高一立體幾何初步單元測試試題

高一立體幾何初步單元測試試題第I卷（選擇題）一、單選題1．如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為【答案】D【分析】根據(jù)直觀圖與平面圖的聯(lián)系還原計(jì)算各選項(xiàng)即可.【詳解】如圖過作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即,即B錯誤；還原平面圖為下圖，即，即A錯誤；過C作CF⊥AB，由勾股定理得，故四邊形ABCD的周長為：，即C錯誤；四邊形ABCD的面積為：，即D正確.故選：D2．如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)對稱性，求出的最小值就是的長，求解即可．【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形，其中，，問題轉(zhuǎn)化為在上找一點(diǎn)，使最短，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，令與交于點(diǎn)，則得的最小值就是為．故選：A3．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑中平面BCD，，且，則鱉臑外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，可證為三棱錐外接球的球心，故可求外接球的表面積.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠矫鍮CD，平面，故，同理.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故.而，平面，故平面，而平面，故，故，所以為三棱錐外接球的球心，又，故，所以，故三棱錐外接球半徑為，故其外接球的表面積為.故選：C.4．在正三棱柱中，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，證明平面，根據(jù)球的截面性質(zhì)確定交線的形狀，結(jié)合弧長公式求交線長.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，所以以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心的圓，由，可得交線即以為圓心，為半徑的圓弧，設(shè)該圓弧與，分別相交于點(diǎn)M，N，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以所以，故交線長.故選：B.5．距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的是一種茅屋，如圖1所示，該茅屋主體是一個正四棱錐，側(cè)面是正三角形，且在茅屋的一側(cè)建有一個入戶甬道，甬道形似從一個直三棱柱上由茅屋一個側(cè)面截取而得的幾何體，一端與茅屋的這個側(cè)面連在一起，另一端是一個等腰直角三角形．圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側(cè)棱長為6m，，，，點(diǎn)D在正四棱錐的斜高PH上，平面ABC且．不考慮建筑材料的厚度，則這個茅屋（含甬道）的室內(nèi)容積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為求四棱錐體積與三棱柱體積再加一個小三棱錐體積之和，運(yùn)用體積公式求解即可.【詳解】設(shè)為正四棱錐底面中心，連接，則，，，取的中點(diǎn)，連接，過作于，則．在直角中．過作交于連接．則，所求體積故選：B6．如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)，得到為異面直線與所成的角求解.【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，.則，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，直三棱柱中，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，，所以平面，平面，所以，依?jù)題意，不妨設(shè)，則，，，所以，故選：C7．已知正四面體內(nèi)接于球，D為棱AB上點(diǎn)，滿足．若存在過D點(diǎn)且面積為的截面圓，則正四面體棱長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)正四面體棱長為，球半徑為，計(jì)算得到，當(dāng)截面過球心時，棱長最短，當(dāng)截面時，棱長最長，分別計(jì)算棱長得到答案.【詳解】設(shè)正四面體棱長為，球半徑為，截面圓的半徑為，則，則，設(shè)平面于，則是中心，且球心在上，連接并延長與交于點(diǎn)，連接，平面，平面，故，，，平面，故平面，平面，則，，，則，解得，當(dāng)截面過球心時，，此時棱長最短，故，；當(dāng)截面時，棱長最長，此時，即，故，解得；綜上所述：.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了多面體的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中確定截面過球心時，棱長最短，截面時，棱長最長，再計(jì)算棱長是解題的關(guān)鍵.8．已知兩條不同的直線l，m及三個不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（

）A．l與α，β所成角相等 B．，C．，， D．，，【答案】C【分析】ABD可舉出反例；C選項(xiàng)，可根據(jù)平行的傳遞性和垂直關(guān)系進(jìn)行證明.【詳解】對于A，正方體中，設(shè)邊長為，連接，則為與平面所成角，由勾股定理得到，故，同理可得和所成角的正弦值為，故與平面和所成角大小相等，但平面與平面不平行，故A錯誤；B選項(xiàng)，平面⊥平面，平面⊥平面，但平面與平面不平行，故B錯誤；對于C，由，得，又，所以，故C正確；對于D，l與m可同時平行于α與β的交線，故D錯誤．故選：C．二、多選題9．如圖，在棱長為a的正方體中，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，P為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．異面直線BC與MP所成的最大角為45°C．不存在點(diǎn)P使得D．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時，過M、N、P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積為【答案】AD【分析】對于A，點(diǎn)到平面的距離為為定值，利用體積公式即可判斷；對于B，利用異面直線所成角的求法即可判斷；對于C，利用線面垂直證明線線垂直即可判斷；對于D，先做出截面，再求其面積即可.【詳解】點(diǎn)到平面的距離為為定值，又，所以，即三棱錐的體積為定值，故正確；設(shè)中點(diǎn)為，連接，則即為異面直線與所成的角在中，所以異面直線與所成的最小角為45°，故不正確；若為中點(diǎn)，則，所以，又，，所以平面，平面，所以，故不正確；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，所以過、、三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為正六邊形，面積為，故正確．故選：．10．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為【答案】CD【分析】根據(jù)圓柱、圓錐的側(cè)面積、表面積、體積等知識求得正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，圓柱的側(cè)面積為，A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，圓錐的母線長為，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯誤.C選項(xiàng)，球的表面積為，所以圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，圓柱的體積為，圓錐的體積為，球的體積為，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為，D選項(xiàng)正確.故選：CD11．如圖，多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形，則（

）A． B．平面平面FABC．直線EA與平面ABCD所成的角為 D．點(diǎn)E到平面ABF的距離為【答案】ACD【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點(diǎn)，可判斷A選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)對稱性找到平面的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項(xiàng)，求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，如圖，由，，，為正三角形可得為正方形，故，故A正確；對于B選項(xiàng)，取中點(diǎn)為，在，中，由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，平面，平面，則為二面角的平面角，由，，得，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱柱，連接，交點(diǎn)為正方形的中心，則平面，即為直線與平面所成的角，由，，得，故C正確；對于D選項(xiàng)，連接，在正方形可知，，平面，平面，，與相交，且平面，平面即為三棱錐的高，設(shè)點(diǎn)E到平面ABF的距離為，由幾何關(guān)系可求得，，，，由可得，，代入數(shù)據(jù)解得，故D正確．故選：ACD.12．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，若它的所有棱長都為，則（

）A．被截正方體的棱長為2B．被截去的一個四面體的體積為C．該二十四等邊體的體積為D．該二十四等邊體外接球的表面積為【答案】ACD【分析】由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點(diǎn)均為正方體各個棱的中點(diǎn)，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)A項(xiàng)，可知四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，即可得出三棱錐的體積，判斷B項(xiàng)；根據(jù)B項(xiàng)的結(jié)果，以及正方體的體積公式，即可得出C項(xiàng)；設(shè)球心為，連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)，構(gòu)造，根據(jù)勾股定理，即可求出，即外接球的半徑為，即可求出表面積得出D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由已知可推得，二十四等邊體的各個頂點(diǎn)均為正方體各個棱的中點(diǎn)，如圖1，則，所以，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，如圖1，由A知，四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，且長度為的三棱錐，所以，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，正方體的體積為，所以該二十四等邊體的體積為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，如圖2，設(shè)球心為，顯然是正方體的中心，連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.又，，所以，在中，有，所以，所以，該二十四等邊體外接球的半徑，表面積為，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題13．長方體ABCD－A1B1C1D1中，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個小蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，則其路程的最小值為________．【答案】【分析】把長方體含AC1的面作展開圖，有三種情形如圖所示，求解即可.【詳解】把長方體含AC1的面作展開圖，有三種情形如圖所示：利用勾股定理可得AC1的長分別為、、.由此可見圖(2)是最短路線，其路程的最小值為.故答案為：.14．已知直三棱柱的6個頂點(diǎn)都在球的表面上，若，則球的體積為__________.【答案】【分析】根據(jù)正余弦定理可得的外接圓半徑，然后根據(jù)球的性質(zhì)結(jié)合條件可得球的半徑，再利用球的體積公式即得.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以的外接圓半徑為，在直三棱柱中，，設(shè)球的半徑為，則，因此球的體積為．故答案為：.15．在正四棱臺中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均為2，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，則四棱錐的外接球的體積為___________.【答案】【分析】先確定四棱錐為正四棱錐，則其外接球的球心O在直線上，由勾股定理可得半徑，結(jié)合球的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)樗睦馀_為正四棱臺，直線與直線的交點(diǎn)為P，所以四棱錐為正四棱錐，得平面，四棱錐的外接球的球心O在直線上，連接BO，設(shè)該外接球的半徑為R，由，，所以，則，即，解得，則四棱錐外接球的體積為.故答案為：.16．在三棱錐中，平面平面，是等邊三角形且，三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，若球的體積為，則三棱錐體積的最大值為______.【答案】【分析】先利用條件求出球的半徑和外接圓的半徑，由條件知，要使三棱錐體積取到最大值，則點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，再利用球的截面圓的性質(zhì)建立等量關(guān)系，從而求到底面的最大距離，進(jìn)而求出最大體積.【詳解】設(shè)球的，因?yàn)榍虻捏w積為，所以，得到如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，外接圓的半徑為，球心為，又因?yàn)槭堑冗吶切吻?，由正弦定理知，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，由面面垂直的性質(zhì)知，點(diǎn)在底面上的投影在上，因?yàn)槿忮F的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，要使三棱錐體積取到最大值，則點(diǎn)在底面上的投影為的中點(diǎn)，連接并延長交于，連，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以為的中點(diǎn)，即有面，又易知平面，所以,易知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，過作面于，由球的截面圓的性質(zhì)知，點(diǎn)在上，所以所以四邊形為矩形，故，在等邊三角形中，，所以，所以，故所以三棱錐體積的最大值為，故答案為：.四、解答題17．空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足，，過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面交AD于H，連接EH.(1)求；(2)求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)．【答案】(1)AH∶HD＝3∶1.(2)證明見解析【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面ACD，再由可得答案：（2）先證明四邊形EFGH為梯形，設(shè)，則根據(jù)平面的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）∵，，又平面ACD，平面ACD，平面ACD，∵平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，，又，，∴，即：（2）∵，且，，∴，∴四邊形EFGH為梯形，設(shè)，則，而平面ABD，，平面BCD，平面平面BCD＝BD，∴，∴EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)．18．如圖，已知三棱柱，平面平面，，，，、分別是、的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若求的體積【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)，平面平面，得到平面ABC，進(jìn)而得到，再由三棱柱的性質(zhì)得到，然后利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明；（2）由（1）知：平面ABC，然后由求解.【詳解】（1）如圖所示，連結(jié)，在等邊中，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面ABC，又平面ABC，所以，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，又平面，平面，且，所以平面，結(jié)合平面，故.（2）由（1）知：平面ABC，則為三棱柱的高，又，，，所以，所以.19．三棱柱的棱長都為2，D和E分別是和的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)若，點(diǎn)B到平面的距離為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）法一，根據(jù)中位線可得線線平行，證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明，即可得證；（2）根據(jù)線面平行可得，由等體積法求解.【詳解】（1）在三棱柱中，，取中點(diǎn)F，連接DF，EF，∵D和E分別是和的中點(diǎn)，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面，∴面//平面，而面DEF，故直線//平面．法二，連接CE交于點(diǎn)G，連接CD交于點(diǎn)H，連接HG，如圖，在三棱柱中，，，∴，，∴，則，又面，面，∴直線平面.（2）如圖，∵直線//平面，∴，又，所以平行四邊形邊上的高，由B到面的高，則.20．如圖，四邊形是矩形，，，⊥平面，，．點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)．(1)求證：⊥平面；(2)求證：平面；(3)求和平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)．【分析】（1）由線面垂直得到⊥，結(jié)合，由線面垂直的判定定理得到結(jié)論；（2）作出輔助線，由三角形的中位線定理得到線線平行，從而證明線面平行；（3）由（1）得到AC和平面ABE所成的角，求出邊長，直接解直角三角形可得結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，又由，而，平面，故⊥平面；?）連接交于M，連接，由點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，可得，而平面，平面，故平面；（3）由（1）知，平面，即為和平面所成的角．由已知，，，在直角三角形中，可得，即和平面所成角的正弦值為．21．如圖，矩形是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，其中，.(1)畫出平面四邊形的平面圖，并計(jì)算其面積；(2)若該四邊形以為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.【答案】(1)平面圖見解析，面積為(2)幾何體的體積為，表面積為【分析】（1）設(shè)與交點(diǎn)為，在中，求出，，即可得出答案；（2）先求出，.然后根據(jù)題意可推得旋轉(zhuǎn)形成的幾何