第04講一元二次方程的解法（因式分解法6種題型）（原卷版）

第04講一元二次方程的解法（因式分解法6種題型）1.理解用因式分解法解方程的依據(jù).2.會(huì)用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點(diǎn)）3.會(huì)根據(jù)方程的特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?（難點(diǎn)）（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；

②將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

③令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：

（1）能用分解因式法來(lái)解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.例1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的根為（

）A．或 B．或 C．或 D．例2．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如果滿足一元二次方程，則代數(shù)式的值是______．題型1利用提公因式法例3.方程：的較小的根是（ ）A． B． C． D．例4.解關(guān)于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．題型2利用平方差公式例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例6.解關(guān)于的一元二次方程：．題型3利用完全平方公式例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；題型4十字相乘法因式分解例8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為，則______．例9．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€(gè)根分別是的兩邊長(zhǎng)，則第3條邊長(zhǎng)___________．例10．（2022春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是方程兩根，求此等腰三角形的周長(zhǎng)_____．例11．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，第三邊長(zhǎng)是方程的根，則該三角形的周長(zhǎng)是______．題型5：選擇合適的方法解一元二次方程例12．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠套钸m當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法例13.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．題型6：換元法與因式分解綜合解一元二次方程例14．（2021秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解得，．?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；原方程有四個(gè)根：，，，．仿照上面方法，解方程：．例15．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹人學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：(1)將關(guān)于x的一元二次方程+bx+c＝0變形為＝﹣bx﹣c，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，我們稱這樣的方法為“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)＝y(tǒng)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得＝1，＝4．當(dāng)y＝1時(shí)，＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四個(gè)根．請(qǐng)你用（2）中的方法求出方程的實(shí)數(shù)解．例16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，解決問(wèn)題：解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋獾?，．?dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；∴原方程有四個(gè)根：，，，．請(qǐng)參照例題，解方程．一、單選題1．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，則另一個(gè)方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（

）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣62．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為，則關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為（

）A． B．C． D．3．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的根可以是（）A． B． C． D．4．（2020秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二、填空題5．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根的值是_________．6．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，則的值為______．三、解答題7．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．8．（2023秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．9．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：(1)；(2)．10．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）先閱讀以下材料，再解答問(wèn)題：在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法后，利用課后托管時(shí)間，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法進(jìn)行了如下探究：根據(jù)該方程的特點(diǎn)，可以把x2視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2＝y(tǒng)，則x4＝y(tǒng)2，原方程可化為y2－5y＋4＝0.

①

解得y1＝1，y2＝4.當(dāng)y＝1時(shí)，x2＝1，∴x＝±1；當(dāng)y＝4時(shí)，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程的解為x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.請(qǐng)解答問(wèn)題：（1）填空：在由原方程得到方程①的過(guò)程中，主要利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.11．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)k為整數(shù)______時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．一、單選題1．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）方程的根是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2019秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足方程，那么的值為（

）A．或4 B．4 C． D．2或4．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如果分式的值為0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．或05．（2021秋·江蘇宿遷·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足方程，則不同的值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題6．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的方程的根是，，那么關(guān)于的方程的根是________；7．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹人學(xué)校校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程的解是，，則關(guān)于y的方程的解是______．8．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）知道方程的解是，，現(xiàn)給出另一個(gè)方程，則它的解是_____．9．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b滿足，則的值為______．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x滿足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值為________________．三、解答題11．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)濱?？h第一初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）解某些高次方程或具有一定結(jié)構(gòu)特點(diǎn)方程時(shí)，我們可以通過(guò)整體換元的方法，把方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解，從而達(dá)到降次或變復(fù)雜為簡(jiǎn)單的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果設(shè)x2﹣3＝y(tǒng)，∵x2﹣3＝y(tǒng)，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．應(yīng)用：請(qǐng)用換元法解下列各題（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，則x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．12．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀】小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：已知關(guān)于x的方程（a、b、m為常數(shù)，）的解是，，求方程的解．他用“換元法”解決了這個(gè)問(wèn)題．我們一起來(lái)看看小明同學(xué)的具體做法．解：在方程中令，則方程可變形為，根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，可得方程的解是，．把代入得，，把代入得，，所以方程的解是，．【理解】已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m，n．(1)關(guān)于x的方程的兩根分別是______（用含有m、n的代數(shù)式表示）；(2)方程______的兩個(gè)根分別是2m，2n．（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）(3)【猜想與證明】雙察下表中每個(gè)方程的解的特點(diǎn)：方程方程的解方程方程的解，，，，，，……猜想：方程的兩個(gè)根與方程______的兩個(gè)根互為倒數(shù)