專題33冪函數(shù)（重點(diǎn)題型解題技巧）

專題3.3冪函數(shù)（重點(diǎn)題型解題技巧）【題型1求冪函數(shù)的解析式（凹凸問題）】【題型2求冪函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的定義域及定點(diǎn)問題】【題型3判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性】【題型4由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式及比較大小】題型1求冪函數(shù)的解析式（凹凸問題）一：冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．①當(dāng)α>0時，函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)α<0時，函數(shù)在[0,+∞)上是減函數(shù)②當(dāng)α>0時，函數(shù)在(0,+∞)上的增長趨勢如何？指數(shù)越大，越靠近x，指數(shù)越大，越靠近x冪函數(shù)解析式的確定步驟第一步：如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即第二步：將點(diǎn)代入所設(shè)解析式中即二：函數(shù)y=f(x)凸性的幾何特征下凸：函數(shù)在區(qū)間的圖象總在線段的下方故存在圖象如下：下凸：函數(shù)在區(qū)間的圖象總在線段的上方故存在圖象如下：形如1：已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則破解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以設(shè)，代入，得，解得所以所以形如2：已知函數(shù)是冪函數(shù).若對于，且，均有，則破解：因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或3因?yàn)?，且，均有，所以的圖象在第一象限上凸，因此所以，所以形如3：若是冪函數(shù)，則＝破解：由題意得，解得，故，所以形如4：已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍破解：（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故。由（1）可知，對任意的恒成立由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是一、單選題1．已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由冪函數(shù)的定義可以求出，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出，由此即可得解.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，解得；將點(diǎn)代入，得，解得；所以．故選：B．2．已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合冪函數(shù)的定義列式求解.【詳解】由題意可得：，解得，所以.故選：B.3．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義求得k，再根據(jù)圖象過的點(diǎn)求得，即可得答案.【詳解】由題意是冪函數(shù)，則，即，將代入可得，故，故選：C二、填空題4．冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為．【答案】或【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，解得即可求出的值.【詳解】是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，且為偶數(shù)，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，.故答案為：或5．已知冪函數(shù)()是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】由冪函數(shù)求參數(shù)，結(jié)合其為偶函數(shù)及區(qū)間單調(diào)性求解析式即可.【詳解】由是冪函數(shù)，則，解得或或.當(dāng)時，是非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時，是偶函數(shù)，但在上遞減，不滿足題意；當(dāng)時，是偶函數(shù)且上遞增，滿足題意．綜上，實(shí)數(shù)t的值為，所求解析式為.故答案為：6．已知冪函數(shù)在第一象限單調(diào)遞減，則.【答案】【分析】根據(jù)題意得，即可解決.【詳解】由題知，冪函數(shù)在第一象限單調(diào)遞減，所以，解得（舍去），或，所以，所以，故答案為：三、解答題7．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)的值域．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用冪函數(shù)定義及性質(zhì)求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)求出函數(shù)最值作答.【詳解】（1）依題意，，即，解得或，當(dāng)時，，不是偶函數(shù)，當(dāng)時，，是偶函數(shù)，所以的解析式是．（2）由（1）知，，，設(shè)，則，，因此，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，于是，所以函數(shù)的值域?yàn)?8．函數(shù)是冪函數(shù)，且當(dāng)時，是增函數(shù)，求的解析式.【答案】【分析】由題意可得求出，再根據(jù)當(dāng)時，是增函數(shù)，可求出其解析式【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，不合題意，所以9．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).(1)求的解析式:并判斷它的奇偶性（不證明）；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)，非奇非偶函數(shù)；(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，并得到函數(shù)奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式組，求出答案.【詳解】（1）設(shè)冪函數(shù)，將代入可得，解得，故，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由如下：因?yàn)槎x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞增，，故，解得，即的取值范圍是.10．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求得的值，再結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性列不等式即可求得x的取值范圍．【詳解】（1）已知冪函數(shù)，則，解得或，所以或，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以；（2）由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，若，則，平方后解得，所以x的取值范圍是.題型2求冪函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的定義域及定點(diǎn)問題定義域：(1)分式中分母不為0；(2)偶次方根中被開方數(shù)非負(fù)；(3)的底數(shù)不為零；(4)的底數(shù)不為零；注：的定義域?yàn)閇0,+∞)，而的定義域?yàn)镽.第二步：列出不等式（組）第三步：解不等式（組），即不等式（組）的解集即為函數(shù)f(x)的定義域.定點(diǎn)問題：形如一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，C．冪函數(shù)的圖象有可能出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零指數(shù)冪的性質(zhì)逐一判斷即可,【詳解】當(dāng)時，此時要求，所以的圖象是一條直線是錯誤的，因此選項(xiàng)A不正確；冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過點(diǎn)，所以選項(xiàng)B不正確；當(dāng)時，冪函數(shù)，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，所以選項(xiàng)C不正確；當(dāng)冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，所以選項(xiàng)D正確，故選：D2．下列關(guān)于冪函數(shù)的命題中正確的有（

）A．冪函數(shù)圖象都通過點(diǎn)B．當(dāng)冪指數(shù)時，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過第一、三象限C．當(dāng)冪指數(shù)時，冪函數(shù)是增函數(shù)D．若，則函數(shù)圖象不通過點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合取值的情況，一一判斷各選項(xiàng)的正誤，可得答案.【詳解】對于A，當(dāng)時，冪函數(shù)圖象不通過點(diǎn)，A錯誤；對于B，冪指數(shù)時，冪函數(shù)分別為，三者皆為奇函數(shù)，圖象都經(jīng)過第一、三象限，故B正確；對于C，當(dāng)時，冪函數(shù)在上皆單調(diào)遞減，C錯誤；對于D，若，則函數(shù)圖象不通過點(diǎn)，通過點(diǎn)，D錯誤，故選：B3．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求使函數(shù)有意義的的取值范圍可得答案.【詳解】由已知解得，所以f(x)的定義域?yàn)椋蔬x：B．4．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)?，則有，解得且，因此的定義域是．故選：B.二、多選題5．已知冪函數(shù)，其中，則下列說法正確的是（

）A． B．恒過定點(diǎn)C．若時，關(guān)于軸對稱 D．若時，【答案】ABC【分析】根據(jù)為冪函數(shù)，可求得a值，即可判斷A的正誤；根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，可判斷B的正誤；當(dāng)時，根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)，可判斷C的正誤；根據(jù)m的范圍，可得范圍，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得，故A正確；則，故恒過定點(diǎn)，故B正確；當(dāng)時，，，所以為偶函數(shù)，則關(guān)于軸對稱，故C正確；當(dāng)時，，則在上為增函數(shù)，所以，故D錯誤.故選：ABC三、填空題6．冪函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】冪函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn).故答案為：7．已知函數(shù)（為不等于0的常數(shù)）的圖象恒過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)知的圖象恒過，即可求出函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn).【詳解】因?yàn)榈膱D象恒過，所以的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：8．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可得，解得.故答案為：.9．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥渴紫惹髢绾瘮?shù)的解析式，再求函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的形式，求函數(shù)的定義域.【詳解】∵的圖象過點(diǎn)，∴，，應(yīng)該滿足：，即，∴的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋核?、概念填?0．對冪函數(shù)，填空：（1）當(dāng)，時，圖象恒過和兩點(diǎn)；其中當(dāng)時，冪函數(shù)圖象在圖象的方；當(dāng)時，冪函數(shù)圖象在圖象的方．（2）當(dāng)，時，圖象也恒過和兩點(diǎn)；其中當(dāng)時，冪函數(shù)圖象在圖象的方；當(dāng)，冪函數(shù)圖象在圖象的方．（3）當(dāng)，時，圖象恒過點(diǎn)．【答案】下上上下【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，對每個空進(jìn)行逐一填寫即可.【詳解】（1）當(dāng)，時，圖象恒過和兩點(diǎn)；其中當(dāng)時，冪函數(shù)圖象在圖象的下方；當(dāng)時，冪函數(shù)圖象在圖象的上方．（2）當(dāng)，時，圖象也恒過和兩點(diǎn)；其中當(dāng)時，冪函數(shù)圖象在圖象的上方；當(dāng)，冪函數(shù)圖象在圖象的下方．（3）當(dāng)，時，圖象恒過點(diǎn)點(diǎn).故答案為：；；下；上；；；上；下；.題型3判斷五種常見冪函數(shù)的奇偶性根據(jù)題干已知單調(diào)性及奇偶性便可確定具體冪函數(shù)的表達(dá)式，然后畫出對應(yīng)的圖象可以解決題干所求形如1．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)若，求；(2)已知，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍．破解：（1）對于冪函數(shù)，得，解得或，又當(dāng)時，不為偶函數(shù)，，，。解得（2）關(guān)于x的不等式在上恒成立；即在上恒成立，即，先證明在上單調(diào)遞增，任取則，，，又，，，即，故在上單調(diào)遞增.，又，解得.形如2．已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若正數(shù)滿足，若不等式恒成立．求的最大值．破解：（1）為冪函數(shù)，，解得：或當(dāng)時，，則，即為偶函數(shù)，不合題意，舍去當(dāng)時，，則，即為奇函數(shù)，符合題意綜上所述：（2）由（1）得：，即，又，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，形如3．已知冪函數(shù)的表達(dá)式為，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且滿足，求的值．破解：∵為冪函數(shù)，∴，解得又，∴，解得，∵，∴或當(dāng)時，，此時的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意當(dāng)時，，滿足題意，∴，∴1．設(shè)，若冪函數(shù)定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域和冪函數(shù)的奇偶性可以確定m的值.【詳解】解：由題意知，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于y軸成軸對稱，則.故選：C．2．若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則（

）A．或4 B． C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】若冪函數(shù)，則，解得或，且冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則為偶數(shù)，故.故選：C．3．函數(shù)同時滿足①對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】由的值依次求出的值，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定，得函數(shù)解析式，計(jì)算函數(shù)值．【詳解】，，，代入分別是，在定義域內(nèi)，即是偶函數(shù)，因此取值或0，時，在上不是減函數(shù)，只有滿足，此時，，．故選：B．4．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及冪函數(shù)的對稱性確定正確答案.【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時，，是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，符合題意.當(dāng)時，，是奇函數(shù)，圖像不關(guān)于軸對稱，不符合題意.所以的值為.故選：A5．已知冪函數(shù)（m，，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時，冪函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)冪函數(shù)中結(jié)論一一分析即可.【詳解】對A，當(dāng)m，n是奇數(shù)時，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，則冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；對B，當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)在時無意義，故B中的結(jié)論錯誤；對C，當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，則冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結(jié)論正確；對D，時，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯誤；故選：AC.6．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，的值可以是.（寫一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)確定出值作答.【詳解】由偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上單調(diào)遞減，而是冪函數(shù)，則，取，符合題意.故答案為：7．冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為．【答案】或【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，解得即可求出的值.【詳解】是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，且為偶數(shù)，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，.故答案為：或8．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義和奇偶性直接求解即可.【詳解】為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時，為偶函數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，為奇函數(shù)，不合題意；綜上所述：.故答案為：.9．函數(shù)是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】3【分析】由函數(shù)是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，列方程求出的值.【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，得，即，解得或；又∵為偶函數(shù)，即為偶數(shù)，所以實(shí)數(shù)的值是3.故答案為：3.10．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，求出的值．再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求出滿足的的取值范圍．【詳解】由題意，∵函數(shù)在上遞減，∴即，又∴或，又函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，∴為偶數(shù)，因此，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∴等價(jià)于，∴，故的取值范圍為．11．已知冪函數(shù)滿足：①在上為增函數(shù)，②對，都有，求同時滿足①②的冪函數(shù)的解析式，并求出時，的值域.【答案】，【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及題設(shè)條件可確定表達(dá)式，進(jìn)而確定其在指定區(qū)間上的值域.【詳解】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，解得，又，所以，或．又因?yàn)?，所以是偶函?shù)，所以為偶數(shù)．當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，不滿足題意，所以，又因?yàn)樵谏线f增，所以，，故時，的值域是．12．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求得的值，再結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性列不等式即可求得x的取值范圍．【詳解】（1）已知冪函數(shù)，則，解得或，所以或，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以；（2）由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞減，若，則，平方后解得，所以x的取值范圍是.題型4由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式及比較大?、俦容^大?。褐苯臃ǎ寒?dāng)冪指數(shù)相同時，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不同時，可以先轉(zhuǎn)化為相同的冪指數(shù)，再利用單調(diào)性來比較大小中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同時，不能運(yùn)用單調(diào)性比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值，從而達(dá)到比較大小的目的②冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式第一步：根據(jù)冪函數(shù)定義，設(shè)，代入點(diǎn)即可得解析式第二步：利用冪函數(shù)單調(diào)性及其定義域，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍形如1．已知是冪函數(shù)，(1)若函數(shù)過定點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式和定義域；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.破解：（1）設(shè)，代入點(diǎn)得，解得即，其定義域?yàn)椋?）由冪函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞減，，，解得或形如2．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍．破解：（1）由函數(shù)為冪函數(shù)得，解得或又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，（2）由（1）得，所以不等式為設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減所以，解得，所以的取值范圍是形如3．比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，，．破解：（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以（2）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，，所以，所以，所以（3），，，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以1．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由函數(shù)為冪函數(shù)得，解得或，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，；（2）由（1）得，所以不等式為，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍.【答案】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)求得，利用冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.又，所以或.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以是偶數(shù)，所以，即.則原不等式可化為.因?yàn)楹瘮?shù)在R上是增函數(shù)，所以，解得.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，．(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性進(jìn)行計(jì)算；（2）結(jié)合（1）中的參數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和定義域計(jì)算.【詳解】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性可知：，解得，于是（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，在定義域上單調(diào)遞減，由，即，于是，解得4．已知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào)．(1)試問：函數(shù)是否具有奇偶性？請說明理由；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)為奇函數(shù)；理由見解析(2)或【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可得或，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性排除增根，由此確定的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過討論化簡不等式求其解.【詳解】（1）由題意，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)，符合題意，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù)；（2）由及為奇函數(shù)，可得，即，而在上遞減且恒負(fù)，在上遞減且恒正，所以或或，解得或．5．已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義得到或，根據(jù)奇偶性即可得到的值，再計(jì)算即可；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得或或，進(jìn)而即得.【詳解】（1）由，得或，當(dāng)時，是奇函數(shù)，滿足題意，當(dāng)時，是偶函數(shù)，不滿足題意，所以，；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑔握{(diào)減區(qū)間為，，由，可得或或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.6．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù)，(1)求的值.(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得且,可得m的值為1或2，然后根據(jù)已知條件分析即可；（2）由（1）可得不等式，由可得單調(diào)性，然后分類討論，解出不等式求出a的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于軸對稱，所以是偶數(shù)，因此；（2）由（1）可得，故為，因?yàn)樵谏暇鶠闇p函數(shù)，所以等價(jià)于：或或解得或，故的取值范圍為或.7．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是減函數(shù).(1)求和的值；(2)求滿足的的取值范圍.【答案】(1)或3，(2)或.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得系數(shù)為1，進(jìn)而可求或3，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，可求解，（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）∵冪函數(shù)，∴，解得或3，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，∴，解得，∵，∴或，又因?yàn)閮绾瘮?shù)圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；當(dāng)時，，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意，綜上，或3，；（2）由（1）可得，∴原不等式可化為而函數(shù)在和上分別為減函數(shù)，所以不等式可化為：或或，解得或.8．已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，而當(dāng)時，，為奇函數(shù)，不符題意，當(dāng)時，，為偶函數(shù)，于是．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，所以等價(jià)于或或，解得或，即.9．已知冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，(1)求；(2)當(dāng)滿足時，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，即，解得或.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.（2）由（1）知，，所以的解析式為，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，且，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的范圍為.10．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)(1)求的解析式(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義與單調(diào)性列式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性列式運(yùn)算求解，注意冪函數(shù)的定義域.【詳解】（1）由題意可得，解得，故.（2）由（1）可知：的定義域?yàn)?，由，則，解得，∵冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得，∴a的取值范圍為.11．已知冪函數(shù)過點(diǎn)(1)求的解析式(2)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義，設(shè)，代入點(diǎn)即可得解析式；（2）利用冪函數(shù)單調(diào)性及其定義域，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）依題意可知，設(shè)函數(shù)，將點(diǎn)代入得；所以，的解析式（2）由（1）知，，易知在上為減函數(shù)，又∴解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增.(1)求m和n的值；(2)求滿足不等式的a的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)可得，求得m,結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)即可求得n的值;（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，利用函數(shù)的性質(zhì)，可得關(guān)于a的不等式，求得答案.【詳解】（1）∵是冪函數(shù)，∴，解得m=3.由在上單調(diào)遞增得，解得.∵，∴或.當(dāng)時，函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，符合題意.當(dāng)時，函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意.綜上，，.（2