廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．向量，若，則（

）A． B．C． D．3．已知直線，若，則（

）A．或 B． C．或 D．4．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．5．如圖，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵?鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1），則接下來(lái)的一段圓弧所在圓的方程為（

）．A． B．C． D．8．在正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)、共面時(shí)，直線和平面夾角的正弦值為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若和外離，則或B．若和外切，則C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一條直線與和均相切D．當(dāng)時(shí)，和內(nèi)含11．如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．，使B．線段存在最小值，最小值為C．直線與平面所成的角恒為45°D．，都存在過(guò)且與平面平行的平面三、填空題（本大題共3小題）12．點(diǎn)到直線的距離為.13．直線與間的距離為3，則.14．已知圓C1：(x－1)2＋(y－3)2＝1和圓C2：(x－2)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1和圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為_(kāi)_______．四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點(diǎn)，設(shè)(1)求；(2)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.16．如圖所示，四棱錐的底面是矩形，底面，，，，.(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，．(1)求邊所在直線的方程；(2)邊上中線的方程為，且的面積等于，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B1到平面ECD1的距離；(3)當(dāng)AE為何值時(shí)，平面D1EC與平面AECD所成角為？19．已知圓過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，記為過(guò)，兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)，求的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，若直線與直線交于點(diǎn)，證明：恒為定值.

參考答案1．【答案】C【詳解】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C2．【答案】C【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，由題意可得，所以則.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程組，解方程組即可得到答案.3．【答案】B【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，，直線重合，不滿足要求，當(dāng)時(shí)，，，直線平行，滿足要求，故選B.4．【答案】C【詳解】圓，所以圓心，半徑，所以弦心距為，所以弦長(zhǎng)為，故選：C5．【答案】B【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】解：，，，，所以，故選：B6．【答案】C【詳解】由，得，即,解得故選：7．【答案】C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過(guò)點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧的半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C8．【答案】A【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為6，，則可得，當(dāng)、四點(diǎn)共面時(shí)，設(shè)平面為，且平面，平面，平面平面，所以，所以不妨設(shè)，又因?yàn)?，所以，解得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面與直線所成的角為，則.故選：A.9．【答案】ABD【詳解】由已知，，不共面，則，，不共面，A選項(xiàng)正確；設(shè)，即方程無(wú)解，所以，，不共面，B選項(xiàng)正確；設(shè)，即，解得：，即，所以，，共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，顯然三個(gè)向量不共面，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.10．【答案】ABC【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則和相交，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．11．【答案】AD【詳解】因?yàn)樗倪呅握叫?，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，?設(shè)，則，其中，由題設(shè)可得，，對(duì)于A，當(dāng)即時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數(shù)，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD12．【答案】【詳解】點(diǎn)到直線的距離.故答案為：13．【答案】或【詳解】由題，可知，所以兩平行線間距離為，解得或，故答案為：或14．【答案】5eq\r(2)－4【解析】由題可得C1(1,3)，半徑r1＝1，C2(2,4)，半徑r2＝3，由題意知，當(dāng)C1，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|最小，當(dāng)C2，N，P三點(diǎn)共線時(shí)，|PN|最小，所以|PM|＋|PN|的最小值即|C1P|＋|C2P|－r1－r2＝|C1P|＋|C2P|－4，設(shè)點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C1′，則C1′(1，－3)，所以|C1P|＋|C2P|的最小值為|C1′C2|＝eq\r((2－1)2＋(4＋3)2)＝5eq\r(2)，則|PM|＋|PN|的最小值為5eq\r(2)－4.15．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直的充要條件列出方程，代入化簡(jiǎn)計(jì)算即得k值.【詳解】（1）由題意，，則；（2）由（1）可得因向量與互相垂直，則得：，解得，或.16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題意知，，，兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)椋裕植辉谄矫鎯?nèi)，所以平面．（2）因?yàn)?，，所以，又設(shè)異面直線與所成角為，所以17．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用兩點(diǎn)式求得邊所在直線方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得A到直線的距離，根據(jù)面積以及點(diǎn)A在直線上列方程組，解方程組求得A點(diǎn)的坐標(biāo).（1）解：由、得邊所在直線方程為，即，故邊所在直線的方程為.（2）解：因?yàn)锳到邊所在直線的距離為，又，所以，所以，所以，則或，由于A在直線上，故或，解得或，所以或.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，，，，即，，因?yàn)?，所以，所?（2）如圖，當(dāng)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，所以，設(shè)點(diǎn)B1到平面ECD1的距離，，所以，所以點(diǎn)B1到平面ECD1的距離為.（3）設(shè)時(shí)，平面D1EC與平面AECD所成角為，則，由圖知，平面AECD法向量為，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因?yàn)槠矫鍰1EC與平面AECD所成角為，所以，解得或（舍）.所以當(dāng)AE為時(shí)，平面D1EC與平面AECD所成角為.19．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）圓心在上，可設(shè)圓心，，，解得：，，故圓的方程為：.（2）法1：由圓的幾何性質(zhì)得即，所以，設(shè)，則，所以，即的軌跡