浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點中學2024-2025學年高一上學期11月期中考試數(shù)學試題 含解析

2024學年第一學期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學高一年級數(shù)學學科試題命題：臨平中學林威、朱華峰審校：淳安中學徐光合審核：永嘉中學徐益潔校稿：呂金晶考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷密封區(qū)內填寫班級、考試號和姓名；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結束后，只需上交答題卷.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.0,+∞【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知可得集合，根據(jù)并集的概念求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：.2.下列函數(shù)在定義域上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對于，由單調性的定義即可判斷；對于，畫出函數(shù)圖象即可判斷；對于，由函數(shù)圖象的變換即可判斷；對于，由復合函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】對于，函數(shù)的定義域為，，，，所以不是減函數(shù)，故不正確；對于，，函數(shù)圖象如下：所以函數(shù)不是減函數(shù)，故不正確；對于，的定義域為，因為是增函數(shù)，所以是減函數(shù)，所以是減函數(shù)，故正確；對于，函數(shù)定義域為1,+∞，令，因為是增函數(shù)，是增函數(shù)，所以在1,+∞上是增函數(shù)，故不正確.故選：.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先解不等式，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】解不等式得，所以成立能推出，當時不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：.4.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A或2 B.2C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質即可求解.【詳解】因為冪函數(shù)為偶函數(shù)，所以且為偶數(shù)，所以.故選：.5.聲音的強弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強.通常人耳能聽到聲音的最小聲強為（瓦/平方米）.在某特殊介質的實驗中對于一個聲音的聲強，用聲強與比值的常用對數(shù)來表示聲強的“聲強級數(shù)n”，即，則“聲強級數(shù)8”的聲強是“聲強級數(shù)5”的聲強的（）A.20倍 B.倍 C.100倍 D.1000倍【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知可得，分別計算當時和時的值，即可求解.【詳解】因為，所以，當時，，當時，，所以，即“聲強級數(shù)8”的聲強是“聲強級數(shù)5”的聲強的倍.故選：.6.已知函數(shù)若當時，，則的最大值是（）A.4 B.3 C.7 D.5【答案】C【解析】【分析】畫出的圖象，根據(jù)題意，數(shù)形結合，即可求得問題.【詳解】根據(jù)題意，作出y=f(x)圖象如下所示：數(shù)形結合可知，要使y=f(x)的值域為，且取得最大值，則只需，即可，故的最大值為.故選：C.7.已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義列式，消去得到的解析式，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，所以，即，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，所以.故選：.8.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調性求函數(shù)值域，利用對應關系可得有兩個不相等的正實數(shù)根，結合判別式和韋達定理可得結果.【詳解】∵在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴在為增函數(shù)，∴函數(shù)在區(qū)間上的值域為，∴，整理得，∴為方程的兩根，即有兩個不相等的正實數(shù)根，∴Δ=k2?4(k?1)>0k∴實數(shù)的取值范圍是.故選：C.點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)與方程綜合問題，具體思路如下：（1）分析函數(shù)的單調性，可得在為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.（2）根據(jù)值域的對應關系可得為方程的兩根，即一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，利用判別式和韋達定理可求得實數(shù)的取值范圍.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.命題“，”否定是“，”B.與是同一個函數(shù)C.函數(shù)的值域為D.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可判斷A；求出兩個函數(shù)的定義域可判斷B；利用換元法求出的函數(shù)值域可判斷C；根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法可判斷D.【詳解】A.命題“，”的否定是“，”，選項A正確.B.定義域為R，定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)，選項B錯誤.C.令，則，函數(shù)可變形為，對稱軸為直線，函數(shù)在上為增函數(shù).當時，，故函數(shù)的值域為，選項C正確.D.由函數(shù)的定義域為得，，故函數(shù)的定義域為，選項D正確.故選：ACD.10.若，，且，下列結論正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)基本不等式及其取等條件分別判斷各選項.【詳解】A選項：由，且，即，，當且僅當時，等號成立，即的最大值為，A選項正確；B選項：，當且僅當時，等號成立，即的最小值為，B選項正確；C選項：由，則，所以，即，，無最大值，C選項錯誤；D選項：由，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，又與已知矛盾，所以無最小值，D選項錯誤；故選：AB.11.已知函數(shù)，的定義域都為R，，且為偶函數(shù)，，對于都有，則（）A.函數(shù)的圖象關于對稱B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，推理論證出函數(shù)的周期及函數(shù)，圖像的對稱性，對各選項逐一判斷即可.【詳解】對于A：，即，∴是奇函數(shù)，關于原點對稱，∴y=gx關于原點對稱，故A不正確；對于B：∵為偶函數(shù)，∴，令，則，故B正確；對于C：由得，所以，故C正確；對于D：∵，∴，∵對于都有，∴，，∴，，，所以，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則及對數(shù)的運算性質計算可得結果．【詳解】.故答案為：7.13.已知函數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質可得，即可求解，進而根據(jù)取整函數(shù)的定義求解.【詳解】由于，且，故，因此，則，故，因此值域為，故答案為：14.已知函數(shù)，當時恒成立，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】通過分析的零點及在零點兩側函數(shù)值的正負，得出在時的零點及在零點兩側函數(shù)值的正負，因為，研究二次函數(shù)的零點分布情況即可求解.【詳解】設，，則，且在單調遞增，當時，；當時，；因為當時恒成立，所以有一個零點為1，且當時，；當時，，所以.令，因為，所以有一個零點，且當時，；當時，，所以，且，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，（1）當時，求集合A；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）分別討論當，，時，寫出集合A，列出滿足的條件并求解即可.【小問1詳解】當時，不等式的解集為，所以集合.【小問2詳解】由得，①當時，，滿足題意，所以；②當時，，要滿足只要，解得；③當時，，滿足，故；綜上，的取值范圍為.16.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)可得，利用奇函數(shù)的定義可求時的表達式，從而得到的解析式.（2）計算表達式，利用換元法把問題轉化為二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，結合對稱軸和函數(shù)單調性即可得到結果.【小問1詳解】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴.∵時，fx=∴當時，，∴.【小問2詳解】由題意得，.令，問題等價于求，的值域∵函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，∴在0,1上單調遞減，在上單調遞增，∵，，，∴，，∴函數(shù)的值域為.17.經市場調查，某商品在過去30天的日銷售量（件）與日銷售價格（元/件）都是時間t（天）的函數(shù)，其中（）.，每件商品的綜合成本為10元.（1）寫出該店日銷售利潤W與時間t之間的函數(shù)關系；（2）求該店日銷售利潤W的最大值.（注：銷售利潤＝銷售收入－銷售成本）【答案】（1）W（2）315元【解析】【分析】（1）利用銷售利潤等于單件利潤乘以銷售量可得結果.（2）分別計算和時日銷售利潤的最大值，比較后可得日銷售利潤W的最大值.【小問1詳解】【小問2詳解】當時，，當時，取得最大值，最大值為256，當0時，，令，解得，由對勾函數(shù)性質可知在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，當時，，由于，故時，W的最大值為315，因為，所以該店日銷售利潤W的最大值為315元.18.已知函數(shù)（，且）為奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）當時，判斷在的單調性并用定義加以證明；（3）記，解關于的不等式.【答案】（1）（2）在上單調遞增，證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)定義可得，代入函數(shù)解析式化簡即可得到結果.（2）利用單調性定義可證明在0,+∞上單調遞增.（3）結合（2）的分析過程，對進行分類討論，確定函數(shù)的單調性，利用單調性解不等式即可得到結果.【小問1詳解】由題意得，故的定義域為，由，化簡得，解得.【小問2詳解】在0,+∞上單調遞增，證明如下，設，且，則，∵，，，∴，且，，，，∴，，∴，∴在0,+∞上為增函數(shù).【小問3詳解】∵為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)，當時，由（2）證明過程可知，在0,+∞上單調遞增，∴在上單調遞增，由可得解得，當時，同理可證在0,+∞上單調遞減，∴在上單調遞減，由可得解得，綜上，當時，解集為，當時，解集為0,+∞.19.已知函數(shù)，，其中.（1）當時，寫出在上的單調性以及最大值（不用證明）；（2）若，函數(shù)，，是否存在實數(shù)，使得的最大值為1？若存在，求出的值，若不存在，說明理由；（3）設，若對，，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減，最大值為1；（2）存在，（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)型復合函數(shù)的單調性即可求解，（2）換元，將問題轉化為求在的最大值，分類討論，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質求解，，（3）將問題轉化為求解兩個函數(shù)的值域問題，，分類討論，結合函數(shù)的單調性即可求解.【小問1詳解】當時，在上單調遞增，在上單調遞減，當時，有最大值為1；【小問2詳解】當時，，令，則，當，即，此時在單調遞減，故在上有最大值，不滿足題意，舍去，當即時，在上單調遞增，則最大值，