731離散型隨機(jī)變量的均值精練-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值(精練）A學(xué)業(yè)基礎(chǔ)一、單選題1．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)，得，解得，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．又，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．故選：C.2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）隨機(jī)變量的分布列為：－1350.50.2則其均值的值為()A．2.4 B．1.9 C．1.5 D．1.4【答案】D【詳解】由分布列的性質(zhì)，得，由均值的定義，得．故選：D3．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）甲，乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，表示甲車床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙車床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)一段時(shí)間考查后，，的分布列分別是據(jù)此判定（）A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無(wú)法判定【答案】A【詳解】由分布列可得：，，，甲比乙質(zhì)量好．故選：A.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知某一隨機(jī)變量的概率分布列如下，且，則的值為（）790.10.4A．4 B．5 C．3 D．7【答案】A【詳解】解：由概率和為可知：，所以，解得：.故選：A5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：1240.40.30.3則等于（）A．15 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【詳解】由隨機(jī)變量的分布列，可得期望，所以.故選：A.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）林老師等概率地從1~3中抽取一個(gè)數(shù)字，記為，葉老師等概率地從1~5中抽取一個(gè)數(shù)字，記為，已知，其中是的概率，其中，則=（）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：依題意，，所以，，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以故選：C7．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，主辦方在一個(gè)箱子里放有個(gè)寫(xiě)有“謝謝參與”的獎(jiǎng)券，1個(gè)寫(xiě)有“恭喜中獎(jiǎng)”的獎(jiǎng)券，若活動(dòng)規(guī)定隨機(jī)從箱子中不放回地抽取獎(jiǎng)券，若抽到寫(xiě)有“謝謝參與”的獎(jiǎng)券，則繼續(xù)；若抽到寫(xiě)有“恭喜中獎(jiǎng)”的獎(jiǎng)券則停止，則抽獎(jiǎng)次數(shù)的均值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，表示第一次就抽到寫(xiě)有“恭喜中獎(jiǎng)”的獎(jiǎng)券，其概率為；，表示第一次抽到寫(xiě)有“謝謝參與”的獎(jiǎng)券，第二次抽到寫(xiě)有“恭喜中獎(jiǎng)”的獎(jiǎng)券，其概率為，，表示第一次抽到寫(xiě)有“謝謝參與”的獎(jiǎng)券，第二次抽到寫(xiě)有“謝謝參與”的獎(jiǎng)券，…,第n次抽到寫(xiě)有“恭喜中獎(jiǎng)”的獎(jiǎng)券，其概率為，所以的均值為．故選：C8．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種.若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：交強(qiáng)險(xiǎn)費(fèi)率浮動(dòng)因素和浮動(dòng)比率表類別浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類別數(shù)量20101038202若以這100輛該品牌車的投保類別的頻率代替1輛車投保類別的概率，則隨機(jī)抽取1輛該品牌車在下一年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用的期望為（）A．A元 B．0.958A元C．0.957A元 D．0.956A元【答案】D【詳解】設(shè)1輛該品牌車在下一年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用為X元，則X的取值范圍為，且，，，，，，∴∴，故選：D.二、填空題9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，則________．【答案】2【詳解】∵，又，∴，解得.故答案為：210．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）節(jié)日期間，某種鮮花的進(jìn)價(jià)是每束2.5元，售價(jià)是每束5元，節(jié)后對(duì)沒(méi)有賣出的鮮花以每束1.6元處理．根據(jù)前5年節(jié)日期間對(duì)這種鮮花需求量(束)的統(tǒng)計(jì)(如表)，若進(jìn)這種鮮花500束在今年節(jié)日期間銷售，則利潤(rùn)的均值是________元．2003004005000.200.350.300.15【答案】706【詳解】節(jié)日期間這種鮮花需求量的均值為E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．設(shè)利潤(rùn)為Y，則Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故答案為：70611．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）馬老師從課本上抄錄的一個(gè)隨機(jī)變量的分布列如下表：123盡管“”處無(wú)法完全看清，且兩個(gè)“”處字跡模糊，但能肯定兩個(gè)“”處的數(shù)值相同，據(jù)此，_____．【答案】2【詳解】設(shè)，，則．于是，．故答案為：2.12．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體切割為125個(gè)同樣大小的小正方體.經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為，則的均值______.【答案】【詳解】的所有可能取值為，大正方體8個(gè)頂點(diǎn)處的8個(gè)小正方體涂有3面油漆；每一條棱上除了兩個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體外剩余的都涂有兩面油漆，所以涂有兩面油漆的有個(gè)；每個(gè)表面去掉四條棱上的16個(gè)小正方體，還剩9個(gè)小正方體，這9個(gè)都是一面涂漆，所以一共有個(gè)小正方體涂有一面油漆；剩余的個(gè)內(nèi)部的小正方體6個(gè)面都沒(méi)有涂油漆，所以，，，，.故答案為：.三、解答題13．（2021·北京師大附中高三期中）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有、兩類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．（1）若小明先回答類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的值；（2）若小明先回答類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（3）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）小明應(yīng)選擇先回答類問(wèn)題（1）解：依題意可得（2）解：由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，則，，所以的分布列為：0201000.20.320.48（3）解：由（2）可知小明先回答類問(wèn)題累計(jì)得分的期望為，若小明先回答類問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為0，80，100，，，，則的期望為，因?yàn)?，所以為使累?jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答類問(wèn)題．14．（2021·云南·高三期中（理））2021年10月昆明生物多樣性會(huì)議期間，一位攝影愛(ài)好者來(lái)到云南省旅游城市大理，這里有蝴蝶泉公園、洱海生態(tài)廊道、蒼山地質(zhì)公園三個(gè)著名的旅游景點(diǎn)，若這位攝影愛(ài)好者游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，，，且是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示這位攝影愛(ài)好者離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記“時(shí)，不等式恒成立”為事件，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）（1）解：分別記“攝影愛(ài)好者游覽蝴蝶泉公園”，“攝影愛(ài)好者游覽洱海生態(tài)廊道”，“攝影愛(ài)好者游覽蒼山地質(zhì)公園”為事件，，，由已知，，相互獨(dú)立，，，，攝影愛(ài)好者游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為，，，，相應(yīng)地，沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為，，，，所以的可能取值為，，，，所以的分布列為；（2）解：的可能取值為，，且時(shí)，不等式恒成立，有恒成立，即；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式不恒成立．所以B應(yīng)考能力15．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上兩個(gè)數(shù)的積的均值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)拋擲1次向上的數(shù)字為，拋擲2次向上的數(shù)字之積為，則由題意可知，，，所以，，，，所以．故選：A.16．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失.現(xiàn)有甲?乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采取，單獨(dú)采取甲?乙預(yù)防措施所需費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采取相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85，若預(yù)防措施允許單獨(dú)采取?聯(lián)合采取或不采取，那么總費(fèi)用（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望）最少的是（）A．不采取任何預(yù)防措施 B．單獨(dú)采取甲預(yù)防措施C．單獨(dú)采取乙預(yù)防措施 D．聯(lián)合采取甲?乙兩種預(yù)防措施【答案】D【詳解】①不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失的期望為（萬(wàn)元）；②若單獨(dú)采取甲預(yù)防措施，則采取預(yù)防措施所需費(fèi)用為45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬(wàn)元），所以總費(fèi)用為（萬(wàn)元）；③若單獨(dú)采取乙預(yù)防措施，則采取預(yù)防措施所需費(fèi)用為30萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬(wàn)元），所以總費(fèi)用為（萬(wàn)元）；④若聯(lián)合采取甲?乙兩種預(yù)防措施，則采取預(yù)防措施所需費(fèi)用為（萬(wàn)元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬(wàn)元），所以總費(fèi)用為（萬(wàn)元）.綜合①②③④，比較其總費(fèi)用，可知選擇聯(lián)合采取甲?乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少.故選：D17．（2021·江蘇·南京市第二十九中學(xué)高二階段練習(xí)）為喜迎“中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100華誕”，某中學(xué)高二年級(jí)歷史方向類的班級(jí)舉行“黨史知識(shí)”競(jìng)賽．在本次競(jìng)賽中共有40道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)倒扣2分”．某學(xué)生每道題答對(duì)的概率都為，則該學(xué)生在本次競(jìng)賽時(shí)得分的均值為（）A．36 B．32 C．172 D．144【答案】C【詳解】由題設(shè)，每道題期望分值為，∴40道選擇題的期望得分為.故選：C18．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）某地有四人先后感染了新型冠狀病毒，其中只有到過(guò)疫區(qū)，肯定是受A感染的．對(duì)于，因?yàn)殡y以斷定他是受還是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同樣也假定受，和感染的概率都是．在這種假定之下，，，中直接受感染的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)______．【答案】【詳解】解：由題意分析得可取的值為1、2、3，用“”、2、表示被直接感染的人數(shù)．四個(gè)人的傳染情形共有6種：，，，，，．每種情況發(fā)生的可能性都相等，所以傳染1人有兩種情況，傳染2人有三種情況，傳染3人有一種情況．“”表示傳染，沒(méi)有傳染給、“”表示傳染給、，沒(méi)有傳染給，或傳染給、，沒(méi)有傳染給“”表示傳染給、、．于是有，，．可取的值為1、2、3，其中，，，分布列為：123．故答案為：．C新素養(yǎng)新題型19．(多選)（2021·江蘇南通·高三階段練習(xí)）某電視臺(tái)的一檔欄目推出有獎(jiǎng)猜歌名活動(dòng)，規(guī)則：根據(jù)歌曲的主旋律制作的鈴聲來(lái)猜歌名，猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.現(xiàn)推送三首歌曲，，給某選手，已知該選手猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，且猜對(duì)三首歌曲的歌名的概率以及猜對(duì)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如下表所示.歌曲猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的獎(jiǎng)金金額/元100020003000下列猜歌順序中獲得獎(jiǎng)金金額的均值超過(guò)2000元的是（）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】根據(jù)規(guī)則，該選手獲得獎(jiǎng)金總額為.按的順序進(jìn)行，則該選手獲得獎(jiǎng)金總額為的可能取值有四種情況：，，，.概率分布表為01000300060000.20.320.2880.192.故A正確.同理，按的順序猜獲得獎(jiǎng)金金額的均值為1872元，故B錯(cuò)誤.按的順序猜獲得獎(jiǎng)金金額的均值為1904元，故C錯(cuò)誤.按的順序猜獲得獎(jiǎng)金金額的均值為2112元，故D正確.故選：AD20．(多選)（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量表示從1到這個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，表示從1到這個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，則（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)（且）時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，的數(shù)學(xué)期望為【答案】BCD【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，則由可得或，，故B正確；對(duì)C，當(dāng)（且）時(shí)，，，則，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，的可能取值為1，2，則，，故的數(shù)學(xué)期望為,故D正確.故選：BCD.21．(多選)（2020·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）新冠肺炎疫情發(fā)生后，我國(guó)加緊研發(fā)新型冠狀病毒疫苗，某醫(yī)藥研究所成立疫苗研發(fā)項(xiàng)目，組建甲、乙兩個(gè)疫苗研發(fā)小組，且兩個(gè)小組獨(dú)立開(kāi)展研發(fā)工作.已知甲小組研發(fā)成功的概率為，乙小組研發(fā)成功的概率為.該研發(fā)項(xiàng)目的獎(jiǎng)金為100萬(wàn)元，分配方案是：若只有某一小組研發(fā)成功，則該小組獲得全部獎(jiǎng)金；若兩個(gè)小組都研發(fā)成功，則平分全部獎(jiǎng)金；若兩個(gè)小組均未研發(fā)成功，則均不獲得獎(jiǎng)金.則（）A．該研究所疫苗研發(fā)成功的概率為B