全國(guó)統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何9.3圓的方程學(xué)案理含解析北師大版

9.3圓的方程必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.圓的定義及方程定義平面上到的距離等于的點(diǎn)的集合(軌跡)叫作圓

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心:

半徑:

一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圓心:-D2,-E2半徑:

留意:當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個(gè)點(diǎn)-D2,-E2;當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),方程x22.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),點(diǎn)M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2?點(diǎn)M在圓上;

(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2?點(diǎn)M在圓外;

(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2?點(diǎn)M在圓內(nèi).

以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(公式推導(dǎo):設(shè)圓上任一點(diǎn)P(x,y),則有kPA·kPB=-1,由斜率公式代入整理即可).考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)已知圓的方程為x2+y2-2y=0,過(guò)點(diǎn)A(1,2)作該圓的切線只有一條.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的一個(gè)圓.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓心為-a2,-a,半徑為12-3a2-4(4)已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則以AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x02+y02+Dx0+Ey0+F>2.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,5),且圓心為C(-2,1),則圓C的方程為()A.(x-2)2+(y+1)2=5 B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x-2)2+(y+1)2=25 D.(x+2)2+(y-1)2=253.(2024山東聊城模擬)圓x2+y2-6x-2y+3=0的圓心到直線x+ay-1=0的距離為1,則a=()A.-43 B.-34 C.3 D4.(2024山東青島試驗(yàn)中學(xué)測(cè)試)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是()A.a<-2 B.-23<a<C.-2<a<0 D.-2<a<25.已知點(diǎn)A(2,0),B(0,4),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△ABO外接圓的方程是.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)求圓的方程【例1】(1)(2024山東青島試驗(yàn)中學(xué)測(cè)試)圓心為(2,-1)的圓,在直線x-y-1=0上截得的弦長(zhǎng)為22,那么這個(gè)圓的方程為()A.(x-2)2+(y+1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=2C.(x+2)2+(y-1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=2(2)已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x-y=0相切,且被直線x-y-3=0截得的弦長(zhǎng)為6,則圓C的方程為.

思索求圓的方程有哪些常見(jiàn)方法?解題心得求圓的方程時(shí),應(yīng)依據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來(lái)說(shuō),求圓的方程有兩種方法:(1)幾何法,通過(guò)探討圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí),常用到的圓的三特性質(zhì):①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上;②圓心在任一弦的垂直平分線上;③兩圓內(nèi)切或外切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心共線;(2)代數(shù)法,即設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)A(4,4),B(4,0),C(0,4)三點(diǎn)的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為()A.4 B.42 C.2 D.22(2)一個(gè)圓與y軸相切,圓心在直線x-3y=0上,且在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為27,則該圓的方程為.

考點(diǎn)與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例2】點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1思索求與圓有關(guān)的軌跡方程都有哪些常用方法?解題心得1.求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí),依據(jù)題設(shè)條件的不同,常采納以下方法:(1)干脆法,干脆依據(jù)題目供應(yīng)的條件列出方程;(2)定義法,依據(jù)圓、直線等定義列方程;(3)幾何法,利用圓的幾何性質(zhì)列方程;(4)代入法,找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿意的關(guān)系式等.2.求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí),題目的設(shè)問(wèn)有兩種常見(jiàn)形式,作答也應(yīng)不同.若求軌跡方程,則把方程求出化簡(jiǎn)即可;若求軌跡,則必需依據(jù)軌跡方程,指出軌跡是什么曲線.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義:平面內(nèi),到兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離之比是常數(shù)λ(λ>0,λ≠1)的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)A,B的距離為3,動(dòng)點(diǎn)M滿意|MA|=2|MB|,則點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為()A.π B.2π C.3π D.4π考點(diǎn)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(多考向探究)考向1借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值【例3】已知點(diǎn)M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上隨意一點(diǎn).(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3解題心得借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題,常依據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解.(1)形如u=y-b(2)形如t=ax+by形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知實(shí)數(shù)x,y滿意(x-2)2+(y-1)2=1,則z=y+1x的最大值與最小值分別為和考向2借助圓的幾何性質(zhì)求最值【例4】已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上運(yùn)動(dòng),則|PA|+|PQ|的最小值是.

思索如何求解折線段和長(zhǎng)的最值問(wèn)題?解題心得形如|PA|+|PQ|形式的與圓有關(guān)的折線段問(wèn)題(其中P,Q均為動(dòng)點(diǎn)),要立足兩點(diǎn):(1)削減動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)“曲化直”,即將折線段轉(zhuǎn)化為同始終線上的兩線段之和,一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2024山東濟(jì)寧模擬)已知兩點(diǎn)A(0,-3),B(4,0),若點(diǎn)P是圓C:x2+y2-2y=0上的動(dòng)點(diǎn),則△ABP的面積的最小值為.

考向3建立函數(shù)關(guān)系求最值【例5】(2024江蘇,14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P32,0,A,B是圓C:x2+y-122=36上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿意PA=PB解題心得利用函數(shù)關(guān)系求最值時(shí),先依據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再依據(jù)函數(shù)學(xué)問(wèn)或基本不等式求最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2024寧夏銀川模擬)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(0,2),B(0,-2),則|PA+PB|的最大值為求半徑常有以下方法:(1)若已知直線與圓相切,則圓心到切點(diǎn)(或切線)的距離等于半徑;(2)若已知弦長(zhǎng)、弦心距,則可利用弦長(zhǎng)的一半、弦心距、半徑三者滿意勾股定理的關(guān)系求得.1.求圓的方程須要三個(gè)獨(dú)立條件,因此不論選用哪種形式的圓的方程都要列出三個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式.2.解答與圓有關(guān)的最值問(wèn)題一般要結(jié)合代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行,留意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的性質(zhì).3.解決與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題,肯定要看清要求,是求軌跡方程還是求軌跡.9.3圓的方程必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.定點(diǎn)定長(zhǎng)(a,b)rD2.(1)=(2)>(3)<考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.D因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)A(1,5),且圓心為C(-2,1),所以圓C的半徑為r=(-2-1)2+(1-5)2=5,則圓C的方程為(x+3.B由題意,圓x2+y2-6x-2y+3=0,即(x-3)2+(y-1)2=7.圓心(3,1)到直線x+ay-1=0的距離d=|2+a|1+a4.D方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,所以a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,所以3a2+4a-4<0,所以(a+2)(3a-2)<0,即-2<a<235.(x-1)2+(y-2)2=5方法1由題知OA⊥OB,故△ABO外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)(1,2),半徑為12|AB|=5,所以△ABO外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=5方法2設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,因?yàn)檫^(guò)A(2,0),B(0,4),O(0,0)三點(diǎn),所以4+2D+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得D=-2,E=-4,F=0,則△ABO外接圓的方程是x2+y2-2x-4y=0,即關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)A(2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)因?yàn)閳A心(2,-1)到直線x-y-1=0的距離d=|2+1-1|2=2,弦長(zhǎng)為22,所以圓的半徑r=(2)2+22(2)由圓C的圓心在直線x+y=0上,可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),又圓C與直線x-y=0相切,所以圓的半徑r=2|a|.因?yàn)閳A心到直線x-y-3=0的距離d=2a-32,圓C被直線x-y-3=0截得的弦長(zhǎng)為6,所以d2+622=r2,即(2a-3)22+32=2a2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)A(2)x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0(1)依據(jù)題意,設(shè)過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓為圓M,其方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,又由A(4,4),B(4,0),C(0,4),則有32+4D+4E+F=0,16+4D+F=0,16+4E+F=0,解得D=-4,E=-4,F=0,即圓M的方程為x2+y2-4x-4y=0,令y=0可得x(2)方法1∵所求圓的圓心在直線x-3y=0上,∴設(shè)所求圓的圓心為(3a,a),又所求圓與y軸相切,∴半徑r=3|a|,又所求圓在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為27,圓心(3a,a)到直線y=x的距離d=|2a|2,∴d2+(7)2=r2,即2a2+7=9a2,故所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.方法2設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心(a,b)到直線y=x的距離為|a-b|2,∴r2=(a-b)22+7,即2r∵所求圓與y軸相切,∴r2=a2,②∵所求圓的圓心在直線x-3y=0上,∴a-3b=0,③聯(lián)立①②③,解得a故所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.方法3設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心坐標(biāo)為-D2,-E2,半徑r=12在圓的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.由于所求圓與y軸相切,∴Δ=0,則E2=4F.①圓心-D2,-E2到直線y=x的距離d=|-由已知得d2+(7)2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).②又圓心-D2,-E2在直線x-3y=0上,∴D-3E=0.③聯(lián)立①②③,解得D故所求圓的方程為x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.例2A設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ中點(diǎn)為M(x,y),依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得x0=2x-4,y0=2y+2,因?yàn)镼(x0,y0)在圓x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2D以A為原點(diǎn),直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(3,0).設(shè)M(x,y),依題意有x2+y2(x-3)2+y2=2,化簡(jiǎn)整理得x2+y2-8例3解(1)(方法1)依題意,圓心C(2,7),半徑r=22.設(shè)m+2n=t,則點(diǎn)M(m,n)為直線x+2y=t與圓C的公共點(diǎn),所以圓心C到該直線的距離d=|2+2×7-t解得16-210≤t≤16+210.所以m+2n的最大值為16+210.(方法2)由x2+y2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)為圓C上隨意一點(diǎn),所以可設(shè)m-2=22即m=2+22cos所以m+2n=2+22cosθ+2(7+22sinθ)=16+22cosθ+42sinθ=16+210sin(θ+φ),其中tanφ=12因?yàn)?1≤sin(θ+φ)≤1,所以m+2n的最大值為16+210.(2)設(shè)點(diǎn)Q(-2,3).則直線MQ的斜率k=n-設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直線MQ與圓C有公共點(diǎn),得|2k-解得2-3≤k≤2+3,即2-3≤n-3m+2≤2+3.所以n-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34+734-73由題意,得y+1x表示過(guò)點(diǎn)A(0,-1)和圓(x-2)2+(y-1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的直線的斜率.當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí),直線的斜率分別取得最大值與最小值.設(shè)切線方程為y=kx-1,即kx-y-1=0,則|2k-2|k2例425依題意,圓心C(2,1),半徑r=5.設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A'(m,n),則m+02故A'(-4,-2).連接A'C交直線x+y+2=0于點(diǎn)P,交圓C于點(diǎn)Q(圖略),此時(shí)|PA|+|PQ|取得最小值.由對(duì)稱(chēng)性可知此時(shí)|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4112依題意,圓心C(0,1),半徑r=1.如圖,過(guò)圓心C向直線AB作垂線交圓C于點(diǎn)P,