第六章數(shù)列（模擬測(cè)試-教師版）

第六章：數(shù)列（模擬測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【分析】利用基本量法可得，故可求的值.【詳解】設(shè)的公差為d，則，即，則，故選：A.2．設(shè)是公差大于零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由得出，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】，由是公差大于零的等差數(shù)列，且，可得，即；反之，若，則當(dāng)時(shí)，，即．因此，“”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，同時(shí)也涉及了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.3．在等比數(shù)列中，公比，且，則（

）A．3 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】，.故選:B.4．已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C5．已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】C【分析】分析可知數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出，結(jié)合等差中項(xiàng)法判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，故對(duì)任意的，，則，所以，數(shù)列的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以，，可得，由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故選：C.6．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由關(guān)系且可得，利用累加法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.【詳解】由題設(shè)，則，又都為正項(xiàng)，則，故，所以，所以，故.故選：C7．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（

）A．0 B．1 C．675 D．2023【答案】B【分析】利用函數(shù)計(jì)算可得，再利用數(shù)列的周期性可求.【詳解】的定義域?yàn)?，且，故為上的奇函?shù).而，因在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故為上的增函數(shù).又即為，故，因?yàn)?，故為周期?shù)列且周期為3.因?yàn)椋?故選：B.8．已知數(shù)列由首項(xiàng)及遞推關(guān)系確定.若為有窮數(shù)列，則稱(chēng)a為“壞數(shù)”.將所有“壞數(shù)”從小到大排成數(shù)列，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由得，所以數(shù)列為等差數(shù)列,則，求出數(shù)列，當(dāng)分母為0，得，即時(shí)，數(shù)列為有窮數(shù)列，得出，即，又，，根據(jù)單調(diào)性可得答案.【詳解】由，得則，即所以數(shù)列為等差數(shù)列,則則，所以當(dāng)時(shí),，滿足條件.當(dāng)分母為0，得，即時(shí)，數(shù)列為有窮數(shù)列.當(dāng)時(shí),數(shù)列為有窮數(shù)列.則當(dāng)分母為0時(shí)，無(wú)意義，此時(shí)數(shù)列為有窮數(shù)列，此時(shí)對(duì)應(yīng)的值為所以，由，則，即設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增.所以設(shè)設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增.所以所以選項(xiàng)C正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查新定義，考查求數(shù)列中項(xiàng)的范圍，屬于難題.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．對(duì)于數(shù)列，若，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．【答案】ACD【分析】由，得，兩式相減得，結(jié)合可知數(shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)和所有偶數(shù)項(xiàng)各自構(gòu)成等差數(shù)列，從而即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.【詳解】由，，得，，，所以A選項(xiàng)正確；又，，兩式相減得，令，可得，所以不是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C正確；同理，令，則，所以是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，故D正確.故選：ACD10．在數(shù)列中，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 D．【答案】ACD【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合單調(diào)性定義及數(shù)列的求和分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)椋瑪?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，所以所以，故正確，錯(cuò)誤；因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)減函數(shù)，故數(shù)列是減數(shù)列，故正確；，故正確.故選：.11．已知數(shù)列滿足為的前項(xiàng)和．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．取最大值時(shí)， B．當(dāng)取最小值時(shí)，C．當(dāng)取最大值時(shí)， D．的最大值為【答案】AD【分析】由題意知，即可得到的取值范圍，從而得到令，即可得到，從而得到，即可判斷A、B，再利用基本不等式求出，即可判斷C、D.【詳解】由題意知，則，因?yàn)?，所以，令，所以，所以，所以，即或，又，故．?dāng)取最大值時(shí)，，此時(shí)，則，，故，故A正確；當(dāng)取最小值時(shí)，，此時(shí)，則，，故，故B不正確；由，知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)取最大值時(shí)，，此時(shí)，故C不正確，D正確．故選：AD12．?dāng)?shù)列，，，該數(shù)列為著名的裴波那契數(shù)列，它是自然界的產(chǎn)物揭示了花瓣的數(shù)量、樹(shù)木的分叉、植物種子的排列等植物的生長(zhǎng)規(guī)律，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)累加法得出結(jié)果；對(duì)于B，根據(jù)，，累加得出結(jié)果；對(duì)于C、D，先假設(shè)等比數(shù)列公比為q，再結(jié)合進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，由，，…，，兩邊相加并代入得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，則，則.故B正確；對(duì)于C，假設(shè)為公比為q等比數(shù)列，故，即，所以，，矛盾，故C不成立.對(duì)于D，假設(shè)為公比為q的等比數(shù)列，故，即，由已知得：，，解得，所以D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是靈活利用數(shù)列的遞推關(guān)系，將選項(xiàng)進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，由，轉(zhuǎn)化，再結(jié)合累加得出結(jié)果.本題是一個(gè)偏難的題目，靈活性強(qiáng)，學(xué)生不容易把握.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】對(duì)已知遞推關(guān)系的等式兩邊同時(shí)除以，利用累加法，結(jié)合裂項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.【詳解】，兩邊同除得：，所以，即，化簡(jiǎn)得，∵，∴．故答案為：.14．已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則.【答案】【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，所以，則，所以.故答案為：.15．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.【答案】【分析】根據(jù)所給遞推關(guān)系可得，，與原式作差即可求解，注意驗(yàn)證首項(xiàng)，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可..【詳解】因?yàn)椋?，兩式相減，可得，即，又當(dāng)時(shí)，，不滿足，所以所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以.故答案為：.16．已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切，恒有成立，則能取到的最大整數(shù)是.【答案】【分析】根據(jù)題意推得，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得的通項(xiàng)公式為，得到，令，結(jié)合，求得最小時(shí)為，根據(jù)恒成立，求得，即可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都不為0，所以，因?yàn)?，所以，?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以；數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可得，所以，令，，，則，所以隨著的增大而增大，即在處取最小值，，又因?yàn)閷?duì)一切，恒有成立，所以，解得，故能取到的最大整數(shù)是.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡(jiǎn)，可得，由等差數(shù)列的定義得證；（2）由（1）求出，再由累乘法求解.【詳解】（1）由，得．所以，即，整理得，上式兩邊同時(shí)除以，得．又，所以，即，所以是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）知，．所以．所以．18．在①為等差數(shù)列，；②；③是等差數(shù)列，，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，__________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式以及由遞推關(guān)系求通項(xiàng)的方法代入即可求解；（2）兩次使用乘工筆錯(cuò)位相減即可求解.【詳解】（1）若選①，設(shè)的公差為，由題意可得解得，所以.若選②，當(dāng)時(shí)，，解得；由題得，所以當(dāng)時(shí)，，作差得，即，又，所以，所以是公差為2的等差數(shù)列，所以.若選③，設(shè)的公差為，所以，所以，因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以.（2）由（1）可得，所以.所以，①所以，②①②得，令③則，④③④得，所以，所以，所以.19．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當(dāng)時(shí)，，故.20．已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．(1)求k的值和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，，成等差數(shù)列，可求得，即可求出值和通項(xiàng)公式.（2）由（1）可求出的通項(xiàng)公式，分類(lèi)討論即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）解：，，成等差數(shù)列，所以，得，得，因?yàn)?，所以，所以，得．?）由（1）知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k，可得，即；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k－1，可得，即．綜上所述，.21．已知函數(shù)的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證為等比數(shù)列，并求．(2)對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）由已知可推得，變形可得，即可得出證明.由已知，進(jìn)而得出，整理即可得出答案；（2）分組求和得出.根據(jù)錯(cuò)位相減法求，得出，即可得出，然后根據(jù)，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，所?又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以.（2）因?yàn)?，所?設(shè)，所以，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?22．?dāng)?shù)列滿足，.(1)證明：；(2)若數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先從函數(shù)的角度證明不等式的右邊成立，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法或求通項(xiàng)的方法證明不等式右邊成立，在利用求通項(xiàng)的方法時(shí)，需要給出數(shù)列的單調(diào)性說(shuō)