數(shù)學(xué)學(xué)案：函數(shù)的應(yīng)用（Ⅱ）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精3。4函數(shù)的應(yīng)用（Ⅱ)1．函數(shù)模型所謂數(shù)學(xué)模型是指對(duì)客觀(guān)實(shí)際的特征或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象概括，用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)模型剔除了事物中一切與研究目標(biāo)無(wú)本質(zhì)聯(lián)系的各種屬性，在純粹狀態(tài)下研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，函數(shù)就是重要的數(shù)學(xué)模型,用函數(shù)解決方程問(wèn)題,使求解變得容易進(jìn)行，這是數(shù)學(xué)模型間的相互轉(zhuǎn)換在發(fā)揮作用．而用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁．本節(jié)涉及的函數(shù)模型有:（1)指數(shù)函數(shù)模型:y＝a·bx＋c(b＞0,b≠1,a≠0)，當(dāng)b＞1，a＞0時(shí)，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，常形象地稱(chēng)為指數(shù)爆炸．(2)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m≠0,a＞0,a≠1)，當(dāng)a＞1，m＞0時(shí)，其增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢．（3)冪函數(shù)模型:y＝a·xn＋b(a≠0)，其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0），當(dāng)a＞0時(shí)，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小，后增大．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀(guān)運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn),分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，如取整等．【例1－1】據(jù)報(bào)道,全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度,設(shè)2012年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2012年起，經(jīng)過(guò)x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是（)A．B．C．y＝0.9550－x·mD．y＝（1－0。0550－x）·m解析：設(shè)每年的冰雪覆蓋面積減少率為a.∵50年內(nèi)覆蓋面積減少了5%，∴（1－a)50＝1－5%，解得?！鄰?012年起，經(jīng)過(guò)x年后,冰雪覆蓋面積.答案：A【例1－2】某公司為應(yīng)對(duì)金融危機(jī)的影響，擬投資100萬(wàn)元，有兩種投資可供選擇：一種是年利率1%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率3％，按每年復(fù)利一次計(jì)算,5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利?這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元?（結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元）分析:這是一個(gè)單利和復(fù)利所獲得收益多少的比較問(wèn)題．可先按單利和復(fù)利計(jì)算5年后的本利和分別是多少，再通過(guò)比較作答．解：本金100萬(wàn)元，年利率1%，按單利計(jì)算,5年后的本利和是100×（1＋1%×5)＝105(萬(wàn)元）．本金100萬(wàn)元，年利率3％，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后的本利和是100×（1＋3%）5≈115。93(萬(wàn)元）．由此可見(jiàn)按年利率3％每年復(fù)利一次投資要比按年利率1%單利投資更有利，5年后多得利息約10。93萬(wàn)元．談重點(diǎn)利息的計(jì)算利息分單利和復(fù)利兩種．單利是只有本金生息，利息不再生息,而復(fù)利是把前一期的本利和作為本金再生息,兩種情況要注意區(qū)分．我國(guó)現(xiàn)行定期儲(chǔ)蓄中的自動(dòng)轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)類(lèi)似復(fù)利計(jì)息的儲(chǔ)蓄，如某人存入本金a元，其月利率為r，則按單利和復(fù)利計(jì)算n個(gè)月后的本利和分別為a(1＋nr)和a(1＋r）n.2．指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用(1)實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型來(lái)表示，在建立函數(shù)模型時(shí)注意用區(qū)分、列舉、歸納等方法來(lái)探求內(nèi)在的規(guī)律．（2）當(dāng)實(shí)際應(yīng)用題中沒(méi)有給出函數(shù)模型而函數(shù)模型又唯一時(shí)，其解題步驟是：第一步：認(rèn)真讀題,縝密審題，確切理解題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景；第二步：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)，列出函數(shù)解析式,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題,即實(shí)際問(wèn)題函數(shù)化；第三步:運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解答函數(shù)問(wèn)題,得出函數(shù)問(wèn)題的解;第四步：將所得函數(shù)問(wèn)題的解還原成實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論．（3)把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題作出解答．上述四步可簡(jiǎn)單地概括為：實(shí)際問(wèn)題，讀題(文字語(yǔ)言)?數(shù)學(xué)問(wèn)題，建模（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）?求解數(shù)學(xué)問(wèn)題（數(shù)學(xué)應(yīng)用)?反饋（還原成實(shí)際問(wèn)題的答案)．【例2】某種商品進(jìn)價(jià)為每個(gè)80元，零售價(jià)為每個(gè)100元，為了促銷(xiāo)采用買(mǎi)一個(gè)這種商品贈(zèng)送一個(gè)小禮品的辦法．實(shí)踐表明:禮品價(jià)值為1元時(shí)，銷(xiāo)售量增加10%，且在一定范圍內(nèi),禮品價(jià)值為（n＋1）元時(shí)比禮品價(jià)值為n元（n∈N＋)時(shí)的銷(xiāo)售量增加10%,若未贈(zèng)禮品時(shí)的銷(xiāo)售量為m（m＞0）件，(1）寫(xiě)出禮品的價(jià)值為n元時(shí),利潤(rùn)yn(元）與n(元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)禮品的價(jià)值，以使商店獲得最大利潤(rùn)．分析：（1)根據(jù)題意易得；（2）需借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，使得n取某個(gè)值時(shí)，其前面和后面的取值都比它小，即解：（1)當(dāng)禮品價(jià)值為n元時(shí)，銷(xiāo)售量為m(1＋10％)n；利潤(rùn)yn＝(100－80－n)·m·（1＋10%）n＝(20－n）·m·1.1n（0＜n＜20,n∈N＋)．(2)令yn＋1－yn≥0，即（19－n）·m·1。1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9。所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y(tǒng)10.令yn＋1－yn＋2≥0，即（19－n）·m·1.1n＋1－(18－n）·m·1。1n＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y(tǒng)10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19，所以當(dāng)禮品價(jià)值為9元或10元時(shí)，商店獲得最大利潤(rùn)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用地震震級(jí)的變化規(guī)律、溶液pH的變化規(guī)律、航天問(wèn)題等，可以用對(duì)數(shù)函數(shù)模型來(lái)研究．例如：我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛往南方過(guò)冬,研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn),兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．（1）計(jì)算燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位．（2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少?分析：(1）在題中所給函數(shù)式中令v＝0即可；(2）令函數(shù)式中Q＝80即可求得此時(shí)的v.解：(1）當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度v＝0，代入函數(shù)關(guān)系式可得，解得Q＝10,即燕子靜止時(shí)的耗氧量是10個(gè)單位．（2)將耗氧量Q＝80代入函數(shù)關(guān)系式得＝5log28＝15(m/s)，即當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度為15m/s.【例3】某型號(hào)運(yùn)載火箭可以安全地把某載人飛船送上太空．在不考慮空氣阻力的條件下,假設(shè)火箭的最大速度y(單位：km/s)關(guān)于燃料重量x（單位:噸）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kln（m＋x)－kln(m)＋4ln2（x≠0），其中m是箭體、搭載的飛行器、航天員的重量和．當(dāng)燃料重量為(－1）m噸時(shí)，火箭的最大速度是4km/s。(1）求y＝f（x)；(2)已知該運(yùn)載火箭的起飛重量是479。8噸(箭體、搭載的飛行器、航天員、燃料),火箭的最大速度為8km/s，求裝載的燃料重量(e≈2.7，精確到0.1.）．解：(1)由題意得當(dāng)x＝(－1)m時(shí)，y＝4，當(dāng)4＝kln[m＋(－1)m］－kln(m）＋4ln2，解得k＝8。所以y＝8ln(m＋x）－8ln（m)＋4ln2，即.(2)由于m＋x＝479。8,則m＝479。8－x，令，解得x≈302.1,即裝載的燃料重量約為302.1噸．點(diǎn)技巧由題意準(zhǔn)確找出解題的關(guān)鍵點(diǎn)解決本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式中k的值．(1）轉(zhuǎn)化為已知自變量求函數(shù)值．（2）轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)值求相應(yīng)自變量．4．?dāng)M合函數(shù)模型的應(yīng)用（1）此類(lèi)題目的解題步驟①作圖：根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖．畫(huà)散點(diǎn)圖時(shí)，首先確定自變量和因變量,再以自變量的值為橫坐標(biāo),以觀(guān)察到的對(duì)應(yīng)的因變量的值為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．當(dāng)然,如果條件允許，最好借助于計(jì)算機(jī)畫(huà)出最準(zhǔn)確的散點(diǎn)圖．②選擇函數(shù)模型：根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象形狀,利用“假設(shè)”，找出比較接近的函數(shù)模型．這要求會(huì)根據(jù)圖象形狀估計(jì)函數(shù)模型:圖象是直線(xiàn),那么函數(shù)模型是一次函數(shù)模型y＝kx＋b（k≠0）；圖象是拋物線(xiàn)，那么函數(shù)模型是二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c（a≠0）;圖象位于某條垂直于y軸的直線(xiàn)一側(cè)，與y軸相交,且是“上升”的或“下降”的，那么函數(shù)模型是指數(shù)函數(shù)模型；圖象位于某條垂直于x軸的直線(xiàn)一側(cè)，與x軸相交,且是“上升"的或“下降”的,那么函數(shù)模型是對(duì)數(shù)函數(shù)模型．③根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識(shí)，求出擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式．④利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制,為決策和管理提供依據(jù)．(2)關(guān)于“假設(shè)"問(wèn)題就一般的數(shù)學(xué)建模來(lái)說(shuō),是離不開(kāi)“假設(shè)"的，如果在問(wèn)題的原始狀態(tài)下不作任何“假設(shè)”，將所有的變化因素全部考慮進(jìn)去,對(duì)于稍復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題就無(wú)法下手了．“假設(shè)”的作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們?cè)趩?wèn)題中的作用．通常初步接觸一個(gè)問(wèn)題，會(huì)覺(jué)得圍繞它的因素非常多，經(jīng)仔細(xì)分析篩查，發(fā)現(xiàn)有的因素并無(wú)實(shí)質(zhì)聯(lián)系，有的因素是無(wú)關(guān)緊要的，排除這些因素，問(wèn)題則越發(fā)清晰明朗．在“假設(shè)”時(shí)就可以設(shè)這些因素不需考慮．②降低解題難度．經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)摹凹僭O(shè)”可以建立數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而得到相應(yīng)的解．一般情況下，最先在最簡(jiǎn)單的情形下組建模型，然后通過(guò)不斷地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地接近實(shí)際，從而得到更滿(mǎn)意的解．【例4】某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開(kāi)始六個(gè)月試銷(xiāo)A,B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表：投資A商品金額(萬(wàn)元）123456獲純利潤(rùn)(萬(wàn)元）0.651。391。8521.841.40獲純利潤(rùn)（萬(wàn)元)0.250.490.7611。261。51該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備下月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品,但不知投入A，B兩種商品各多少萬(wàn)元才合算．請(qǐng)你幫助確定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大純利潤(rùn)（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．規(guī)范解答顧問(wèn)點(diǎn)評(píng)解：以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤(rùn)為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示：觀(guān)察散點(diǎn)圖可以看出：A種商品的所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬，如圖①所示：取(4,2)為最高點(diǎn)，則y＝a(x－4)2＋2。把點(diǎn)（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4)2＋2，解得a＝－0。15.所以y＝－0。15(x－4）2＋2。（得分點(diǎn))B種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律是線(xiàn)性的,可用一次函數(shù)模型模擬，如圖②所示：設(shè)y＝kx＋b，取點(diǎn)（1,0。25)和（4,1）代入，得解得所以y＝0。25x。(得分點(diǎn)）即前6個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y＝－0。15(x－4)2＋2；前6個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y＝0.25x。設(shè)下月投入A，B兩種商品的資金分別為xA，xB(萬(wàn)元），總利潤(rùn)為W（萬(wàn)元)，則（得分點(diǎn)）所以當(dāng)（萬(wàn)元）時(shí)，W取最大值，約為4。1萬(wàn)元．此時(shí)xB≈8。8（萬(wàn)元）．（得