACB=∠CBD=90°，所以只需要這兩個角的夾邊對應成比例即可，也就是，由此可得解.【詳解】∵∠ACB=∠CBD=90°，∴當時，即當時，△ACB∽△CBD，∴．因此當時，△ACB∽△CBD．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.8．已知：如下圖所示，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點.ΔADQ與ΔQCP是否相似？為什么？【答案】∽【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠C=∠90°，AD=AB=BC=CD，由BP=3PC可得BC=4PC，由Q是CD的中點可得DQ=CQ=CD=2PC，即可得到，從而得到結果.【詳解】在正方形ABCD中，∠C=∠90°，AD=AB=BC=CD∵BP=3PC∴BC=4PC∴AD=AB=BC=DC=4PC∵Q是CD的中點∴DQ=CQ=CD=2PC∵，即∴∽.9．如圖，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE.（1）寫出圖中兩對相似三角形（不得添加字母和線）；（2）請證明你寫出的兩對相似三角形.【分析】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）∠BAD=∠CAE，在此等式兩邊各加∠DAC，可證∠BAC=∠DAE，再結合已知中的∠ABC=∠ADE，可證△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再結合∠BAD=∠CAE，也可證△BAD∽△CAE．【詳解】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）①證△ABC∽△ADE，∵∠BAD=∠CAE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．

②證△ABD∽△ACE，∵△ABC∽△ADE，∴．又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【點睛】本題利用了等量加等量和相等、相似三角形的判定和性質(zhì)．【能力提升】1.如圖，是內(nèi)一點，是外一點，，， 求證：．【解析】證明：，， ，． ， 即， ，．【總結】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再應用性質(zhì)得出相關結論證明相似，進行性質(zhì)和判定的相互轉(zhuǎn)化．2.已知，在中，、是的兩條高，、交于點．求證：（1）；（2）．【解析】證明：（1），， ，，即．（2），，． ，即，又， ，．【總結】考查“雙高型”模型的建立，該圖中共有8對相似三角形．3.如圖，點是的垂心（垂心即三角形三條高所在直線的交點），聯(lián)結交 的延長線于點，聯(lián)結交的延長線于點，聯(lián)結．求證：．【解析】證明：是的垂心， ． ， ， ， 即． ， ．【總結】考查“雙高型”模型的建立，在鈍角三角形中仍成立，該圖中共有8對相似三角形，注意進行相似三角形性質(zhì)和判定的轉(zhuǎn)換．4.如圖，，點、分別對應點、．求證：．【解析】證明：， ， ， ．【總結】考查相似三角形性質(zhì)和判定的轉(zhuǎn)換，題目中出現(xiàn)一對相似三角形往往與之關聯(lián)的三角形也是一對相似三角形．5.如圖，在中，，是邊上的高，點在