北京市房山區(qū)2024屆高三下學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024年高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)本試卷共6頁，150分．考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.拋物線的準線方程為()A. B. C. D.3.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值是（）A. B.3 C. D.4.已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（）A. B. C. D.5.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第三天走的路程為（）A.12里 B.24里 C.48里 D.96里6.直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，則r的值為（）A. B. C. D.7.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知，則下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點．若曲線C上存在一點P，使，則稱曲線C為“合作曲線”，給出下列曲線：①；②；③．其中“合作曲線”是（）A.①② B.②③ C.① D.②10.若函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.1或2 D.1或3第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.雙曲線的離心率是_________．12.如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點，則_________．13.設(shè)，則________；當(dāng)時，_________．14.若對任意，函數(shù)滿足，且當(dāng)時，都有，則函數(shù)的一個解析式是_________．15.如圖，在棱長為1的正方體中，點P是對角線上的動點（點P與點A，不重合）．給出下列結(jié)論：①存在點P，使得平面平面；②對任意點P，都有；③面積的最小值為；④若是平面與平面的夾角，是平面與平面的夾角，則對任意點P，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是_________．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面，是正三角形，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．17.中，，且．（1）求的大小；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：為銳角；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分．18.《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術(shù)等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術(shù)等級標(biāo)準》（單位：m）（部分摘抄）：項目國際級運動健將運動健將一級運動員二級運動員三級運動員男子跳遠8.007.807.306.505.60女子跳遠6656.355.855.204.50在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測考級能達到國家二級及二級以上運動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，（1）估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率；（2）設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望；（3）在跳遠考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次試跳的成績?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當(dāng)時，寫出a的值．（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓的離心率為，左焦點為，過的直線交橢圓于、兩點，點為弦的中點，是坐標(biāo)原點，且由于不與，重合．（1）求橢圓的方程；（2）若是延長線上一點，且的長度為，求四邊形面積的取值范圍．20已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處切線方程；（2）設(shè)，求函數(shù)的極大值；（3）若，求函數(shù)的零點個數(shù)．21.已知無窮數(shù)列是首項為1，各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合．若對于集合A中的元素k，數(shù)列中存在不相同的項，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列的通項公式為寫出集合A與集合B；（2）若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當(dāng)時，證明：；（3）若滿足，證明：．2024年高三年級第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)本試卷共6頁，150分．考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補集的定義即可得解.【詳解】因為全集，集合，所以.故選：B.2.拋物線的準線方程為()A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準方程即可求解.【詳解】由題知，拋物線方程為，則其準線方程為.故選：C3.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值是（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解.【詳解】，因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故選：C.4.已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的定義即可得解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，因為把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，所以，所以.故選：D.5.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第三天走的路程為（）A.12里 B.24里 C.48里 D.96里【答案】C【解析】【分析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及通項公式求解即可.【詳解】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，設(shè)這個數(shù)列為，前項和為，則，解得，所以，即該人第三天走的路程為48里.故選：C.6.直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，則r的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件用圓的半徑r表示出圓心到直線距離即可計算作答.【詳解】因直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，令劣弧的兩個端點為，則為等邊三角形，故圓心到直線的距離等于，即，解得.故選：B.7.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】由可得：，解得：，所以“”能推出“”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.已知，則下列命題為假命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用作差法即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，故A結(jié)論正確；對于B，當(dāng)時，因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B結(jié)論正確；對于C，因為，所以，而函數(shù)為減函數(shù)，所以，故C結(jié)論正確；對于D，，因為，所以，所以，所以，故D結(jié)論錯誤.故選：B.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點．若曲線C上存在一點P，使，則稱曲線C為“合作曲線”，給出下列曲線：①；②；③．其中“合作曲線”是（）A.①② B.②③ C.① D.②【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)點，由“合作曲線”的定義可知，曲線上存在點，使得，然后逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點，則，由可得，即，即曲線上存在點，使得，即為“合作曲線”，對于①，由雙曲線可得，則雙曲線上存在點滿足，故①為“合作曲線”；對于②，由橢圓可得，則橢圓上存在點滿足，故②為“合作曲線”；對于③，因為圓心到直線的結(jié)論，故直線上不存在一點滿足，故③不為“合作曲線”；故選：A10.若函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.1或2 D.1或3【答案】A【解析】【分析】令，則，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】，令，則，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，令，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，又當(dāng)時，當(dāng)時，，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)的圖象有且僅有一個交點，所以函數(shù)零點的個數(shù)為個.故選：A.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.雙曲線的離心率是_________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的標(biāo)準方程求出，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線可得：，所以雙曲線的離心率是.故答案為：.12.如圖．已知矩形中，，，分別是，的中點，則_________．【答案】【解析】【分析】用、作為一組基底表示出，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】依題意，，所以.故答案為：13.設(shè)，則________；當(dāng)時，_________．【答案】①.②.【解析】【分析】令可求出；先求出的通項，令和，求出，再由，即可求出的值.【詳解】令可得：，的通項為：，令可得，令可得，所以由可得，所以.故答案為：；.14.若對任意，函數(shù)滿足，且當(dāng)時，都有，則函數(shù)的一個解析式是_________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，可取，函數(shù)是減函數(shù)，滿足時，都有，因為，所以函數(shù)滿足題意.故答案：.（答案不唯一）15.如圖，在棱長為1的正方體中，點P是對角線上的動點（點P與點A，不重合）．給出下列結(jié)論：①存在點P，使得平面平面；②對任意點P，都有；③面積的最小值為；④若是平面與平面的夾角，是平面與平面的夾角，則對任意點P，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是_________．【答案】①②③④【解析】【分析】①可通過線面垂直的判定定理找到點P；②③④都可以通過建立空間直角坐標(biāo)系解決，其中通過向量的長度可以對②進行判斷；利用兩條直線所成的角和三角形面積公式可以判斷③；求出三個面的法向量，并求出和，即可對④進行判斷.【詳解】①因為，在上取點使，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，故①正確；②以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，則，，設(shè)，則，,從而，，所以，故②正確；③由②，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為，故③正確；④平面的法向量，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，由即得，令得，則，，令得，而，從而對任意點P，都有，，故④正確；故答案為：①②③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面，是正三角形，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；（2）分別取的中點。連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以；【小問2詳解】如圖，分別取的中點，連接，則，因為是正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，因為平面，所以即為平面的一條法向量，則，所以二面角的余弦值為．17.在中，，且．（1）求的大?。唬?）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：為銳角；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】（1）；（2）①，；③，.【解析】【分析】（1）根據(jù)得為銳角，從而根據(jù)的值得到的大??；（2）②由正弦定理得，根據(jù)為銳角得，則存在且唯一確定，進而得到，由得到的面積；③由正弦定理得邊，再根據(jù)得到，由得到的面積.【小問1詳解】因為，所以，所以，由得，.【小問2詳解】選條件①：為銳角；由正弦定理即知，因為為銳角，所以，所以存在且唯一確定.，從而.選條件②：，由得，從而可能是銳角，也可能是鈍角，則不唯一，故不能選②；選條件③：，由，得，所以，，由正弦定理即得，，.18.《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術(shù)等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術(shù)等級標(biāo)準》（單位：m）（部分摘抄）：項目國際級運動健將運動健將一級運動員二級運動員三級運動員男子跳遠8.007.807.306.505.60女子跳遠6.656.355.855.204.50在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測考級能達到國家二級及二級以上運動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；丙：516，5.65，5.18，5.86．假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，（1）估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率；（2）設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望；（3）在跳遠考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.49丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次試跳的成績?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當(dāng)時，寫出a的值．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）（3）或.【解析】【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)計算頻率，用頻率估計概率；（2）由X的取值，計算相應(yīng)的概率，由公式計算數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)兩人成績滿足的模型，方差相等.【小問1詳解】甲以往的10次比賽成績中，有4次達到國家二級及二級以上運動員標(biāo)準，用頻率估計概率，估計甲在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的概率為；【小問2詳解】設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員分別為事件，以往的比賽成績中，用頻率估計概率，有，，，X是甲、乙、丙在此次跳遠考級比賽中成績達到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，則X可能的取值為0，1，2，3，，，，，估計X的數(shù)學(xué)期望；【小問3詳解】甲的6次試跳成績從小到大排列為：，設(shè)這6次試跳成績依次從小到大為，丙的5次試跳成績從小到大排列為：，設(shè)丙的6次試跳成績從小到大排列依次為，當(dāng)時，滿足，成立；當(dāng)時，滿足，成立.所以或.19.已知橢圓的離心率為，左焦點為，過的直線交橢圓于、兩點，點為弦的中點，是坐標(biāo)原點，且由于不與，重合．（1）求橢圓的方程；（2）若是延長線上一點，且的長度為，求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及焦點坐標(biāo)，直接求出、，再根據(jù)確定即可求出橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，利用韋達定理確定確定，，利用中點坐標(biāo)公式求出點坐標(biāo)，得到直線的方程，求出點、到直線的距離，結(jié)合已知條件可以表示出四邊形面積為，根據(jù)的取值范圍，即可求解四邊形面積的取值范圍．【小問1詳解】因為，得；又，所以，所以；所以，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)過的直線為，與橢圓兩交點坐標(biāo)分別為，，由于不與，重合，可知直線的斜率存在且不為，根據(jù)已知條件設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，整理有；，即，整理有：恒成立；根據(jù)韋達定理：，；因為為弦的中點，所以；因為在直線上，所以，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化為一般式為：；設(shè)到直線的距離為，點到直線的距離也為，因為為弦的中點，由點到直線距離公式有：，因為、位于兩側(cè)，所以，所以，又因為，所以，設(shè)四邊形面積為，根據(jù)題意有：，因為，所以.所以，所以.所以四邊形面積的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：直曲聯(lián)立利用韋達定理確定，，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為求兩個三角形、面積之和，利用點到直線距離化簡即可將表示成，最后結(jié)合的范圍求的范圍.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，求函數(shù)的極大值；（3）若，求函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）求導(dǎo)，分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得解；（3）令，則，再分的正負討論，當(dāng)時，分離參數(shù)可得，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，，則，所以曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】，則，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)無極值；當(dāng)時，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為；當(dāng)時，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)的定義域為，所以此時函數(shù)無極值.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極大值；當(dāng)時，的極大值為；【小問3詳解】令，則，當(dāng)時，，所以時，函數(shù)無零點；當(dāng)時，由，得，所以，則時，函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時，且，當(dāng)時，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，又，由圖可知，所以函數(shù)的圖象只有個交點，即當(dāng)時，函數(shù)只有個零點；綜上所述，若，函數(shù)有個零點．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（