2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.已知，，則第幾象限角（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.設(shè)，且，則（）A B. C. D.4.若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前項(xiàng)和等于（）A. B. C. D.5.下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A. B. C. D.6.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增且存在零點(diǎn)的是（）A. B.C. D.7.大運(yùn)河文化帶、長(zhǎng)城文化帶和西山永定河文化帶作為北京歷史文化名城保護(hù)體系的重要內(nèi)容，高度凝練了北京舊城以外的文化遺產(chǎn)，對(duì)于建設(shè)北京全國(guó)文化中心、滿足人民對(duì)美好生活的需要，起到關(guān)鍵的支撐作用．為了把握好三個(gè)文化帶的文化精髓，做好保護(hù)與傳承，某課外研究小組決定從三個(gè)文化帶中隨機(jī)選取兩個(gè)文化帶進(jìn)行研究，那么所選的兩個(gè)文化帶中包含大運(yùn)河文化帶的概率是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)不少于兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)，若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）11.復(fù)數(shù)，則__________________.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______．13.緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時(shí)發(fā)送信號(hào)，讓搜救人員可以定位找到飛機(jī)的特有裝置．根據(jù)某機(jī)構(gòu)對(duì)失事飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤飛機(jī)中有后來(lái)被找到，在被找到的飛機(jī)中，有安裝有緊急定位傳送器；而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器．則在失蹤飛機(jī)中，裝有緊急定位傳送器飛機(jī)的比例為_(kāi)_____（填寫百分?jǐn)?shù)），現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為_(kāi)_____．14.若函數(shù)有零點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)_______．15.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域?yàn)镽；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)遞增；③使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”．有下面四個(gè)結(jié)論：（1）與具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”（2）與不具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”（3）與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系的函數(shù)有有限個(gè)（4）與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________．三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）16.已知函數(shù).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設(shè)，，求函數(shù)的最小值與單調(diào)遞減區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性．18.如圖，在三棱柱中，平面，（1）求證：平面；（2）若，求①與平面所成角的正弦值；②直線與平面的距離.19.2020年9月22日，中國(guó)政府在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上提出：“中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和．某校環(huán)保社團(tuán)為了解本校學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：

高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834假設(shè)每位學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.（1）從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（2）從全校高中部和初中部所有學(xué)生中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這4名學(xué)生中恰有2人清楚垃圾分類后處理方式的概率；（3）從樣本中隨機(jī)抽取1名男生和1名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式；用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式．直接寫出方差和的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）20.設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求a的值；（2）求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；（3）對(duì)任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.21.對(duì)任意正整數(shù)，記集合均為非負(fù)整數(shù)，且，集合均為非負(fù)整數(shù)，且．設(shè)，，若對(duì)任意都有，則記．（1）寫出集合和；（2）證明：對(duì)任意，存在，使得；（3）設(shè)集合求證：中元素個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)．2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先解一元二次不等式求出集合,再根據(jù)真子集定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以故選：B.2.已知，，則為第幾象限角（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【正確答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可根據(jù)象限角的性質(zhì)求解.【詳解】由，可得，，故為第三象限角，故選：C3.設(shè)，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】對(duì)于A、D：取特殊值判斷；對(duì)于B：利用不等式的可加性判斷；對(duì)于C：利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)，取時(shí)，不等式不成立；B選項(xiàng)，不等式兩邊加上同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不發(fā)生改變，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)在R上為增函數(shù)知，故正確；D選項(xiàng)，取，不等式不成立，故錯(cuò)誤.故選:C.4.若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式可得，然后由前n項(xiàng)和公式可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又，得，所以.故選：C5.下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用三角函數(shù)周期公式依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，由于函數(shù)不是周期函數(shù)，故排除A；對(duì)選項(xiàng)B，由于函數(shù)，周期為，故排除B；對(duì)選項(xiàng)C，由于函數(shù)的周期為，故排除C；對(duì)選項(xiàng)D，由于函數(shù)的周期為，故D正確.故選：D6.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增且存在零點(diǎn)的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，結(jié)合解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案；【詳解】對(duì)A，方程無(wú)解，不存在零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，無(wú)解，不存在零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)D，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在(0,+∞)不具有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤；故選：C.本題考查通過(guò)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.7.大運(yùn)河文化帶、長(zhǎng)城文化帶和西山永定河文化帶作為北京歷史文化名城保護(hù)體系的重要內(nèi)容，高度凝練了北京舊城以外的文化遺產(chǎn)，對(duì)于建設(shè)北京全國(guó)文化中心、滿足人民對(duì)美好生活的需要，起到關(guān)鍵的支撐作用．為了把握好三個(gè)文化帶的文化精髓，做好保護(hù)與傳承，某課外研究小組決定從三個(gè)文化帶中隨機(jī)選取兩個(gè)文化帶進(jìn)行研究，那么所選的兩個(gè)文化帶中包含大運(yùn)河文化帶的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)大運(yùn)河文化帶、長(zhǎng)城文化帶和西山永定河文化帶分別為，列出隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，列出隨機(jī)事件的樣本點(diǎn)，利用古典概型概率公式求結(jié)論.【詳解】設(shè)大運(yùn)河文化帶、長(zhǎng)城文化帶和西山永定河文化帶分別為，則隨機(jī)試驗(yàn)從三個(gè)文化帶中隨機(jī)選取兩個(gè)文化帶的樣本空間為，隨機(jī)事件所選的兩個(gè)文化帶中包含大運(yùn)河文化帶包含樣本點(diǎn)，所以隨機(jī)試驗(yàn)所選的兩個(gè)文化帶中包含大運(yùn)河文化帶的概率.故選：C.8.已知函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)不少于兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】對(duì)分類討論，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求解.詳解】解：，①當(dāng)時(shí)，其圖象如圖1函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，其圖象如如圖2函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)不少于兩個(gè)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，其圖象如如圖3，結(jié)合圖象，不符合題意．綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故選：B9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可推導(dǎo)得到充分性成立；將代入，可得，進(jìn)而得到必要性成立，從而得到結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要條件.故選：C.10.已知函數(shù)，若，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由條件可得在上的取值范圍要包含上的取值范圍，分別求函數(shù)在，上的取值范圍，列不等式可求結(jié)論.【詳解】若，，使成立，則在上的取值范圍要包含上的取值范圍，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，則時(shí)，，符合題意，當(dāng)，若時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，若時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為，，所以，解得，所以，綜上的范圍是.故選：A.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于將條件，，使成立，轉(zhuǎn)化為在上的取值范圍要包含上的取值范圍.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）11.復(fù)數(shù)，則__________________.【正確答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故答案為.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______．【正確答案】【分析】本題首先可以求出曲線的導(dǎo)函數(shù)，然后將帶入曲線中計(jì)算出縱坐標(biāo)，再然后將帶入曲線的導(dǎo)函數(shù)中求出曲線在這一點(diǎn)處的切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榍€，所以將帶入曲線中可得，帶入導(dǎo)函數(shù)中可得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．本題考查了曲線的某一點(diǎn)處的切線方程的求法，首先可以根據(jù)曲線方程計(jì)算出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)曲線的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算出切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可得出切線方程，考查計(jì)算能力，考查對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解，是簡(jiǎn)單題．13.緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時(shí)發(fā)送信號(hào)，讓搜救人員可以定位找到飛機(jī)的特有裝置．根據(jù)某機(jī)構(gòu)對(duì)失事飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤飛機(jī)中有后來(lái)被找到，在被找到的飛機(jī)中，有安裝有緊急定位傳送器；而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器．則在失蹤飛機(jī)中，裝有緊急定位傳送器飛機(jī)的比例為_(kāi)_____（填寫百分?jǐn)?shù)），現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為_(kāi)_____．【正確答案】①.②.【分析】空1：根據(jù)全概率公式即可得到答案；空2：設(shè)事件，再利用條件概率即可得到答案.【詳解】根據(jù)全概率公式得裝有緊急定位傳送器飛機(jī)的比例為：；設(shè)事件“失蹤的飛機(jī)后來(lái)被找到”，事件“失蹤的飛機(jī)后來(lái)未被找到”，事件“安裝有緊急定位傳送器”，則，，，，安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，它被找到的概率為：，故；．14.若函數(shù)有零點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)_______．【正確答案】或【分析】當(dāng)時(shí)，可得1，故不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有零點(diǎn)，即有解，故k的取值范圍為函數(shù)的值域，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性并求出極小值，即可得k的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，可得1，故不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)有零點(diǎn)可得有解即，故k的取值范圍為函數(shù)的值域，∵，令可得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的最小值且，故，綜上可得的取值范圍為或，故k的取值范圍為：或.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值（最值）問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的方法是將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，再利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決，屬中檔題．15.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域?yàn)镽；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)遞增；③使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”．有下面四個(gè)結(jié)論：（1）與具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”（2）與不具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”（3）與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系的函數(shù)有有限個(gè)（4）與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________．【正確答案】（1）（4）【分析】根據(jù)“單調(diào)偶遇關(guān)系”的新定義可判斷選項(xiàng)（1），（2）；以一次函數(shù)為例，可判斷（3）；令，通過(guò)計(jì)算可判斷（4），進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于（1）：數(shù)列中，由可知任意兩項(xiàng)不相等，定義域?yàn)闈M足①，數(shù)列和均單調(diào)遞增滿足②，的前項(xiàng)和，由得，解得，所以使成立，滿足③，故（1）正確；對(duì)于（2）：數(shù)列中，由可知任意兩項(xiàng)不相等，定義域?yàn)闈M足①，數(shù)列和均單調(diào)遞增滿足②，的前項(xiàng)和，由得恒成立，所以使成立滿足③，故與具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”，故（2）說(shuō)法不正確；對(duì)于（3）：以一次函數(shù)為例，，，，即整理得，只要方程有正整數(shù)解且即可，如方程中取，則有，即，對(duì)進(jìn)行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)組，故（3）說(shuō)法不正確；對(duì)于（4）：中，令．由得，取即可保證恒成立，故選項(xiàng)（4）正確，故（1）（4）．三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.）16.已知函數(shù).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設(shè)，，求函數(shù)的最小值與單調(diào)遞減區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，（2），單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）由二倍角易得，函數(shù)為奇函數(shù)，故②不能選，若①和③同時(shí)選，不滿足函數(shù)存在且唯一；選擇條件①④，由相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離可得周期，即得的值，由代入即可得的值；選擇條件③④，由最大值得的值，進(jìn)而得解析式.（2）通過(guò)公式化簡(jiǎn)可得，由，計(jì)算出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得最值與單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)，故②不能選，選擇條件①③：因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，因?yàn)?，所以，的值不唯一，故不能選.選擇條件①④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即，所?選擇條件③④：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，即，所以.【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.17.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性．【正確答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，將代入，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)求解原函數(shù)的極值即可；（2）結(jié)合，和二次函數(shù)性質(zhì)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，再判斷單調(diào)性即可【小問(wèn)1詳解】由已知，的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，得，又，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為，無(wú)極大值．【小問(wèn)2詳解】由已知，的定義域?yàn)?，，令，則在上遞減，在上遞增，因此，有最小值．①當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，可解得，或此時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減．綜上：時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在和上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減.18.如圖，在三棱柱中，平面，（1）求證：平面；（2）若，求①與平面所成角的正弦值；②直線與平面的距離.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，主要證明即可；（2）建立坐標(biāo)系，先求出平面的法向量，利用空間向量解決.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，四邊形為平行四邊形.所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，所以兩兩互相垂?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，于是.①設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.②因?yàn)槊?，所以直線與平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離設(shè)A到面的距離為，則19.2020年9月22日，中國(guó)政府在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上提出：“中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和．某校環(huán)保社團(tuán)為了解本校學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：

高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834假設(shè)每位學(xué)生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.（1）從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（2）從全校高中部和初中部所有學(xué)生中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這4名學(xué)生中恰有2人清楚垃圾分類后處理方式的概率；（3）從樣本中隨機(jī)抽取1名男生和1名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式；用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式．直接寫出方差和的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）依題意根據(jù)古典概型計(jì)算公式可得結(jié)果；（2）利用二項(xiàng)分布以及概率的加法公式計(jì)算即可得出結(jié)果；（3）分別計(jì)算出所有取值對(duì)應(yīng)的概率，再利用兩點(diǎn)分布即可得出.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，參與調(diào)查的學(xué)生由200人，其中清楚垃圾分類后處理方式的學(xué)生有：人，設(shè)事件A：學(xué)生清楚垃圾分類后處理方式，則.小問(wèn)2詳解】從樣本高中部學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，清楚垃圾分類后處理方式的概率為，從樣本初中部學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，清楚垃圾分類后處理方式的概率為：，設(shè)事件B：這4名學(xué)生中恰有2人清楚垃圾分類后處理方式，則；【小問(wèn)3詳解】根據(jù)題意可知隨機(jī)抽取1名男生清楚垃圾分類后處理方式的概率為，隨機(jī)抽取1名女生清楚垃圾分類后處理方式的概率為，因此可得，，同理可得，，由兩點(diǎn)分布公式計(jì)算可得；可得.20.設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求a的值；（2）求證：方程僅有一個(gè)實(shí)根；（3）對(duì)任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)在曲線和切線上可得；（2）分，，，利用