數(shù)學(xué)素材：教材梳理二維形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、二維形式的柯西不等式定理1（二維形式的柯西不等式)已知a1，a2,b1，b2∈R，則(a1b1+a2b2)2≤（a12+a22)2(b12+b22)2,當且僅當a1b2-a2b1=0時取等號.由二維形式的柯西不等式推導(dǎo)出兩個非常有用的不等式：對于任何實數(shù)a1，a2，b1，b2，以下不等式成立：≥|a1b1+a2b2｜；≥|a1b1|+|a2b2|.聯(lián)想發(fā)散不等式中等號成立a1b2-a2b1=0.這時我們稱（a1,a2),(b1，b2)成比例,如果b1≠0,b2≠0，那么a1b2—a2b1=0。若b1·b2=0，我們分情況說明：①b1=b2=0,則原不等式兩邊都是0,自然成立;②b1=0,b2≠0，原不等式化為(a12+a22）b22≥a22b22,也是自然成立的;③b1≠0，b2=0，原不等式和②的道理一樣，自然成立。正是因為b1·b2=0時，不等式恒成立,因此我們研究柯西不等式時，總是假定b1b2≠0,等號成立的條件可以寫成,這種寫法在表示一般形式（n維)的柯西不等式等號成立的條件時更是方便、簡潔的.定理2（柯西不等式的向量形式）設(shè)α，β是兩個向量，則｜α·β｜≤|α｜｜β|，當且僅當β是零向量，或存在實數(shù)k，使α=kβ時,等號成立.學(xué)法一得定理2中等號成立的充分必要條件是向量α和β平行（如α,β為非零向量，則定理2中等號成立的充分必要條件為向量α與β的夾角為0或π，即α與β對應(yīng)的坐標分量成比例）,從而可以推知定理1中等號成立的充分必要條件為(bi為零時，ai為零，i=1，2）.定理3（二維形式的三角不等式）設(shè)x1，x2,y1，y2∈R，那么.二維形式的三角不等式的變式:用x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1,用x2-x3代替x2，用y2-y3代替y2，代入定理3，得二、一般形式的柯西不等式定理設(shè)ai，bi∈R（i=1，2，…，n)，則(.當數(shù)組a1，a2，…，an，b1,b2，…，bn不全為0時，等號成立當且僅當bi=λai(1≤i≤n).即（a1b1+a2b2+…+anbn)2≤（a12+a22+…+an2)2（b12+b22+…+bn2)2（ai,bi∈R,i=1,2，…，n）中等號成立的條件是=…=。記憶要訣這個式子在競賽中極為常用，只需簡記為“積和方小于和方積”.等號成立的條件比較特殊，要牢記。此外應(yīng)注意在這個式子里不要求各項均是正數(shù)，因此應(yīng)用范圍較廣.一般形式的柯西不等式有兩個很好的變式：變式1設(shè)ai∈R，bc〉0(i=1,2,…,n),則，等號成立當且僅當bi=λai（1≤i≤n)。變式2設(shè)ai，bi同號且不為0（i=1，2，…，n），則,等號成立當且僅當b1=b2=…=bn.深化升華要求ai,bi均為正數(shù).當然，這兩個式子雖常用，但是記不記住并不太重要,只要將柯西不等式原始的式子記得很熟，這兩個式子其實是一眼就能看出來的,這就要求我們對柯西不等式要做到活學(xué)活用.柯西不等式經(jīng)常用到的幾個特例(下面出現(xiàn)的a1，…，an;b1,…，bn都表示實數(shù)）是：（1）a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,則｜a1b1+a2b2+…+anbn|≤1；(2）a1a2+a2a3+a3a1≤a12+a22+a(3）（a1+a2+…+an）2≤n(a12+a22+…+an2）;（4)(a+b）（+)≥4=（1+1)2,其中a、b∈R+；（5)(a+b+c）(++）≥9=(1+1+1）2，其中a、b、c∈R+。柯西不等式是一個重要的不等式，有許多應(yīng)用和推廣,與柯西不等式有關(guān)的競賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨特地位.典題·熱題知識點一：用柯西不等式證明不等式例1設(shè)a1>a2〉…>an〉an+1,求證：>0.思路分析：這道題初看起來似乎無法使用柯西不等式,但改變其結(jié)構(gòu)就可以使用了,我們不妨改為證：（a1—an+1）·［]>1。證明：為了運用柯西不等式，我們將a1—an+1寫成a1—an+1=(a1-a2)+（a2-a3）+…+（an—an+1），于是［(a1-a2)+（a2-a3）+…+（an—an+1）］·（）≥n2〉1.即(a1-an+1）·()>1，∴,故>0。方法歸納我們進一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點是：不等式左邊是兩個因式之和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時,只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。知識點二：用柯西不等式證明條件不等式例2(經(jīng)典回放）設(shè)x1,x2，…，xn∈R+,求證:≥x1+x2+…+xn.思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+x3+…+xn+x1),也即嵌以因式（x1+x2+…+xn），由柯西不等式即可得證。證明：()·（x2+x3+…+xn+x1）=[(）2+（)2+…+（)2+()2］［(）2+()2+…+()2+（）2］≥(·+·+…+·+·）=（x1+x2+…+xn）2,于是≥x1+x2+…+xn。巧解提示柯西不等式中有三個因式，而一般題目中只有一個或兩個因式，為了運用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值），這也是利用柯西不等式的技巧之一.知識點三：用柯西不等式求函數(shù)的極值例3已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,試求a的最值。思路分析：本題求極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項,就可以應(yīng)用柯西不等式來解.解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2）（）≥(b+c+d)2，即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d)2.由條件可得，5—a2≥（3—a）2。解得，1≤a≤2，當且僅當時等號成立。代入b=1,c=,d=時，amax=2；b=1,c=，d=時,amin=1.巧妙變式為了給運用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號成立的充要條件共同確定,也有一些三角極值問題我們可以反復(fù)運用柯西不等式進行解決。而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤.這多次反復(fù)運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。如:已知a，b為正常數(shù)，且0〈x<，求y=的最小值.解：利用柯西不等式，得（sin2x+cos2x)≥（sinx+cosx）2。當且僅當時等號成立.于是sinx+cosx.再由柯西不等式,得（)≥(sinx+cosx）（）≥(）2=（a+b）2.當且僅當時等號成立。從而y=≥（a+b).于是y=的最小值是（a+b)。問題·探究思想方法探究問題試探究用柯西不等式導(dǎo)出重要公式。如n個實數(shù)平方平均數(shù)不小于這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，即若a1,a2,…,an∈R，則。探究過程：由柯西不等式可知（a1+a2+…+an)2≤(a1·1+a2·1+…+an·1)2≤(a12+a22+…+an2）·（12+12+…+12）=（a12+a22+…+an2）·n,所以≤a12+a22+…+an2，故。不等式,把中學(xué)教材中僅有關(guān)于兩個正數(shù)的“算術(shù)平均”,“幾何平均”問題拓廣到了“二次冪平均”問題，即≤,這不僅拓寬了中學(xué)生的眼界，而且為解決許多不等式的問題開辟了一條新路.探究結(jié)論：柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的不等式，而且它對初等數(shù)學(xué)也有很好的指導(dǎo)作用,利用它能方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題.交流討論探究問題柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，試交流討論使用柯西不等式的技巧，試舉例歸納。探究過程:人物甲：構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以巧拆常數(shù)，如：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等.求證。我們可以如此分析:∵a、b、c均為正,∴為證結(jié)論正確只需證2（a+b+c)[］〉9。而2(a+b+d）=(a+b）+（b+c)+（c+a)，又9=(1+1+1)2.人物乙：構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以重新安排某些項的次序，如：a、b為非負數(shù)，a+b=1,x1,x2∈R+,求證（ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2。我們可以如此分析：不等號左邊為兩個二項式積，a，b∈—，x1,x2∈R+，直接用柯西不等式做得不到預(yù)想結(jié)論,當把第二個小括號的兩項前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了.人物丙：構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件可以改變結(jié)構(gòu)，從而能夠使用柯西不等式,如：若a>b〉c，求證≥.我們可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式,改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了