專題51任意角與弧度制（原卷版）

專題5.1任意角與弧度制一、角的相關(guān)概念1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．2.角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3.按照角的旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：4.相反角如圖，我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.二、象限角1.若角的頂點在原點，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角．2.若角的終邊在坐標(biāo)軸上，則認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．3.象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法4.已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀地看出．三、終邊相同的角1.設(shè)α表示任意角，所有與角α終邊相同的角，包括α本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為{β|β＝eq\o(□,\s\up1(01))α＋k·360°，k∈Z}．2.對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數(shù)，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一．四、角的單位制1.用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的eq\f(1,360).2.長度等于半徑長的圓弧所對的eq\o(□,\s\up3(03))圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度，通常略去不寫．以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制．3.弧度數(shù)的計算4.角度制和弧度制的比較(1)弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，而角度制是以“度”為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角是指等于半徑長的弧所對的圓心角，而1度的角是指圓周角的eq\f(1,360)的角，大小顯然不同．(3)無論是以“弧度”還是以“度”為單位來度量角，角的大小都是一個與“半徑”大小無關(guān)的值．(4)用“度”作為單位度量角時，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫．但兩者不能混用，即在同一表達式中不能出現(xiàn)兩種度量方法．五、角度與弧度的換算1.角度制與弧度制的換算2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π六、扇形的弧長及面積公式1.設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角的弧度數(shù)，n為圓心角的角度數(shù)，則扇形的弧長：l＝eq\f(nπr,180)＝αr，扇形的面積：S＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.一、單選題1．與角的終邊相同的角可表示為（

）A． B．C． D．2．下列與角的終邊一定相同的角是（

）A． B．C． D．3．在0°到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為（）A． B．C． D．4．角所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知角，則角的終邊落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．下列說法正確的是（

）A．終邊相同的角相等 B．相等的角終邊相同C．小于的角是銳角 D．第一象限的角是正角7．的角化為弧度制的結(jié)果為（

）A． B． C． D．8．中國傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊.《樂府詩集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“疊扇放床上，企想遠風(fēng)來輕袖佛華妝，窈窕登高臺.”如圖所示，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打開時圓心角為，扇面所在大圓的半徑為，所在小圓的半徑為，那么這把折扇的扇面面積為（

）A． B． C． D．以上都不對9．把表示成，的形式，則的值可以是（

）A． B． C． D．10．我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題，不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中與弦圍成的弓形的面積為（

）A． B． C． D．11．《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為米，肩寬約為米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（

）A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米12．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件13．在中，，以為圓心，為半徑作圓弧交于點，若弧等分的面積，且弧度，則（

）A． B． C． D．14．碭山被譽為“酥梨之鄉(xiāng)”，每逢四月，萬樹梨花開，游客八方來．如圖1，梨花廣場的標(biāo)志性建筑就是根據(jù)梨花的形狀進行設(shè)計的，建筑的五個“花瓣”中的每一個都可以近似看作由兩個對稱的弓形組成，圖2為其中的一個“花瓣”平面圖，設(shè)弓形的圓弧所在圓的半徑為，弦長為，則一個“花瓣”的面積為（

）A． B．C． D．15．設(shè)圓的半徑為，點為圓周上給定一點，如圖，放置邊長為的正方形（實線所示，正方形的頂點與點重合，點在圓周上）.現(xiàn)將正方形沿圓周按順時針方向連續(xù)滾動，當(dāng)點首次回到點的位置時，點所走過的路徑的長度為（）A． B． C． D．16．用半徑為2，弧長為的扇形紙片卷成一個圓錐，則這個圓錐的體積等于（

）A． B． C． D．17．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．18．《九章算木》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計算弧田面釈所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=(弦×矢+矢2).弧田，由圓弧和其所對弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，弦長等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面積的經(jīng)驗公式竍算所得弧田面積(單位，平方米)為A． B． C． D．19．將分針撥慢分鐘，則分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．20．一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．二、填空題21．已知某圓錐的側(cè)面積為，該圓錐側(cè)面的展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為______22．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中"方田"章給出了計算弧田面積時所用的經(jīng)驗公式，即弧田面積，弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦"指圓弧所對弦長，“矢"指圓弧頂?shù)较业木嚯x（等于半徑長與圓心到弦的距離之差），現(xiàn)有圓心角為，半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積是_________平方米．（結(jié)果保留根號）23．中國折疊扇有著深厚的文化底蘊.如圖（2），在半圓（半徑為20cm）中作出兩個扇形和，用扇環(huán)形（圖中陰影部分）制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形的面積為，扇形的面積為，當(dāng)時，扇形的現(xiàn)狀較為美觀，則此時扇形的半徑為__________cm

24．“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月牙泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點間距離為米.其中外岸為半圓形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游客步行的路程為_______