專題12函數(shù)與方程（原卷版）

專題12函數(shù)與方程【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).三、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).③連續(xù)不斷的函數(shù)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題題型五：函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型題型七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題題型九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題題型十：等高線問(wèn)題題型十一：二分法【典例例題】題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間例1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，且是的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列函數(shù)的零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．例2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．例3．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．例4．（2022·天津紅橋·一模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．例5．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)為（

）A．0或 B．0 C． D．0或例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則_______．例8．（2022·廣東廣州·二模）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_________．例9．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，則x、y、z由小到大的順序是___________.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)零點(diǎn)的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).題型二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍例10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)是常數(shù)，若函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，則b的取值情況不可能為（

）A．或 B．C．1 D．例11．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，若在存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)值可以是（

）A． B． C． D．例12．（2022·浙江省浦江中學(xué)高三期末）已知二次函數(shù)，設(shè)，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】本類問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題例14．（2022·新疆·三模（理））函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.例15．（2022·上海市市西中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是________例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）若，則有兩個(gè)零點(diǎn)；（2），使得有一個(gè)零點(diǎn)；（3），使得有三個(gè)零點(diǎn)；（4），使得有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論的序號(hào)是__．例17．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（文））已知有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2022·全國(guó)·高二）若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)、，使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．例19．（2022·山東棗莊·高二期末）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例20．（2022·江西省撫州市第一中學(xué)高二月考（理））若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，使得等式成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為（）A． B．或 C．或 D．或或例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（）A． B． C． D．例23．（2022·河南·高三月考（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．例24．（2022·安徽·馬鞍山二中高二期末（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例25．（2022·云南保山·高二期末（文））定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，，則所有實(shí)數(shù)，，，，之和為（）A．12 B．16 C．20 D．24【方法技巧與總結(jié)】2.二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過(guò)參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．題型五：函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題例26．（2022·安徽省滁州中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例27．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點(diǎn)滿足①點(diǎn)A、B都在函數(shù)的圖像上；②點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì)與可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”，已知函數(shù)，則的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)例28．（2022·湖南·高三月考）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)，兩點(diǎn)滿足：①點(diǎn)，都在函數(shù)的圖象上；②點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”點(diǎn)對(duì)與可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”．已知函數(shù)恰有兩個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例29．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若直角坐標(biāo)系內(nèi)A，B兩點(diǎn)滿足：（1）點(diǎn)A，B都在圖象上；（2）點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一個(gè)“和諧點(diǎn)對(duì)”，與可看作一個(gè)“和諧點(diǎn)對(duì)”.已知函數(shù)則的“和諧點(diǎn)對(duì)”有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【方法技巧與總結(jié)】題型六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型例30．（2022·浙江奉化·高二期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．例31．（2022·天津·耀華中學(xué)高二期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．例32．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三月考（文））設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例33．（2022·天津·南開(kāi)中學(xué)高三）設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．題型七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題例34．（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．例35．（2022·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．例36．（2022·新疆·莎車縣第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．1或 C．或2 D．或1例37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．1例38．（2022·云南師大附中高三月考（理））已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）A．1 B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.題型八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例40．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（）．A． B． C． D．例41．（2022·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例42．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題例43．（2022·湖北武漢·高二月考）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).其中，則的值為（）A．1 B． C． D．例44．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則的值為（）A． B． C． D．例45．（2022·吉林·白城一中高三期末（理））已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則的值為（）A． B． C． D．1例46．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，（其中），則的值為（）A． B． C．1 D．1【方法技巧與總結(jié)】解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.題型十：等高線問(wèn)題例47．（2021·陜西·千陽(yáng)縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若方程的個(gè)不同實(shí)根從小到大依次為，，，，有以下三個(gè)結(jié)論：①且；②當(dāng)時(shí)，且；③．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．例48．（2021·江蘇省天一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．例49．（2021·浙江·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，其中，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根、、、，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例50．（2021·四川省新津中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例51．（2021·重慶市第七中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不等實(shí)根，時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．題型十一：二分法例52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解（精確到0.1）為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．例53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)()的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)1.3070.0840.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（）A．0.625 B．0.009 C．0.5625 D．0.066例55．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時(shí)，其根所在區(qū)間應(yīng)為_(kāi)_________．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有（

）個(gè)零點(diǎn)A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，若有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南河南·三模（理））函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為、、，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．5．（2022·天津·靜海一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且當(dāng)時(shí)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2022·天津·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2022·海南·嘉積中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②對(duì)于任意；③當(dāng)時(shí)，；若過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象在上恰有4個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）．A． B． C． D．9．（2022·四川·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．11．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的解集是（

）A． B．或C．或 D．或二、多選題12．（2022·遼寧·三模）已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且.若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值可能為（

）A．2 B． C．3 D．13．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，，，，則的