第2課時(shí)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第2課時(shí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示編寫：廖云波【回歸教材】1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.向量與坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)．3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=（x1，y1）b=（x2，y2）則a+b=(x1+x2，y1+y2)ab=(x1x2，y1y2)λa=(λx1，λy1)(2)向量的坐標(biāo)求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=(x2x1，y2y1)，

|AB|=(x4.向量平行與垂直的條件設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?a=λb(λ∈R)?x1y2x2y1=0.

a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0【典例講練】題型一平面向量的基本定理及其應(yīng)用【例11】下列各組向量中，不能作為平面的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基底的定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以兩向量不能作為一組基底；對(duì)于C，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底；對(duì)于D，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以能作為一組基底.故選：B．【例12】已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底表示，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出、和，并設(shè)，聯(lián)立方程組求出和即可.【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則，，，設(shè)向量，則，所以.故選：A【例13】半徑為1的扇形的圓心角為，點(diǎn)在弧上，，若，則______.

【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，進(jìn)而得解．【詳解】建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，即，，即，，解得．．故答案為：歸納總結(jié)：【練習(xí)11】若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】不共線的向量能作為基底，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】不共線的向量能作為基底，因?yàn)?，所以向量，共線，故排除A；假設(shè)，解得，無解，所以向量，不共線，故B正確；因?yàn)?，所以，共線，故排除C；因?yàn)?，所以，共線，故排除D，故選：B【練習(xí)12】如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】法一：構(gòu)建以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸的直角坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量基本定理求x、y即可求值；法二：過C作交AB的延長(zhǎng)線于E，作交AD的延長(zhǎng)線于F，利用向量加法的平行四邊形法則可得求x、y，進(jìn)而求值；法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律、及已知條件構(gòu)建方程求x、y即可.【詳解】法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，，則且，又，，即，∴，由，有，解得，故.法二：如圖，過C作交AB的延長(zhǎng)線于E，作交AD的延長(zhǎng)線于F，∴.由，及，易知：B是線段AE的中點(diǎn)，于是.由，，得，易知，，∴，則，故，于是，又，∴，即.法三：設(shè)，由，，得，，由，得，又，則.又，，∴，于是，故.故選：B.【練習(xí)13】已知點(diǎn)，，是函數(shù)，圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】由題可得，然后利用向量的坐標(biāo)關(guān)系可得，然后利用函數(shù)單調(diào)性即得.【詳解】由題可知，又，，，∴，∴，即∴，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)∴的最大值為.故答案為：.題型二平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算【例21】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，（1，4），若點(diǎn)滿足.則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解方程組即可求解.【詳解】設(shè)，則，，因，所以，解得，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【例22】已知，，點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)M，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)即可求出P的坐標(biāo).【詳解】由題可知，設(shè)，則，，，∴.故答案為：.歸納總結(jié)：【練習(xí)21】已知向量，，，若，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解，即可.【詳解】解：由，所以，，解得，，所以，故選：A．【練習(xí)22】已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.【答案】或【解析】【分析】分點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線、點(diǎn)在線段上以及點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上三種情況，結(jié)合平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】若點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上，又因?yàn)?，則有，設(shè)，則，所以，解得，即；若點(diǎn)在線段上，又因?yàn)?，則有設(shè)，則，所以，解得，即；若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，又因?yàn)?，則顯然不成立；故答案為:或.題型三平面向量平行與垂直的坐標(biāo)表示【例31】已知向量，，當(dāng)為何值時(shí)，(1)與垂直？(2)與平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？(3)若，，且A、B、C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)，反向(3)【解析】【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示，列方程后解出的值(1)向量，，∴，∵，∴∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，與垂直；(2)若與平行，則，解之得，這時(shí)，它們是反向．(3)∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴，∴存在實(shí)數(shù)，使得，又與不共線，∴，∴．歸納總結(jié)：【練習(xí)31】設(shè)x，，向量，，，且，，則（

）A． B．1 C．2 D．0【答案】D【解析】【分析】由題知，進(jìn)而解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，且，，所以，解得，所?故選：D【練習(xí)32】已知向量，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，可得，再利用同角之間的公式化簡(jiǎn)，代入即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，即故選：A【完成課時(shí)作業(yè)（三十三）】

【課時(shí)作業(yè)（三十三）】A組礎(chǔ)題鞏固1．下列各組向量中，可以用來表示向量的是（

）A．B．C．，D．【答案】D【解析】【分析】在平面向量中能作為基底的充分必要條件是一組不平行的非零向量，按照這個(gè)條件逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，是零向量，不可以；對(duì)于B，，是平行向量，不可以；對(duì)于C，，是平行向量，不可以；對(duì)于D，不存在實(shí)數(shù)使得成立，是一組不平行的非零向量，可以；故選：D.2．已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，又，所以，解?故選：B3．在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．4．如圖，在正方形網(wǎng)格中，向量，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由向量加減法運(yùn)算法則，得到所求向量為，再由向量減法的三角形法則，以及向量數(shù)乘運(yùn)算，計(jì)算答案.【詳解】由題意得，故選：C.5．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，若，則角B的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量平行列方程，結(jié)合正弦定理求得正確答案.【詳解】由于，所以，由正弦定理得，，，，由于，所以，所以，由于，所以.故選：B6．正三角形OAB的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)C滿足，且，則點(diǎn)C的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．射線 D．圓【答案】D【解析】【分析】可以利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得，即，來確定動(dòng)點(diǎn)C的軌跡；或者可以利用三角形的特點(diǎn)合理建系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用已知條件計(jì)算軌跡方程，來確定C的軌跡.【詳解】解：方法一：由題可知：，又所以，即所以點(diǎn)C的軌跡是圓.方法二：由題可知：，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)OB為x軸，過O點(diǎn)與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以設(shè)，又所以整理得：所以點(diǎn)C的軌跡是圓.故選：D.7．已知向量，若，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以由可得，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．8．已知三點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】；【解析】先設(shè)點(diǎn)，再結(jié)合向量相等的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，由，，則，，又，則，解得，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量相等的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題.9．已知兩點(diǎn)M（7，8），N（1，－6），P點(diǎn)是線段MN的靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即得.【詳解】由題意可得，設(shè)P（x，y），則（－6，－14）＝3（x－7，y－8），∴，解得即.故答案為：.10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)結(jié)合，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系結(jié)合求解即可；（2）先求得，再根據(jù)向量平行的性質(zhì)證明即可(1)由題意，因?yàn)?，，故，故，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2)由題意，，又，故，且不共線，故11．已知，(1)當(dāng)為何值時(shí)，與共線；(2)若直角三角形中，為直角，，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.(1)因?yàn)?，所以，，?dāng)與共線時(shí)，有；(2)因?yàn)?，所以，因?yàn)闉橹苯?，所?B組挑戰(zhàn)自我1．在直角梯形ABCD中，，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且，則xy的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過作，垂足為，因?yàn)?，所以有，，設(shè)，，因此有因?yàn)?，所以有，而，所以，?dāng)時(shí)，xy有最大值，當(dāng)，或時(shí)，xy有最小值，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.2．如圖，扇形的半徑為1，且，點(diǎn)C在弧上運(yùn)動(dòng)，若則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示，可以用角分別表示出，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)求最值.【詳解】依題意，以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，，，，，，其中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值是.故選：A.3．在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】由題可知，，，設(shè)，則，將模長(zhǎng)和數(shù)量積代入由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【詳解】由題可知，，，設(shè)，則則所