經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 課件 ch01 函數(shù)、極限及其應(yīng)用

函數(shù)、極限及其應(yīng)用第一章經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課規(guī)劃教材01函數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)的量：出現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題中的各種各樣的量，其中有的量在過程中保持固定的數(shù)值，這種量稱為常量。另一些量在過程中不斷變化，這種量稱為變量。常量通常用a，b，c，…表示，變量通常用x，y，z，…表示。函數(shù)函數(shù)有時(shí)用具體英文名詞的第一、第二個(gè)字母表示該量，例如成本（Cost）用C表示，價(jià)格（Price）用P表示，收益（Revenue）用R表示，利潤（Profit）用Pr表示，等等。常量可看做是變量的特例，常量在數(shù)軸上表示一個(gè)定點(diǎn)，變量在數(shù)軸上則表示一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。變量的變化范圍通常在數(shù)軸上用區(qū)間表示。函數(shù)不等式a<x<b用開區(qū)間（a，b）表示；不等式a≤x≤b用閉區(qū)間[a，b]表示；不等式a≤x<b用半開半閉區(qū)間[a，b）表示。不等式a<x≤b用半開半閉區(qū)間（a，b]表示；整個(gè)數(shù)軸-∞<x<+∞用開區(qū)間（-∞，+∞）表示。函數(shù)定義函數(shù)現(xiàn)實(shí)世界中經(jīng)常有幾個(gè)量同時(shí)變化，而且它們之間是互相關(guān)聯(lián)、互相制約的。因此，我們不但要研究事物本身的量的變化，而且要研究不同的量之間的變化的依賴關(guān)系，這種依賴關(guān)系中的一種簡單而又非常重要的情況，就是數(shù)學(xué)中的所謂函數(shù)關(guān)系。函數(shù)某一時(shí)期銀行的人民幣整存整取定期儲(chǔ)蓄存期與年利率見表1-1。表1-1確定了存期與年利率這兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)不同的存期可以知道整存整取定期儲(chǔ)蓄的年利率。當(dāng)其中一個(gè)變量在某一范圍內(nèi)取某一數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有一個(gè)確定的值與之相對(duì)應(yīng)。函數(shù)函數(shù)設(shè)有兩個(gè)變量x和y，D是一個(gè)給定的非空集合，如果對(duì)于D內(nèi)的每一個(gè)x，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，都有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是x的函數(shù)，記作y=f（x）。x稱為自變量，y稱為因變量，x的變化范圍D叫做函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)的y值的變化范圍叫做函數(shù)y=f（x）的值域，記作Y={y|y=f（x），x∈D}。函數(shù)的兩個(gè)要素函數(shù)函數(shù)定義域D和對(duì)應(yīng)關(guān)系f唯一確定函數(shù)y=f（x），故稱定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的兩個(gè)要素。如果函數(shù)的兩個(gè)要素相同，則它們就是相同的函數(shù)，否則就是不相同的函數(shù)。在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實(shí)際意義確定的。對(duì)于解析式表達(dá)的函數(shù)，其定義域?yàn)闈M足函數(shù)有意義的一切實(shí)數(shù)值。函數(shù)式含有分式，函數(shù)分母不能為0；開偶數(shù)次方根式的被開方數(shù)非負(fù)；對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0。函數(shù)反三角函數(shù)y=arcsinx與y=arccosx中，自變量|x|≤1（在實(shí)際應(yīng)用中要特別注意此處x的含義）；若為應(yīng)用問題，則定義域還需符合生產(chǎn)實(shí)踐的實(shí)際情況。若同一函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)上述兩種或兩種以上情形，則定義域?yàn)樗星樾蔚墓布希ń患?；函?shù)函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的幾種簡單的性質(zhì)：設(shè)函數(shù)y=f（x）在數(shù)集D有定義，它的幾種簡單性質(zhì)見表1-2。基本初等函數(shù)和初等函數(shù)函數(shù)在數(shù)學(xué)上，通常稱下列六個(gè)函數(shù)為基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)（y=C，C為常數(shù)），冪函數(shù)（y=xα）。指數(shù)函數(shù)（y=ax），對(duì)數(shù)函數(shù)（y=logax），三角函數(shù)（y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx等），反三角函數(shù)（y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx等）。基本初等函數(shù)的定義、定義域、性質(zhì)和圖形在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，在這里不再重復(fù)。一般來說，能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)都是初等函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。函數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，成本C可以看做是產(chǎn)量q的函數(shù)，而產(chǎn)量q又是時(shí)間t的函數(shù)。時(shí)間t通過產(chǎn)量q間接影響成本C，那么成本C與時(shí)間t之間存在著間接的函數(shù)關(guān)系。反函數(shù)人們習(xí)慣將x作為自變量，y作為因變量，表示成y=f（x）。但有時(shí)需要將y作為自變量。x作為因變量，表示成x=g（y），數(shù)學(xué)上稱后者為前者的反函數(shù)，也可記作x=f-1（y）或y=f-1（x）

。函數(shù)求已知函數(shù)的反函數(shù)一般步驟為：02將解出的表達(dá)式中x，y符號(hào)對(duì)換，但保持形式不變。01將自變量x視為未知數(shù)，因變量y視為已知數(shù)，利用解方程的手段解出x；函數(shù)02經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)線性函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)具有y=kx+b形式的函數(shù)稱為線性函數(shù)。函數(shù)的定義域D={x|-∞<x<+∞}，它的圖形是一條直線。在經(jīng)濟(jì)中，不少函數(shù)是線性函數(shù)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)圖1-1是直線y=2x+1的圖像。010302總成本函數(shù)總成本函數(shù)的表達(dá)式如下：C=C（q）=C1q+C0收益（銷售收入）函數(shù)商品的收益R是由商品的價(jià)格p和銷售量q所決定的，收益（銷售收入）函數(shù)一般為R=p·q。價(jià)格函數(shù)商品的價(jià)格與市場(chǎng)的供求關(guān)系息息相關(guān)，一般價(jià)格p可以看做銷售量q的函數(shù)：p=p（q）。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)當(dāng)價(jià)格函數(shù)形如p=a-bq的形式時(shí)，它反映了價(jià)格p隨著銷售量q的變化而變化，如圖1-2（a）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)稱為需求函數(shù)，它的圖像是一條向下傾斜的直線，如圖1-2（b）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)需求函數(shù)是從市場(chǎng)消費(fèi)者的角度來考慮的，說明消費(fèi)者愿意以不同的價(jià)格購買某種商品的數(shù)量。如果從市場(chǎng)的角度考慮，當(dāng)商品的數(shù)量供不應(yīng)求時(shí)，商品的價(jià)格自然提高，當(dāng)商品的數(shù)量供過于求時(shí)，商品的價(jià)格會(huì)下降。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)一般地，供給函數(shù)如q=m+n·p的形式（其中m>0，n>0），它的圖像是一條向上的直線，如圖1-3（a）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)當(dāng)市場(chǎng)的商品需求量與商品的供給量平衡時(shí)，商品的價(jià)格就是需求函數(shù)的圖像與供給函數(shù)的圖像的交點(diǎn)E（稱為平衡點(diǎn)）的橫坐標(biāo)，如圖1-3（b）所示。經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)利潤函數(shù)盈虧平衡點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)意義，可通過圖1-4來說明。為了減少庫存費(fèi)，可以考慮分批購進(jìn)。這要從庫存費(fèi)用和進(jìn)貨手續(xù)費(fèi)用兩個(gè)方面來考慮。庫存函數(shù)某工廠一年的生產(chǎn)中，需要一定數(shù)量的某種原材料，若一次把全年的需要量全部購進(jìn)，貯于倉庫中供全年使用，則由于庫存量大而需要多付庫存費(fèi)。如果分批購進(jìn)，則每批的購進(jìn)量（稱為批量）為多少，或購進(jìn)次數(shù)（或稱批次）為多少才最合算？經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的函數(shù)若批量過大，則庫存費(fèi)用過多；若批量過少，則進(jìn)貨次數(shù)過多，從而進(jìn)貨手續(xù)費(fèi)過多。因此要尋求一恰當(dāng)?shù)呐?，使庫存費(fèi)和進(jìn)貨手續(xù)費(fèi)之和最小，這樣的批量我們稱之為經(jīng)濟(jì)批量。03函數(shù)的極限函數(shù)的極限當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)的極限y=1/x（如圖1-6所示）的變化情況。如果當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)x趨向于正無窮大時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極限是A。如果當(dāng)|x|→∞時(shí)，函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極限是A。如果當(dāng)x→-∞時(shí)，如果函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，就說當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極限是A。函數(shù)的極限函數(shù)的極限由圖1-7我們可以看到，當(dāng)x無限趨近于1時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值無限趨近2，因此我們稱，x→1時(shí)，函數(shù)y=f（x）以2為極限。當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）以A為極限的充分必要條件是f（x）在x0處的左、右極限存在且都等于A。左、右極限定理重點(diǎn)用于討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限問題。函數(shù)的極限04無窮小量與無窮大量無窮小量及其性質(zhì)無窮小量是一種特殊的函數(shù)；在某個(gè)變化過程中，它的極限是零。在自變量x的某個(gè)變化過程中，若函數(shù)f（x）的極限為零，則稱函數(shù)f（x）在該變化過程中為無窮小量，簡稱無窮小，即limf（x）=0。無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量如果說一個(gè)函數(shù)f（x）是無窮小，必須指明自變量x的變化趨勢(shì)。如f（x）=x-2，當(dāng)x→2時(shí)，是無窮小，而當(dāng)x趨近于其他數(shù)值時(shí)，因?yàn)闃O限不為0，所以就不是無窮小。無窮小量是變量，不要把一個(gè)絕對(duì)值很小的常數(shù)（0除外）說成無窮小，因?yàn)橐粋€(gè)非零常數(shù)的極限是它本身，并不是零，更不要把絕對(duì)值很大的負(fù)數(shù)說成無窮小。有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍是無窮小。在自變量的同一變化過程中，無窮小具有下列性質(zhì)：有限個(gè)無窮小量的乘積仍是無窮小量；無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量無窮大量如果在自變量x的某種趨向下，函數(shù)f（x）的絕對(duì)值無限增大，那么函數(shù)f（x）就叫做在自變量的這種趨向下的無窮大量，簡稱無窮大。根據(jù)極限的定義，如果f（x）是當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無窮大，那么它的極限是不存在的。注意：02無窮大量是變量，切不可把絕對(duì)值很大的一個(gè)常數(shù)說成是無窮大量。01說一個(gè)函數(shù)f（x）是無窮大，必須指明自變量x的變化趨向；無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大量，則1/f（x）是無窮小量；反之，如果f（x）是無窮小量，且f（x）≠0，則1/f（x）為無窮大量。無窮小量與無窮大量無窮小量的比較：兩個(gè)無窮小量的和、差、積仍是無窮小量，但它們的商情況就不同了?？梢妰蓚€(gè)無窮小量的商，可以是無窮小量，可以是常數(shù)，也可以是無窮大量。這是因?yàn)闊o窮小量在趨向于零的過程中快慢不同。為了比較無窮小量，在這引入無窮小量階的概念。若limα/β=0，則稱α是比β高階的無窮小量，記為α=o（β），也稱β是比α低階的無窮小量；若limα/β=C（C是不為零的常數(shù)），則稱α與β是同階無窮小量，若C=1，則稱α與β是等階無窮小量。無窮小量與無窮大量05極限的運(yùn)算極限的四則運(yùn)算法則極限的運(yùn)算010302以上法則雖然是以x→x0方式給出，但對(duì)任何其他方式。定理結(jié)論成立的前提是函數(shù)f（x）與g（x）的極限必須存在，否則將導(dǎo)出錯(cuò)誤結(jié)論。除法法則中分母的極限必須不為零，否則結(jié)論不成立。極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算兩個(gè)重要極限在極限求解方法中，有兩個(gè)重要的極限不可忽視，它們分別代表一類極限題型的求解，而且在應(yīng)用過程中充滿了趣味與艱辛。如果函數(shù)f（x），g（x），h（x）在同一變化過程中滿足g（x）≤f（x）≤h（x），且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A。06極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用復(fù)利問題設(shè)本金為P，月利率為i，如果以一個(gè)月為一個(gè)復(fù)利結(jié)算周期，那么一年后的本利和F（本金與利息之和）為F=P（1+i）1×12。若每天結(jié)算一次，利率變?yōu)閕/30，一個(gè)月（按30天算）就結(jié)算30次，一年結(jié)算30×12次。極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用通常稱n年末的本利和F為本金P的終值，而本金P稱為現(xiàn)值。已知現(xiàn)值P，確定終值F，這種情況為復(fù)利問題。在日常生活中的各種現(xiàn)象，如人口的增長，細(xì)胞的繁殖，樹木的生長等，都可以歸結(jié)為上述數(shù)學(xué)模型。極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用貼現(xiàn)問題已知現(xiàn)值，確定終值的問題是復(fù)利問題；與之相反，已知終值問題，求現(xiàn)值問題，這種情況我們稱之為貼現(xiàn)問題，這時(shí)的利率i稱為貼現(xiàn)率。由復(fù)利公式可得貼現(xiàn)公式：已知n年末的終值F，利率i，求現(xiàn)值P。07數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事阿基米德——數(shù)學(xué)之神數(shù)學(xué)家的故事阿基米德（公元前287—212），是古希臘物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，被后世尊稱為“數(shù)學(xué)之神”。在人類有史以來最重要的三位數(shù)學(xué)家中，阿基米德占首位，另兩位分別是牛頓和高斯。阿基米德研究出螺旋形曲線的性質(zhì)，現(xiàn)今的“阿基米德螺線”曲線，就是因?yàn)榧o(jì)念他而命名的。阿基米德的幾何著作是希臘數(shù)學(xué)的頂峰。他把歐幾里得嚴(yán)格的推理方法與柏拉圖鮮艷的豐富想象和諧地結(jié)合在一起，達(dá)到了至善至美的境界，從而使得往后由開普勒、卡瓦列利、費(fèi)馬、牛頓、萊布尼茨等人繼續(xù)培育起來的微積分日趨完美。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事阿基米德在他的著作《論杠桿》（可惜失傳）中詳細(xì)地論述了杠桿的原理。有一次敘拉古國王對(duì)杠桿的威力表示懷疑，他要求阿基米德移動(dòng)載滿重物和乘客的一艘新三桅船。阿基米德叫100多人在大船前面，抓住一根繩子，他讓國王牽動(dòng)一根繩子，大船居然慢慢地滑到海中。群眾歡呼雀躍，國王也高興異常，當(dāng)眾宣布：“從現(xiàn)在起，我要求大家，無論阿基米德說什么，都要相信他!”數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事阿基米德還曾利用拋物鏡面的聚光作用，把集中的陽光照射到入侵?jǐn)⒗诺牧_馬船只，讓它們自己燃燒起來。羅馬的許多船只都被燒毀了，但羅馬人卻找不到失火的原因。數(shù)學(xué)家的故事900多年后，有位科學(xué)家按史書介紹的阿基米德的方法制造了一面凹面鏡，成功地點(diǎn)著了距離鏡子45米遠(yuǎn)的木頭，而且燒化了距離鏡子42米遠(yuǎn)的鋁質(zhì)材料。所以，許多科技史家通常都把阿基米德看成是人類利用太陽能的始祖。身處西西里島的敘拉古一直都投靠羅馬，但是公元前216年迦太基大敗羅馬軍隊(duì)。阿基米德眼見國土危急，護(hù)國的責(zé)任感促使他奮起抗敵，于是他絞盡腦汁，夜以繼日地發(fā)明御敵武器。公元前三世紀(jì)末正是羅馬帝國與北非迦太基帝國，為了爭(zhēng)奪西西里島的霸權(quán)而開戰(zhàn)的時(shí)期。敘拉古的新國王，立即見風(fēng)轉(zhuǎn)舵與迦太基結(jié)盟，羅馬帝國于是派馬塞拉斯將軍領(lǐng)軍從海路和陸路同時(shí)進(jìn)攻敘拉古。數(shù)學(xué)家的故事數(shù)學(xué)家的故事祖沖之——中國古代偉大的數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家的故事祖沖之（公元429—500），是我國杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、文學(xué)家、地質(zhì)學(xué)家、地理學(xué)家和科學(xué)家。祖沖之的原籍是范陽郡遒縣（今河北易縣）。在西晉末年，祖家由于故鄉(xiāng)遭到戰(zhàn)爭(zhēng)的破壞，遷到江南居住。宋朝末年，祖沖之回到建康（今南京），擔(dān)任謁者仆射的官職。從這時(shí)起，直到齊朝初年，他花了較大的精力來研究機(jī)械制造，重造指南車，發(fā)明千里船、水碓磨等，做出了出色的貢獻(xiàn)。在數(shù)學(xué)方面的成就，祖沖之