天津市和平區(qū)2024-2025學年高三上學期數(shù)學統(tǒng)練試題（含解析）

天津市和平區(qū)2024-2025學年高三上學期數(shù)學統(tǒng)練試題一、選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.4.已知奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.5.在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項的和為（）A3 B.2 C.1 D.06.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第1層）有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，…設“三角垛”從第1層到第n層的各層的球數(shù)構成一個數(shù)列anA.241 B.231 C.213 D.1927.廡殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式，分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂．單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊，前后左右都有斜坡（如圖①），類似五面體的形狀（如圖②），若四邊形是矩形，，且，，則五面體的表面積為（）A B. C. D.8.若，則（）A.1 B.2 C.3 D.49.設函數(shù)的最小正周期為，其圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.的圖象過點B.在上單調遞減C.的一個對稱中心是D.將圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象10.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在(0,+∞)上為增函數(shù)，若且則的值（）A.恒等于 B.恒小于 C.恒大于 D.無法判斷11.函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則整數(shù)k的值為A.，0 B.，1 C. D.，012.已知函數(shù)滿足，在區(qū)間[a，2b]上的最大值為，則b為A.ln3 B. C. D.l二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.若復數(shù)，則__________．14.若正數(shù)，滿足，則的最小值為______.15.定義在R的函數(shù)y=fx，如果函數(shù)圖象上任意一點都在曲線上，則下列結論正確的是_________（填上所有正確結論的序號）①；②函數(shù)y=fx③函數(shù)y=fx④函數(shù)y=fx⑤函數(shù)y=的圖象與直線y=有三個交點，16.已知直三棱柱中，，側面的面積為，則直三棱柱外接球表面積的最小值為________．17.已知函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為2，則a的范圍為______.18.在等腰梯形ABCD中，已知，，，，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，，則最小值為______.三、解答題：本題共2小題，共22分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.19.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，求的值；（3）若為的中點，且，求的面積.20.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且，.（1）求通項公式；（2）在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列.若，且對恒成立，求實數(shù)取值范圍.天津市和平區(qū)2024-2025學年高三上學期數(shù)學統(tǒng)練試題一、選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)交集定義求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】解出不等式后，結合充分條件與必要條件的定義即可得.【詳解】由，解得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由函數(shù)圖象的特殊點以及單調性逐一判斷可得解.【詳解】由圖象可知，故BD不成立；對于A選項：，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞增，不符合圖象，故A不成立；故選：C4.已知奇函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質得到，，再比較，，的大小關系，最后結合函數(shù)的單調性判斷即可.【詳解】奇函數(shù)在上是減函數(shù)，則，所以，，因為，，又，所以，所以，則，故.故選：B5.在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項的和為（）A.3 B.2 C.1 D.0【正確答案】A【分析】用去換中的，得，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周期性運算得解.【詳解】由題意得，用替換式子中的，得，兩式相加可得，即，所以數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列.又，，.所以數(shù)列an的前2024項和.故選：A.6.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第1層）有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，…設“三角垛”從第1層到第n層的各層的球數(shù)構成一個數(shù)列an，則第21層的球數(shù)為（A.241 B.231 C.213 D.192【正確答案】B【分析】依題意寫出前幾項即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律.【詳解】設，由，，，…，可知為等差數(shù)列，首項為2，公差為1，故，故，則，，，…，，累加得，即，顯然該式對于也成立，故．故選：B7.廡殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式，分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂．單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊，前后左右都有斜坡（如圖①），類似五面體的形狀（如圖②），若四邊形是矩形，，且，，則五面體的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)平面圖形的幾何性質，分別求等腰三角形和梯形的高，再求各個面的面積，即可求總面積.【詳解】分別取，的中點，，連接，，過點作的垂線，垂足為，因為，,所以，所以，根據(jù)對稱性易得，所以，在中，，所以，，又，所以.故選：D．8.若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【詳解】,所以原式，故選C.點睛：三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時只要根據(jù)求解目標的需要，結合已知條件選用合適的公式計算即可．本例應用兩角和與差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角關系式使得已知條件可代入后再化簡，求解過程中注意公式的順用和逆用.本題主要考查兩角和與差的公式.9.設函數(shù)的最小正周期為，其圖象關于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.的圖象過點B.在上單調遞減C.的一個對稱中心是D.將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象【正確答案】D【分析】由周期求出，再由對稱軸求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質一一判斷即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期是，所以，則，圖象關于直線對稱，所以，解得，因為，所以當時，，則，當時，，故A錯誤；由，所以，因為在上不單調，所以在上不單調，故B錯誤；因為，所以不是一個對稱中心，故C錯誤；因為，將的圖象向左平移個單位長度得到：，所以能得到的圖象，故D正確.故選：D.10.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在(0,+∞)上為增函數(shù)，若且則的值（）A.恒等于 B.恒小于 C.恒大于 D.無法判斷【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，且在(0,+∞)上為增函數(shù)，得到，確定函數(shù)為奇函數(shù)，單調遞增，故，得到答案.【詳解】函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或.當時，，在(0,+∞)上為減函數(shù)，排除；當時，，在(0,+∞)上增函數(shù)，滿足；，函數(shù)為奇函數(shù)，故在上單調遞增.，故，，故.故選.本題考查了冪函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性比較函數(shù)值大小，意在考查學生對于函數(shù)性質的綜合應用.11.函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，則整數(shù)k的值為A.，0 B.，1 C. D.，0【正確答案】C【分析】求出導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的極值所在位置，列不等式求解的值即可．【詳解】函數(shù)，可得，當和(0,+∞)時，，當時，，則在和(0,+∞)上單調遞增，在上單調遞減．若在上無極值點，則或或，，，．時，在上無極值點，，，時，在上存在極值點．因為是整數(shù)，故或，故選：．本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值的判斷，是難題．12.已知函數(shù)滿足，在區(qū)間[a，2b]上的最大值為，則b為A.ln3 B. C. D.l【正確答案】C【分析】函數(shù)圖象結合單調性可解.【詳解】,函數(shù)在上單調遞增，所以,所以在區(qū)間上的最大值為，解得故選：C.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.若復數(shù)，則__________．【正確答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算以及模長公式即可求解.【詳解】,故14.若正數(shù)，滿足，則的最小值為______.【正確答案】5【分析】由題意可得，可得，由基本不等式可得.【詳解】正數(shù)，滿足，，當且僅當即且時取等號，故的最小值為5.故515.定義在R函數(shù)y=fx，如果函數(shù)圖象上任意一點都在曲線上，則下列結論正確的是_________（填上所有正確結論的序號）①；②函數(shù)y=fx值域為R③函數(shù)y=fx④函數(shù)y=fx⑤函數(shù)y=的圖象與直線y=有三個交點，【正確答案】①③④【分析】利用奇偶性單調性結合函數(shù)圖象求解.【詳解】①當時所以成立，正確②函數(shù)的圖像可能都在軸上方，值域不是R，故錯誤③函數(shù)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)，也可能非奇非偶，正確④函數(shù)可能是增函數(shù)，也可能是減函數(shù)，也可能不是單調函數(shù)，正確⑤函數(shù)的圖像與直線有可能只有一個交點（原點），也可能有兩個，也可能有三個交點，錯誤.故①③④．16.已知直三棱柱中，，側面的面積為，則直三棱柱外接球表面積的最小值為________．【正確答案】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，設，則有，從而有其外接球的半徑為，所以其比表面積的最小值為.考點：幾何體的外接球，基本不等式.17.已知函數(shù)，若函數(shù)的零點個數(shù)為2，則a的范圍為______.【正確答案】或【分析】把函數(shù)零點個數(shù)轉化為圖象公共點的個數(shù)，作出圖象，列出限制條件可得答案.【詳解】令，當時，，；當時，，，；當時，，，；當時，，，；……作出函數(shù)的部分圖象如下，因為零點個數(shù)為2，所以的圖象與的圖象的公共點個數(shù)為2，由圖可知，或.故或18.在等腰梯形ABCD中，已知，，，，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，，則的最小值為______.【正確答案】【分析】由題意可得，，進一步化為，再利用條件以及基本不等式，求得它的最小值．【詳解】由題意，，，所以，，又動點和分別在線段和上，且，，所以，解得，，當且僅當時，即時取等號，故的最小值為，故．三、解答題：本題共2小題，共22分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.19.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，求的值；（3）若為的中點，且，求的面積.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理和誘導公式，計算可得答案.（2）利用和差角公式和二倍角公式，計算可得答案.（3）利用余弦定理，整理出方程，計算可得答案.【小問1詳解】，由正弦定理，得，，，，【小問2詳解】，，，【小問3詳解】中，由余弦定理，得，，中，由余弦定理，得，，聯(lián)立，得，，代入，解得，的面積.20.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且，.（1）求通項公式；（2）在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列.若，且對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由等邊數(shù)列的通項與前項和列式