人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修三講義)第21講8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(8.3.1分類變量與列聯(lián)表+8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn))(學(xué)生版+解析)

第03講8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（8.3.1分類變量與列聯(lián)表+8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解分類變量與數(shù)值變量的區(qū)別，了解回歸與相關(guān)的區(qū)別。②通過實(shí)例，理解通過比較相關(guān)比率，利用2×2列聯(lián)表或等高圖可以初步檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.理解通過比較相關(guān)比率判斷隨機(jī)變量獨(dú)立性得到的結(jié)果有可能會犯錯(cuò)誤。③理解通過比較相關(guān)比率判斷隨機(jī)變量獨(dú)立性得到的結(jié)果有可能會犯錯(cuò)誤。本節(jié)課要求會通過比較相關(guān)比率，判斷兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.會對簡單的數(shù)據(jù)分析案例進(jìn)行初步獨(dú)立性分析.恰當(dāng)構(gòu)造卡方統(tǒng)計(jì)量及利用小概率事件原理實(shí)現(xiàn)對兩個(gè)分類變量的是否獨(dú)立的科學(xué)檢驗(yàn).能解決簡單的與獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)的實(shí)際問題知識點(diǎn)1：分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量為了方便,會使用一種特殊的隨機(jī)變量,區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這隨機(jī)變量稱為分類變量.(2)列聯(lián)表①2×2列聯(lián)表給出了兩個(gè)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．②定義一對分類變量和，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：合計(jì)合計(jì)知識點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)定義:利用的取值推斷分類變量和是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”．簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式：其中（注意使用公式時(shí)分子的平方不要忽略了）【即學(xué)即練1】（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）某校隨機(jī)調(diào)查了100名高中生是否喜歡籃球，按照男女區(qū)分得到列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算得.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)知識，對照下表，可以認(rèn)為有（

）把握喜歡籃球與性別有關(guān).0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】B【詳解】，有把握認(rèn)為與性別有關(guān)，故選：B.題型01通過等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否存在差異【典例1】（2014·吉林長春·統(tǒng)考三模）觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2017·廣東佛山·統(tǒng)考一模）現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問題，學(xué)校抽取了部分男?女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的（

）A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛兩理一文D．樣本中的女生偏愛兩文一理【典例3】（2012下·山東青島·高二山東省青島第一中學(xué)?？计谥校榱肆私饽掣咝W(xué)生喜歡使用手機(jī)支付是否與性別有關(guān)，抽取了部分學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)后作出如圖所示的等高條形圖，則下列說法正確的是（

）A．喜歡使用手機(jī)支付與性別無關(guān)B．樣本中男生喜歡使用手機(jī)支付的約C．樣本中女生喜歡使用手機(jī)支付的人數(shù)比男生多D．女生比男生喜歡使用手機(jī)支付的可能性大些【變式1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在等高條形圖中，下列哪兩個(gè)比值相差越大，要推斷的論述成立的可能性就越大（

）A．與 B．與C．與 D．與【變式2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C．樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)題型02獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念及辨析【典例1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（

）A．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過B．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過C．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過D．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）針對時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【變式1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）北京冬奧會的舉辦掀起了一陣冰雪運(yùn)動的熱潮．某高校在本校學(xué)生中對“喜歡滑冰是否與性別有關(guān)”做了一次調(diào)查，參與調(diào)查的學(xué)生中，男生人數(shù)是女生人數(shù)的倍，有的男生喜歡滑冰，有的女生喜歡滑冰．若根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，有的把握認(rèn)為是否喜歡滑冰和性別有關(guān)，則參與調(diào)查的男生人數(shù)可能為（

）參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【變式2】（多選）（2024上·全國·高三期末）為考察一種新型藥物預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得.參照附表，下列結(jié)論正確的是（）附表：A．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”B．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”題型03卡方的計(jì)算【典例1】（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）為檢驗(yàn)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機(jī)抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗(yàn)其血液中某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)（該醫(yī)學(xué)指標(biāo)范圍為，統(tǒng)計(jì)如下：該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)接種疫苗人數(shù)1050接種疫苗人數(shù)3040個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.(1)為檢驗(yàn)該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在內(nèi)的是否需要接種加強(qiáng)針，先從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗(yàn)進(jìn)行判斷.從這8人中隨機(jī)抽取4人調(diào)研醫(yī)學(xué)指標(biāo)低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)根據(jù)（1）化驗(yàn)研判結(jié)果，醫(yī)學(xué)認(rèn)為該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強(qiáng)針，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)不低于50，產(chǎn)生抗體較強(qiáng)，不需接種加強(qiáng)針.請先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強(qiáng)弱有關(guān)聯(lián)，求的最大值.疫苗抗體合計(jì)抗體弱抗體強(qiáng)疫苗疫苗合計(jì)附：，其中.0.250.0250.0051.3235.0247.879【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測）全國“村BA”籃球賽點(diǎn)燃了全民的運(yùn)動激情，深受廣大球迷的喜愛.每支球隊(duì)都有一個(gè)或幾個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支“村BA”球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某個(gè)賽季的所有比賽中，甲球員是否上場時(shí)該球隊(duì)的勝負(fù)情況如表.甲球員是否上場球隊(duì)的勝負(fù)情況合計(jì)勝負(fù)上場4045未上場3合計(jì)42(1)完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場有關(guān)；(2)由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場時(shí)，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.（i）當(dāng)甲球員上場參加比賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；（ii）當(dāng)甲球員上場參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【典例3】（2024上·廣西北海·高二統(tǒng)考期末）在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動；男性中有20人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表；休閑方式性別看電視運(yùn)動合計(jì)女男合計(jì)(2)能否有把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系？附：，其中．0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【變式1】（2024上·四川成都·高三成都七中?？计谀┰谀巢《疽呙绲难邪l(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計(jì)算可知，根據(jù)小概率值______的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【變式2】（2024上·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）積化和差的重要應(yīng)用在于求解傅里葉級數(shù)．為了解學(xué)生掌握該組公式的情況，在高一?高三兩個(gè)年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行考查，其中高三年級的學(xué)生占，其他相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：合格不合格總計(jì)高三年級學(xué)生54高一年級學(xué)生16總計(jì)100(1)請完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”是否有關(guān)？(2)以頻率估計(jì)概率，從該校高一年級學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記合格的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中【變式3】（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）教育部印發(fā)的《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求學(xué)校每學(xué)年開展全校學(xué)生的體質(zhì)健康測試工作.某中學(xué)為提高學(xué)生的體質(zhì)健康水平，組織了“坐位體前屈”專項(xiàng)訓(xùn)練.現(xiàn)隨機(jī)抽取高一男生和高二男生共60人進(jìn)行“坐位體前屈”專項(xiàng)測試.高一男生成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績在的男生有4人.高二男生成績（單位：）如下：10.212.86.46.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5(1)估計(jì)高一男生成績的平均數(shù)和高二男生成績的第40百分位數(shù)；(2)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，高一男生“坐位體前屈”成績良好等級線為，高二男生為.已知該校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校男生“坐位體前屈”成績優(yōu)良等級與年級有關(guān)？等級年級良好及以上良好以下合計(jì)高一高二合計(jì)附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828題型04獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想【典例1】（2024·四川綿陽·綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)．現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)30100計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α＝________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（）附：，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．0.001 B．0.05C．0.01 D．0.005【典例2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理得到如下的列聯(lián)表：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生51015男生52025合計(jì)103040(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素會影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性？(2)如果將表中的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，得到與（1）中不一樣的結(jié)論.（i）求的最小值；（ii）如果抽樣方式不變，你認(rèn)為（1）和（2）的結(jié)論哪個(gè)更可靠，并說明理由.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【變式1】（多選）（2024上·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）電影《八角籠中》是由王寶強(qiáng)導(dǎo)演并參演的一部電影，講述了年輕人為理想而努力奮斗的故事.該電影一上映就引起了廣大觀眾的熱議，票房也超出了預(yù)期，現(xiàn)隨機(jī)抽取若干名觀眾進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，則（

）喜歡該電影不喜歡該電影男性觀眾16040女性觀眾14060附：.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．若在被調(diào)查的觀眾中隨機(jī)抽取1人，則抽到喜歡該電影的男性觀眾的概率為B．在被調(diào)查的觀眾中，男性不喜歡該電影的比例高于女性C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為被調(diào)查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為被調(diào)查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異【變式2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到如下列聯(lián)表：跳繩性別合計(jì)男女愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110已知，0.050.010.0013.8416.63510.828則以下結(jié)論正確的是（

）A．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，愛好跳繩與性別無關(guān)B．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，愛好跳繩與性別無關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有99%以上的把握認(rèn)為“愛好跳繩與性別無關(guān)”D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好跳繩與性別無關(guān)”題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題【典例1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本測試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析設(shè)備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率？(2)如果以這次測試中設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設(shè)備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進(jìn)行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認(rèn)為設(shè)備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認(rèn)為設(shè)備更新失敗.①求經(jīng)核查認(rèn)定設(shè)備更新失敗的概率；②根據(jù)的大小解釋核查方案是否合理.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【典例2】（2024上·吉林·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）李連貴熏肉大餅是吉林省四平市極具傳統(tǒng)特色的美味小吃，有著悠久的歷史，創(chuàng)始于1908年，距今已經(jīng)有著一百多年的歷史了.李連貴熏肉大餅的制作方法十分考究，選用豬肉和面粉為主要原料，將豬肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉?，沙仁等幾十種配料謷煮，最后加入調(diào)料抹在餅內(nèi)，夾肉而食，吃起來外酥里軟，美味可口，是一道集美味和藥膳于一體的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品嘗.某調(diào)查機(jī)構(gòu)從年齡在歲的游客中隨機(jī)抽取100人，對是否有意向購買熏肉大餅進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：年齡/歲抽取人數(shù)有意向購買熏肉大餅的人數(shù)(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買熏肉大餅與人的年齡有關(guān)?年齡低于歲的人數(shù)年齡不低于歲的人數(shù)總計(jì)有意向購買熏肉大餅的人數(shù)無意向購買熏肉大餅的人數(shù)總計(jì)(2)用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，從年齡在的所有游客中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中打算購買熏肉大餅的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【參考數(shù)據(jù)及公式】，其中.【變式1】（2024上·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預(yù)計(jì)會吸引億萬球迷觀看.為了了解某校大學(xué)生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關(guān)，該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數(shù)的，男生有10人表示不喜歡看足球比賽.(1)完成下面列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián)？男女合計(jì)喜愛看足球比賽不喜愛看足球比賽合計(jì)60(2)在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人參加校記者站的訪談節(jié)目，設(shè)抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【變式2】（2024上·廣東·高三統(tǒng)考期末）學(xué)校為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)與活動兩不誤，在延時(shí)課開設(shè)籃球、書法兩項(xiàng)活動，為了了解學(xué)生的選擇意向，隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)，得到如下列聯(lián)表.性別選擇籃球選擇書法男生4010女生2525(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)該校男、女生選擇籃球的概率；(2)試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與選擇意向是否有關(guān)聯(lián).附：，其中.0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（）A．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B．獨(dú)立性檢驗(yàn)可以確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系C．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，則我們可以說在個(gè)吸煙的人中，有人患肺病D．對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大2．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）某村莊對該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢合計(jì)老年人7年輕人6合計(jì)50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）觀察下圖的等高條形圖，其中最有把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量，之間沒有關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：天），并計(jì)算得到，下列小波對地區(qū)A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．出現(xiàn)“日落云里走”，據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為夜晚會下雨5．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班乙班總計(jì)105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為50D．由列聯(lián)表可看出成績與班級有關(guān)系6．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）假設(shè)有兩個(gè)變量x與y的列聯(lián)表如下表：abcd對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實(shí)行的是7選3的模式，即語數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)（含信息技術(shù)和通用技術(shù)）7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）選物理不選物理總計(jì)男生340110450女生140210350總計(jì)480320800表一選生物不選生物總計(jì)男生150300450女生150200350總計(jì)300500800表二試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析物理和生物選課與性別是否有關(guān)（

）附:A．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別有關(guān)B．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別有關(guān)C．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別無關(guān)D．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別無關(guān)8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一次聯(lián)考后，某校對甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班人數(shù)50乙班人數(shù)20合計(jì)30110附：，其中.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成績與班級有關(guān)系的把握為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024上·山西運(yùn)城·高三?？计谀┠承Ｓ性谛W(xué)生900人，其中男生400人，女生500人，為了解該校學(xué)生對學(xué)校課后延時(shí)服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生．每位被調(diào)查的學(xué)生都對學(xué)校的課后延時(shí)服務(wù)給出了滿意或不滿意的評價(jià)，統(tǒng)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)隨機(jī)從這90人中抽取一人，此人評價(jià)為滿意的概率為．在制定列聯(lián)表時(shí)，由于某些因素缺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，而獲得如下列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是（

）滿意不滿意合計(jì)男10女合計(jì)90參考公式與臨界值表，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A．滿意度的調(diào)查過程采用了分層抽樣的抽樣方法B．50名女生中對課后延時(shí)服務(wù)滿意的人數(shù)為20C．的觀測值為9D．根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以認(rèn)為“對課后延時(shí)服務(wù)的滿意度與性別有關(guān)系”10．（2024上·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校高三年級于2023年5月初進(jìn)行了一次高三數(shù)學(xué)備考前測考試．按照分?jǐn)?shù)大于或等于120的同學(xué)評價(jià)為“優(yōu)秀生”，其它分?jǐn)?shù)的同學(xué)評價(jià)為“潛力生”進(jìn)行整體水平評價(jià)，得到下面表（1）所示的列聯(lián)表．已知在這105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，根據(jù)表（2）的數(shù)據(jù)可斷定下列說法正確的是（

）班級戰(zhàn)績合計(jì)優(yōu)秀生潛力生甲班10b乙班c30合計(jì)105表（1）0.050.010.0013.8416.63510.828表（2）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，有95%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān)D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，沒有95%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān)三、填空題11．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病服用a50未服用50合計(jì)8020100若在本次考察中得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值為．（其中且）（參考數(shù)據(jù)：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82812．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）2022年3月，我國疫情發(fā)生頻次明顯增加．為了防止奧密克戎變異株的傳播，各地方政府都采取了有效防治措施．社區(qū)志愿者小王參加了防止奧密克戎變異株傳播的科普宣傳活動，并隨機(jī)調(diào)查了100名居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況，得到如下的2×2列聯(lián)表：了解不了解總計(jì)年齡不小于60歲aba＋b年齡小于60歲cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d給出下列4組數(shù)據(jù)：①；②；③；④．則居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關(guān)系的可能性最大的是．（填序號）四、解答題13．（2024上·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）近年來，直播帶貨逐漸興起，成為鄉(xiāng)村振興的新動力，為了解甲?乙兩個(gè)推銷農(nóng)產(chǎn)品的直播間的銷售情況，統(tǒng)計(jì)了兩個(gè)直播間一段時(shí)間內(nèi)觀眾下單的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到如下的表格：下單的觀眾數(shù)未下單的觀眾數(shù)甲直播間12080乙直播間6080(1)分別估計(jì)甲?乙直播間的觀眾下單的概率；(2)是否有的把握認(rèn)為兩個(gè)直播間觀眾的下單意愿有差異？附.0.050.010.0013.8416.63510.82814．（2024上·山東日照·高三山東省五蓮縣第一中學(xué)?？计谀┠郴ㄆ詾樘岣吣称贩N花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，A，B在實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗，為觀測其生長情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對每株進(jìn)行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖，記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗.

(1)求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù)；(2)填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法是否有關(guān)，請說明理由.優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法20乙培育法10合計(jì)附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828B能力提升15．（2024上·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫B(tài)MI）來測量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是．中國成人的BMI數(shù)值標(biāo)如下表所示：BMI＜18.5≥28體重情況過輕正常超重肥胖為了解某單位職工的身體情況，研究人員從單位職工體檢數(shù)據(jù)中，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取了90名男職工、50名女職工的身高和體重?cái)?shù)據(jù)，計(jì)算得到他們的BMI值，并進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，如右表所示：性別BMI合計(jì)過輕正常超重肥胖男106011990女15255550合計(jì)25851614140(1)參照附表，對小概率值a逐一進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，依據(jù)檢驗(yàn)，指出能認(rèn)為職工體重是否正常與性別有關(guān)聯(lián)的a的一個(gè)值；(2)在該單位隨機(jī)抽取一位職工的BMI值，發(fā)現(xiàn)其BMI值不低于28．由上表可知男女職工的肥胖率都為0.1，視頻率為概率，能否認(rèn)為該職工的性別是男還是女的可能性相同？若認(rèn)為相同則說明理由，若認(rèn)為不相同，則需要比較可能性的大?。產(chǎn)0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：16．（2024上·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是我國對學(xué)生體質(zhì)健康方面的基本要求，是綜合評價(jià)學(xué)生綜合素質(zhì)的重要依據(jù).為促進(jìn)學(xué)生積極參加體育鍛煉，養(yǎng)成良好的鍛煉習(xí)慣，提高體質(zhì)健康水平，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行“是否喜歡體育鍛煉”的問卷調(diào)查.獲得如下信息：①男生所占比例為；②不喜歡體育鍛煉的學(xué)生所占比例為；③喜歡體育鍛煉的男生比喜歡體育鍛煉的女生多50人.(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡體育鍛煉與性別是否有關(guān)聯(lián)？性別體育鍛煉合計(jì)喜歡不喜歡男女合計(jì)(2)（ⅰ）從這200名學(xué)生中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)抽取3人.記事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜歡體育鍛煉的男生”、“至多有1名喜歡體育鍛煉的女生”.請計(jì)算和的值.（ⅱ）對于隨機(jī)事件，，，試分析與的大小關(guān)系，并給予證明參考公式及數(shù)據(jù)：，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828第03講8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（8.3.1分類變量與列聯(lián)表+8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解分類變量與數(shù)值變量的區(qū)別，了解回歸與相關(guān)的區(qū)別。②通過實(shí)例，理解通過比較相關(guān)比率，利用2×2列聯(lián)表或等高圖可以初步檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.理解通過比較相關(guān)比率判斷隨機(jī)變量獨(dú)立性得到的結(jié)果有可能會犯錯(cuò)誤。③理解通過比較相關(guān)比率判斷隨機(jī)變量獨(dú)立性得到的結(jié)果有可能會犯錯(cuò)誤。本節(jié)課要求會通過比較相關(guān)比率，判斷兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.會對簡單的數(shù)據(jù)分析案例進(jìn)行初步獨(dú)立性分析.恰當(dāng)構(gòu)造卡方統(tǒng)計(jì)量及利用小概率事件原理實(shí)現(xiàn)對兩個(gè)分類變量的是否獨(dú)立的科學(xué)檢驗(yàn).能解決簡單的與獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)的實(shí)際問題知識點(diǎn)1：分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量為了方便,會使用一種特殊的隨機(jī)變量,區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這隨機(jī)變量稱為分類變量.(2)列聯(lián)表①2×2列聯(lián)表給出了兩個(gè)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．②定義一對分類變量和，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：合計(jì)合計(jì)知識點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)定義:利用的取值推斷分類變量和是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”．簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式：其中（注意使用公式時(shí)分子的平方不要忽略了）【即學(xué)即練1】（2024上·江西九江·高二統(tǒng)考期末）某校隨機(jī)調(diào)查了100名高中生是否喜歡籃球，按照男女區(qū)分得到列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算得.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的相關(guān)知識，對照下表，可以認(rèn)為有（

）把握喜歡籃球與性別有關(guān).0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】B【詳解】，有把握認(rèn)為與性別有關(guān)，故選：B.題型01通過等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否存在差異【典例1】（2014·吉林長春·統(tǒng)考三模）觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類變量之量關(guān)系最強(qiáng)．故選：D【典例2】（2017·廣東佛山·統(tǒng)考一模）現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問題，學(xué)校抽取了部分男?女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的（

）A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛兩理一文D．樣本中的女生偏愛兩文一理【答案】D【詳解】解：由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故A正確；有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故B正確；男生偏愛兩理一文，故C正確；女生中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故D錯(cuò)誤.故選：D.【典例3】（2012下·山東青島·高二山東省青島第一中學(xué)?？计谥校榱肆私饽掣咝W(xué)生喜歡使用手機(jī)支付是否與性別有關(guān)，抽取了部分學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)后作出如圖所示的等高條形圖，則下列說法正確的是（

）A．喜歡使用手機(jī)支付與性別無關(guān)B．樣本中男生喜歡使用手機(jī)支付的約C．樣本中女生喜歡使用手機(jī)支付的人數(shù)比男生多D．女生比男生喜歡使用手機(jī)支付的可能性大些【答案】D【詳解】A錯(cuò)誤，根據(jù)等高條形圖，喜歡和不喜歡使用手機(jī)支付的比例因性別差距很明顯，所以喜歡使用手機(jī)支付與性別有關(guān)；B錯(cuò)誤，樣本中男生喜歡使用手機(jī)支付的約為40%；女生比男生喜歡使用手機(jī)支付的可能性大些，由于不知道男女生人數(shù)，所以不能認(rèn)定女生喜歡使用手機(jī)支付的人數(shù)是否比男生多.所以C錯(cuò)誤，D正確.故選：D【變式1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在等高條形圖中，下列哪兩個(gè)比值相差越大，要推斷的論述成立的可能性就越大（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【詳解】由等高條形圖可知與的值相差越大，|ad－bc|就越大，相關(guān)性就越強(qiáng)．故選：C【變式2】（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實(shí)行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對部分高一學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個(gè)等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C．樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)【答案】C【詳解】根據(jù)等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多，故C正確；根據(jù)等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯(cuò)誤；樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯(cuò)誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯(cuò)誤.故選：C.題型02獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念及辨析【典例1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)分類變量與的觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（

）A．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過B．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過C．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過D．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過【答案】B【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，所以變量與不獨(dú)立，且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過.故選:B.【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）針對時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C【變式1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）北京冬奧會的舉辦掀起了一陣冰雪運(yùn)動的熱潮．某高校在本校學(xué)生中對“喜歡滑冰是否與性別有關(guān)”做了一次調(diào)查，參與調(diào)查的學(xué)生中，男生人數(shù)是女生人數(shù)的倍，有的男生喜歡滑冰，有的女生喜歡滑冰．若根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，有的把握認(rèn)為是否喜歡滑冰和性別有關(guān)，則參與調(diào)查的男生人數(shù)可能為（

）參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且,可得列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)喜歡滑冰不喜歡滑冰合計(jì)所以，因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為是否喜歡滑冰和性別有關(guān)，所以，解得，所以，結(jié)合選項(xiàng)只有，故選:C.【變式2】（多選）（2024上·全國·高三期末）為考察一種新型藥物預(yù)防疾病的效果，某科研小組進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得.參照附表，下列結(jié)論正確的是（）附表：A．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”B．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”【答案】BC【【詳解】因?yàn)?，所以，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物無效”；根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析認(rèn)為“藥物有效”；故選：BC.題型03卡方的計(jì)算【典例1】（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）為檢驗(yàn)預(yù)防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機(jī)抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗(yàn)其血液中某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)（該醫(yī)學(xué)指標(biāo)范圍為，統(tǒng)計(jì)如下：該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)接種疫苗人數(shù)1050接種疫苗人數(shù)3040個(gè)別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.(1)為檢驗(yàn)該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在內(nèi)的是否需要接種加強(qiáng)針，先從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗(yàn)進(jìn)行判斷.從這8人中隨機(jī)抽取4人調(diào)研醫(yī)學(xué)指標(biāo)低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)根據(jù)（1）化驗(yàn)研判結(jié)果，醫(yī)學(xué)認(rèn)為該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強(qiáng)針，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)不低于50，產(chǎn)生抗體較強(qiáng)，不需接種加強(qiáng)針.請先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強(qiáng)弱有關(guān)聯(lián)，求的最大值.疫苗抗體合計(jì)抗體弱抗體強(qiáng)疫苗疫苗合計(jì)附：，其中.0.250.0250.0051.3235.0247.879【答案】(1)分布列見解析，(2)列聯(lián)表見解析，2【詳解】（1）從醫(yī)學(xué)指標(biāo)在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人中，接種疫苗有2人，接種疫苗有6人，由題意可知，可能取值為，，的分布列為：234則；（2）列聯(lián)表如下：疫苗抗體合計(jì)抗體弱抗體強(qiáng)疫苗100疫苗100合計(jì)60140200則，由題意可知，，整理得，，解得或，又，則，所以，故的最大值為2.【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測）全國“村BA”籃球賽點(diǎn)燃了全民的運(yùn)動激情，深受廣大球迷的喜愛.每支球隊(duì)都有一個(gè)或幾個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支“村BA”球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某個(gè)賽季的所有比賽中，甲球員是否上場時(shí)該球隊(duì)的勝負(fù)情況如表.甲球員是否上場球隊(duì)的勝負(fù)情況合計(jì)勝負(fù)上場4045未上場3合計(jì)42(1)完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場有關(guān)；(2)由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場時(shí)，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.（i）當(dāng)甲球員上場參加比賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；（ii）當(dāng)甲球員上場參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；有99%的把握認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場有關(guān).(2)（i）；（ii）【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得的列聯(lián)表：甲球員是否上場球隊(duì)的勝負(fù)情況合計(jì)勝負(fù)上場40545未上場235合計(jì)42850零假設(shè)：球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場無關(guān)此時(shí)，所以，有99%的把握認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場有關(guān).（2）解：由甲球員上場時(shí)，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.（i）設(shè)事件：甲球員上場打前鋒，事件：甲球員上場打中鋒，事件：甲球員上場打后衛(wèi)，事件：球隊(duì)贏球，則,所以，當(dāng)甲球員上場參加比賽時(shí)，球隊(duì)贏球的概率：.（ii）當(dāng)甲球員上場參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率為.【典例3】（2024上·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動；男性中有20人主要的休閑方式是看電視，另外30人主要的休閑方式是運(yùn)動．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表；休閑方式性別看電視運(yùn)動合計(jì)女男合計(jì)(2)能否有把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系？附：，其中．0.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；(2)沒有的把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān).【詳解】（1）休閑方式性別看電視運(yùn)動合計(jì)女403070男203050合計(jì)6060120（2）易知，由卡方公式可知：，故沒有的把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān).【變式1】（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計(jì)算可知，根據(jù)小概率值______的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【答案】B【詳解】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100假設(shè)：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.因?yàn)椋?，而，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立.即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.故選：B【變式2】（2024上·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）積化和差的重要應(yīng)用在于求解傅里葉級數(shù)．為了解學(xué)生掌握該組公式的情況，在高一?高三兩個(gè)年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行考查，其中高三年級的學(xué)生占，其他相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：合格不合格總計(jì)高三年級學(xué)生54高一年級學(xué)生16總計(jì)100(1)請完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”是否有關(guān)？(2)以頻率估計(jì)概率，從該校高一年級學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記合格的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828其中【答案】(1)填表見解析；認(rèn)為“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”有關(guān)；(2)分布列見解析；期望為.【詳解】（1）由100名學(xué)生中高三年級的學(xué)生占，可知高三年級的學(xué)生有60人，高一年級的學(xué)生有40人.補(bǔ)充完整的列聯(lián)表，如下：合格不合格合計(jì)高三年級的學(xué)生54660高一年級的學(xué)生241640合計(jì)7822100提出零假設(shè)：“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H?不成立，即認(rèn)為“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001．（2）由（1）得，高一年級的學(xué)生對公式的掌握情況合格的頻率為．依題意，得則，，，．所以的分布列為0123．【變式3】（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）教育部印發(fā)的《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求學(xué)校每學(xué)年開展全校學(xué)生的體質(zhì)健康測試工作.某中學(xué)為提高學(xué)生的體質(zhì)健康水平，組織了“坐位體前屈”專項(xiàng)訓(xùn)練.現(xiàn)隨機(jī)抽取高一男生和高二男生共60人進(jìn)行“坐位體前屈”專項(xiàng)測試.高一男生成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績在的男生有4人.高二男生成績（單位：）如下：10.212.86.46.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5(1)估計(jì)高一男生成績的平均數(shù)和高二男生成績的第40百分位數(shù)；(2)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，高一男生“坐位體前屈”成績良好等級線為，高二男生為.已知該校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校男生“坐位體前屈”成績優(yōu)良等級與年級有關(guān)？等級年級良好及以上良好以下合計(jì)高一高二合計(jì)附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】(1)15，16.35(2)詳見解析【詳解】（1）依題意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.因?yàn)楦咭荒猩煽冊赱5,10)的男生有4人，所以，解得.由，解得.由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)高一男生成績的平均數(shù).由，可知樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第8項(xiàng)和第9項(xiàng)數(shù)據(jù)的均值，高二男生“坐位體前屈”成績在[5,15)有7人，[15,20)有8人,所以第40百分位數(shù)在[15,20)中，故.由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)高二男生成績的第40百分位數(shù)為16.35.（2）根據(jù)樣本，知高一男生成績良好及以上占，良好以下占，高二男生成績良好及以上占，良好以下占，由樣本估計(jì)總體，可得列聯(lián)表如下：良好及以上良好以下合計(jì)高一300300600高二300200500合計(jì)6005001100零假設(shè)為：該校男生“坐位體前屈”成績等級與年級之間無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“坐位體前屈”成績等級與年級有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.題型04獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想【典例1】（2024·四川綿陽·綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)．現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)30100計(jì)算可知，根據(jù)小概率值α＝________的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（）附：，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．0.001 B．0.05C．0.01 D．0.005【答案】B【詳解】完善2×2列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100零假設(shè)為H0：“給基因編輯小鼠注射該種疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”．因?yàn)棣?＝，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”．故選：B.【典例2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理得到如下的列聯(lián)表：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生51015男生52025合計(jì)103040(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素會影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性？(2)如果將表中的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，得到與（1）中不一樣的結(jié)論.（i）求的最小值；（ii）如果抽樣方式不變，你認(rèn)為（1）和（2）的結(jié)論哪個(gè)更可靠，并說明理由.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此認(rèn)為成立，即學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別沒有關(guān)系(2)（i）的最小值為8，（ii）在抽樣方式不變的情況下，（2）中的結(jié)論更可靠，理由見解析【詳解】（1）：學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別沒有關(guān)系.根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此認(rèn)為成立，即學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別沒有關(guān)系.（2）（i）當(dāng)表中的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的倍時(shí)，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若推斷不成立，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性與學(xué)生性別有關(guān)系.則有：，解得，又，故的最小值為8.（ii）在抽樣方式不變的情況下，（2）中的結(jié)論更可靠.這是因?yàn)閷τ陔S機(jī)樣本而言，頻率具有隨機(jī)性，我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，樣本容量越小，犯錯(cuò)誤的可能性會越大，因此在抽樣方式不變的前提下，樣本容量大的結(jié)果更可靠.【變式1】（多選）（2024上·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）電影《八角籠中》是由王寶強(qiáng)導(dǎo)演并參演的一部電影，講述了年輕人為理想而努力奮斗的故事.該電影一上映就引起了廣大觀眾的熱議，票房也超出了預(yù)期，現(xiàn)隨機(jī)抽取若干名觀眾進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，則（

）喜歡該電影不喜歡該電影男性觀眾16040女性觀眾14060附：.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．若在被調(diào)查的觀眾中隨機(jī)抽取1人，則抽到喜歡該電影的男性觀眾的概率為B．在被調(diào)查的觀眾中，男性不喜歡該電影的比例高于女性C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為被調(diào)查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為被調(diào)查觀眾的性別與對電影的喜愛程度有差異【答案】AC【詳解】根據(jù)題意，喜歡該電影的男性觀眾有160人，可得，所以A正確；由男性不喜歡該電影的比例為，女性不喜歡該電影的比例為，可得，所以B錯(cuò)誤；由，因?yàn)?，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.【變式2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）通過隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到如下列聯(lián)表：跳繩性別合計(jì)男女愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110已知，0.050.010.0013.8416.63510.828則以下結(jié)論正確的是（

）A．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，愛好跳繩與性別無關(guān)B．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，愛好跳繩與性別無關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001C．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有99%以上的把握認(rèn)為“愛好跳繩與性別無關(guān)”D．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好跳繩與性別無關(guān)”【答案】A【詳解】由題知因?yàn)?，所以愛好跳繩與性別無關(guān)且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率超過0.001，故A正確，B錯(cuò)誤，又因?yàn)?，所以?9%以上的把握認(rèn)為“愛好跳繩與性別有關(guān)，或在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好跳繩與性別有關(guān).故C和D錯(cuò)誤.故選：A.題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題【典例1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本測試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析設(shè)備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率？(2)如果以這次測試中設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設(shè)備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進(jìn)行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認(rèn)為設(shè)備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認(rèn)為設(shè)備更新失敗.①求經(jīng)核查認(rèn)定設(shè)備更新失敗的概率；②根據(jù)的大小解釋核查方案是否合理.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)可以認(rèn)為設(shè)備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率(2)①0.05792；②合理【詳解】（1）零假設(shè)為：設(shè)備更新與產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率獨(dú)立，即設(shè)備更新前與更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率沒有差異.由列聯(lián)表可計(jì)算，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷不成立，因此可以認(rèn)為設(shè)備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率.（2）根據(jù)題意，設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)率為0.8.可以認(rèn)為從生產(chǎn)線中抽出的5件產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)是相互獨(dú)立的.①設(shè)表示這5件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則，可得②實(shí)際上設(shè)備更新后提高了優(yōu)質(zhì)率.當(dāng)這5件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)不超過2件時(shí)，認(rèn)為更新失敗，此時(shí)作出了錯(cuò)誤的判斷，由于作出錯(cuò)誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.【典例2】（2024上·吉林·高二長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）李連貴熏肉大餅是吉林省四平市極具傳統(tǒng)特色的美味小吃，有著悠久的歷史，創(chuàng)始于1908年，距今已經(jīng)有著一百多年的歷史了.李連貴熏肉大餅的制作方法十分考究，選用豬肉和面粉為主要原料，將豬肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉?，沙仁等幾十種配料謷煮，最后加入調(diào)料抹在餅內(nèi)，夾肉而食，吃起來外酥里軟，美味可口，是一道集美味和藥膳于一體的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品嘗.某調(diào)查機(jī)構(gòu)從年齡在歲的游客中隨機(jī)抽取100人，對是否有意向購買熏肉大餅進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：年齡/歲抽取人數(shù)有意向購買熏肉大餅的人數(shù)(1)若以年齡40歲為分界線，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買熏肉大餅與人的年齡有關(guān)?年齡低于歲的人數(shù)年齡不低于歲的人數(shù)總計(jì)有意向購買熏肉大餅的人數(shù)無意向購買熏肉大餅的人數(shù)總計(jì)(2)用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，從年齡在的所有游客中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中打算購買熏肉大餅的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【參考數(shù)據(jù)及公式】，其中.【答案】(1)列聯(lián)表見解析，購買熏肉大餅與人的年齡有關(guān)(2)分布列見解析，【詳解】（1）列聯(lián)表如下：年齡低于歲的人數(shù)年齡不低于歲的人數(shù)總計(jì)有意向購買熏肉大餅的人數(shù)無意向購買熏肉大餅的人數(shù)總計(jì)零假設(shè)為購買熏肉大餅與人的年齡無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即購買熏肉大餅與人的年齡有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.（2）由已知得，，，，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為:所以.【變式1】（2024上·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預(yù)計(jì)會吸引億萬球迷觀看.為了了解某校大學(xué)生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關(guān)，該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數(shù)的，男生有10人表示不喜歡看足球比賽.(1)完成下面列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián)？男女合計(jì)喜愛看足球比賽不喜愛看足球比賽合計(jì)60(2)在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人參加校記者站的訪談節(jié)目，設(shè)抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián).(2)分布列見解析，【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知抽取的女生共40人，喜歡觀看足球比賽的女生為人，可得得列聯(lián)表如下：男女合計(jì)喜愛看足球比賽501060不喜愛看足球比賽103040合計(jì)6040100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，即認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián).（2）按照分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，根據(jù)抽樣比可知其中男生2人，女生6人，則的可能取值為，，，所以的分布列為012期望值.【變式2】（2024上·廣東·高三統(tǒng)考期末）學(xué)校為了讓學(xué)生的學(xué)習(xí)與活動兩不誤，在延時(shí)課開設(shè)籃球、書法兩項(xiàng)活動，為了了解學(xué)生的選擇意向，隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)，得到如下列聯(lián)表.性別選擇籃球選擇書法男生4010女生2525(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)該校男、女生選擇籃球的概率；(2)試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別與選擇意向是否有關(guān)聯(lián).附：，其中.0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)；；(2)性別與選擇意向有關(guān)聯(lián).【詳解】（1）以頻率估計(jì)概率,所以該校男生選擇籃球的概率為,所以該校女生選擇籃球的概率為.（2）結(jié)合題意：,整理計(jì)算得：，故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下認(rèn)為性別與選擇意向有關(guān).A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（）A．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B．獨(dú)立性檢驗(yàn)可以確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系C．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，則我們可以說在個(gè)吸煙的人中，有人患肺病D．對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大【答案】D【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義分別判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A，獨(dú)立性檢驗(yàn)是通過卡方計(jì)算來判斷兩個(gè)變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法，并非檢驗(yàn)二者是否是線性相關(guān)，故錯(cuò)誤；對于B，獨(dú)立性檢驗(yàn)并不能確定兩個(gè)變量相關(guān)，故錯(cuò)誤；對于C，是指“抽煙”和“患肺病”存在關(guān)聯(lián)的可能性，并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，故錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)卡方計(jì)算的定義可知該選項(xiàng)正確；故選:D.2．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）某村莊對該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢合計(jì)老年人7年輕人6合計(jì)50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】已知抽取的老年人、年輕人各有25名，計(jì)算各個(gè)變量的值，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)?，，，，，，所以，，，，．故選：D．3．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）觀察下圖的等高條形圖，其中最有把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量，之間沒有關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)題意，由等高條形圖的意義分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在等高的條形圖中，當(dāng)，所占比例相差越大時(shí)，越有把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量，之間有關(guān)系，由選項(xiàng)可得：B選項(xiàng)中，，所占比例相差無幾，所以最有把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量，之間沒有關(guān)系，故選：B4．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：天），并計(jì)算得到，下列小波對地區(qū)A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．出現(xiàn)“日落云里走”，據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為夜晚會下雨【答案】D【分析】應(yīng)用古典概型的概率求法求概率判斷A、B，應(yīng)用卡方計(jì)算公式求卡方值，與臨界值比較，應(yīng)用獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想得到結(jié)論，判斷C、D.【詳解】由列聯(lián)表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為，A正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為，B正確；，因此據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D5．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班乙班總計(jì)105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為50D．由列聯(lián)表可看出成績與班級有關(guān)系【答案】D【分析】根據(jù)成績優(yōu)秀的概率求得，進(jìn)而求得，結(jié)合比例判斷出正確答案.【詳解】依題意，解得，由解得.補(bǔ)全列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班乙班總計(jì)105甲班的優(yōu)秀率為，乙班的優(yōu)秀率為，，所以成績與班級有關(guān).所以D選項(xiàng)正確，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D6．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）假設(shè)有兩個(gè)變量x與y的列聯(lián)表如下表：abcd對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中的值，最大的即對同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大.【詳解】對于A，，對于B，，對于C，，對于D，顯然B中最大，該組數(shù)據(jù)能說明x與y有關(guān)系的可能性最大,故選:B.7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在新高考改革中，浙江省新高考實(shí)行的是7選3的模式，即語數(shù)外三門為必考科目，然后從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)（含信息技術(shù)和通用技術(shù)）7門課中選考3門.某校高二學(xué)生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）選物理不選物理總計(jì)男生340110450女生140210350總計(jì)480320800表一選生物不選生物總計(jì)男生150300450女生150200350總計(jì)300500800表二試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析物理和生物選課與性別是否有關(guān)（

）附:A．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別有關(guān)B．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別有關(guān)C．選物理與性別有關(guān)，選生物與性別無關(guān)D．選物理與性別無關(guān)，選生物與性別無關(guān)【答案】C【分析】結(jié)合題干數(shù)據(jù)，以及公式，分別計(jì)算物理和生物學(xué)科的值，與比較，分析即得解【詳解】由題意，先分析物理課是否與性別有關(guān)：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合題干表格數(shù)據(jù)，，因此，有充分證據(jù)推斷選擇物理學(xué)科與性別有關(guān)再分析生物課是否與性別有關(guān)：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合題干表格數(shù)據(jù)，，因此，沒有充分證據(jù)推斷選擇生物學(xué)科與性別有關(guān)故選：C8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一次聯(lián)考后，某校對甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班人數(shù)50乙班人數(shù)20合計(jì)30110附：，其中.根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成績與班級有關(guān)系的把握為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先完成列聯(lián)表,再計(jì)算，與臨界值進(jìn)行比較，最后下結(jié)論【詳解】優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班人數(shù)50乙班人數(shù)20合計(jì)30110由題表中的數(shù)據(jù)可得:,因?yàn)?所以可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成績與班級有失系的把握為.故選：D二、多選題9．（2024上·山西運(yùn)城·高三?？计谀┠承Ｓ性谛W(xué)生900人，其中男生400人，女生500人，為了解該校學(xué)生對學(xué)校課后延時(shí)服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生．每位被調(diào)查的學(xué)生都對學(xué)校的課后延時(shí)服務(wù)給出了滿意或不滿意的評價(jià)，統(tǒng)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)隨機(jī)從這90人中抽取一人，此人評價(jià)為滿意的概率為．在制定列聯(lián)表時(shí)，由于某些因素缺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，而獲得如下列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是（

）滿意不滿意合計(jì)男10女合計(jì)90參考公式與臨界值表，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A．滿意度的調(diào)查過程采用了分層抽樣的抽樣方法B．50名女生中對課后延時(shí)服務(wù)滿意的人數(shù)為20C．的觀測值為9D．根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以認(rèn)為“對課后延時(shí)服務(wù)的滿意度與性別有關(guān)系”【答案】AD【分析】根據(jù)題意計(jì)算男女比例，即可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算滿意的總?cè)藬?shù)人數(shù)，根據(jù)男生滿意人數(shù)即可得女生滿意人數(shù)判斷B選項(xiàng)；由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算的值即可判斷C、D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)樵谛W(xué)生中有400名男生，500名女生，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生，男女比例始終是4：5，所以采用了分層抽樣的方法，故A正確；B選項(xiàng)，調(diào)查的90人中，對學(xué)校課后延時(shí)服務(wù)滿意的人數(shù)為，其中男生滿意的人數(shù)為，所以女生滿意的人數(shù)為30，女生不滿意的人數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)的分析，補(bǔ)全列聯(lián)表如下：滿意不滿意合計(jì)男301040女302050合計(jì)603090由列聯(lián)表可得，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，：對課后延時(shí)服務(wù)的滿意度與性別無關(guān)，由，根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充足的證據(jù)推斷不成立，即不能認(rèn)為“對課后延時(shí)服務(wù)的滿意度與性別有關(guān)系”，故D正確．故選：AD．10．（2024上·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某學(xué)校高三年級于2023年5月初進(jìn)行了一次高三數(shù)學(xué)備考前測考試．按照分?jǐn)?shù)大于或等于120的同學(xué)評價(jià)為“優(yōu)秀生”，其它分?jǐn)?shù)的同學(xué)評價(jià)為“潛力生”進(jìn)行整體水平評價(jià)，得到下面表（1）所示的列聯(lián)表．已知在這105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，根據(jù)表（2）的數(shù)據(jù)可斷定下列說法正確的是（

）班級戰(zhàn)績合計(jì)優(yōu)秀生潛力生甲班10b乙班c30合計(jì)105表（1）0.050.010.0013.8416.63510.828表（2）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，有95%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān)D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，沒有95%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān)【答案】BC【分析】根據(jù)題目條件計(jì)算判斷AB，再由卡方的計(jì)算判斷CD.【詳解】因?yàn)樵谶@105人中隨機(jī)抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，所以“優(yōu)秀生”的人數(shù)為，“潛力生”的人數(shù)為，所以，，故A錯(cuò)B對；因?yàn)?，所以?5%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān)，故C對D錯(cuò).故選：BC．三、填空題11．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計(jì)未患病患病服用a50未服用50合計(jì)8020100若在本次考察中得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值為．（其中且）（參考數(shù)據(jù)：，）附：，α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】46【分析】根據(jù)公式列不等式求解．【詳解】由題意可得，整理得，所以或，解得或，又因?yàn)榍?，所以，所以a的最小值為46.故答案為：46.12．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）2022年3月，我國疫情發(fā)生頻次明顯增加．為了防止奧密克戎變異株的傳播，各地方政府都采取了有效防治措施．社區(qū)志愿者小王參加了防止奧密克戎變異株傳播的科普宣傳活動，并隨機(jī)調(diào)查了100名居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況，得到如下的2×2列聯(lián)表：了解不了解總計(jì)年齡不小于60歲aba＋b年齡小于60歲cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d給出下列4組數(shù)據(jù)：①；②；③；④．則居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關(guān)系的可能性最大的是．（填序號）【答案】③【分析】根據(jù)當(dāng)?shù)闹翟酱髸r(shí)，