高一空間幾何體素質(zhì)能力提高競賽綜合測試（原卷版）

高一空間幾何體素質(zhì)能力提高競賽綜合測試第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，則四面體的體積為A． B． C． D．2．如圖所示，已知正四棱柱的上下底面的邊長為3，高為4，點M，N分別在線段和上，且滿足，下底面ABCD的中心為點O，點P，Q分別為線段和MN上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．表面積為的球內(nèi)有一內(nèi)接四面體，其中平面平面，是邊長為3的正三角形，則四面體PABC體積的最大值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在三棱錐中，

平面平面，是邊長為的等邊三角形，，則該幾何體外接球表面積為（

）A． B． C． D．5．三棱錐中，點A在平面BCD的射影H是△BCD的垂心，點D在平面ABC的射影G是△ABC的重心，，則此三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．6．已知正方體的棱長為4，M，N分別是側(cè)面和側(cè)面的中心，過點M的平面與直線ND垂直，平面截正方體所得的截面記為S，則S的面積為（

）A． B． C． D．7．已知三棱錐，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知體積為3的正三棱錐PABC，底面邊長為，其內(nèi)切球為球O，若在此三棱錐中再放入球，使其與三個側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球的半徑為（

）A． B． C． D．二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．在正方體中，M為AB中點，N為BC中點，P為線段上一動點（不含C）過M，N，P的正方體的截面記為，則下列判斷正確的是（

）A．當(dāng)P為中點時，截面為六邊形B．當(dāng)時，截面為五邊形C．當(dāng)截面為四邊形時，它一定是等腰梯形D．設(shè)中點為Q，三棱錐的體積為定值10．已知正方體的棱長為4，點分別是的中點，則（

）A．直線是異面直線 B．平面截正方體所得截面的面積為C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為11．近年來，納米晶體的多項技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用．納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，下圖是一種納米晶體個體的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為2的幾何體，則下列說法正確的有（

）．A．B．該結(jié)構(gòu)的納米晶體個體的表面積為C．該結(jié)構(gòu)的納米晶體個體的體積為D．該結(jié)構(gòu)的納米晶體個體外接球的表面積為12．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，如圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體.已知，則（

）A．十面體的上、下底面之間的距離是B．十面體的表面積是C．十面體外接球球心到平面ABE的距離是D．十面體外接球的表面積是第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個小題，每小題5分，共20分．13．在棱長為的正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且滿足直線平面，當(dāng)直線與平面所成角最大時，三棱錐外接球的半徑為______.14．2022年12月3日，南昌市出士了東漢六棱錐體水晶珠靈擺吊墜如圖（1）所示.現(xiàn)在我們通過DIY手工制作一個六棱錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為，該紙片上的正六邊形的中心為為圓O上的點，如圖（2）所示．分別是以為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使重合，得到六棱錐，則當(dāng)六棱錐體積最大時，底面六邊形的邊長為___________．15．已知空間四邊形的各邊長及對角線的長度均為6，平面平面，點M在上，且，過點M作四邊形外接球的截面，則截面面積的最小值為___________.16．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中記載了“三角垛”．如圖，某三角垛最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，每個球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體的體積為，記能將該三角垛完全放入的四面體的體積為，則的最大值為___________．四、解答題17．北京大興國際機(jī)場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點數(shù)棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．18．如圖在四面體ABCD中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，△DBC為直角三角形，其中D為直角頂點，．E、F、G、H分別是線段AB、AC、CD、DB上的動點，且四邊形EFGH為平行四邊形．(1)求證：BC∥平面EFGH(2)試探究當(dāng)二面角從0°增加到90°的過程中，線段DA在平面BCD上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；(3)設(shè)（），且△ACD是以CD為底的等腰三角形，當(dāng)為何值時，多面體ADEFGH的體積恰好為?19．《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發(fā)現(xiàn)什么不對勁.此時，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構(gòu)造，設(shè)邊長均為2，定義正方形，的頂點為“框架點”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點為“極點”，記為，將極點，分別與正方形的頂點連線，取其中點記為，，，如（圖3）.埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點均為“框架點”，底面四邊形由兩個“極點”與兩個“中點”構(gòu)成，為了便于理解，圖4我們構(gòu)造了其中兩個四棱錐與(1)求異面直線與成角余弦值；(2)求平面與平面的夾角正弦值；(3)求埃舍爾體的表面積與體積（直接寫出答案）.20．如圖，在正四棱錐P－ABCD中，AB＝2，側(cè)面PAD與底面ABCD的夾角為.(1)求正四棱錐P－ABCD的體積；(2)若點M是正四棱錐P－ABCD內(nèi)任意一點，點M到平面ABCD，平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA的距離分別為，，，，，證明：；(3)若球O是正四棱錐P－ABCD的內(nèi)切球，點Q是正方形ABCD內(nèi)一動點，且OQ＝OP，當(dāng)點Q沿著它所在的軌跡運動一周時，求線段OQ所形成的曲面與底面ABCD所圍成的幾何體的表面積.21．我們知道，二元實數(shù)對可以表示平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)；那么對于元實數(shù)對，是整數(shù)，也可以把它看作一個由條兩兩垂直的“軸”構(gòu)成的高維空間（一般記為中的一個“點”的坐標(biāo)表示的距離.(1)當(dāng)時，若，，，求，和的值；(2)對于給定的正整數(shù)，證明中任意三點滿足關(guān)系；(3)當(dāng)時，設(shè)，，，其中，