621排列622排列數(shù)（課件）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版2019選擇性）

人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.1排列6.2.2排列數(shù)在上節(jié)例8的解答中我們看到，用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)，因做了一些重復(fù)性工作而顯得煩瑣．能否對(duì)這類計(jì)數(shù)問題給出一種簡(jiǎn)捷的方法呢?為此，先來分析兩個(gè)具體的問題．問題1

從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有幾種不同的選法?此時(shí)，要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng)，1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種選法；第2步，確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從剩下的2人中去選，有2種選法．這6種不同的選法如圖6.2-1所示．如果把上面問題中被取出的對(duì)象叫做元素，那么問題可敘述為：從3個(gè)不同的元素a，b，c中任意取出2個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法?所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，cb，ca．問題1中的“順序”是什么？問題2從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)?顯然，從4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)，按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)．可以分三個(gè)步驟來解決這個(gè)問題：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1，2，3，4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，不同的排法種數(shù)為因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖6.2-2所示．由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432．問題2中的“順序”是什么？上述問題1，2的共同特點(diǎn)是什么?你能將它們推廣到一般情形嗎?問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù)．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同的充要條件是：兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同．例如，在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同，它們是不同的排列；“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．又如，在問題2中，123與134的元素不完全相同，它們是不同的排列；123與132雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．例1

某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng)，那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場(chǎng)比賽，可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支，按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列．例2（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法?（2）學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少種不同的選法?分析：3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個(gè)位置(給3名同學(xué))的一個(gè)排列；而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個(gè)排列．前面給出了排列的定義，下面探究計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式．探究第1位第2位圖6.2-3第1位第2位圖6.2-3現(xiàn)在來計(jì)算有多少種填法．完成“填空”這件事可以分為兩個(gè)步驟完成：第1位第2位第3位第m位……填空可以分為m個(gè)步驟完成：……你能說一下排列數(shù)公式的特點(diǎn)嗎？特別地，我們把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列．例4

用0～9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?分析：在0～9這10個(gè)數(shù)字中，因?yàn)?不能在百位上，而其他9個(gè)數(shù)字可以在任意數(shù)位上，因此0是一個(gè)特殊的元素．一般地，我們可以從特殊元素的位置入手來考慮問題．百位十位個(gè)位圖6.2-5解法1：如圖6.2-5所示，由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位百位十位個(gè)位00對(duì)于例4這類計(jì)數(shù)問題，從不同的角度就有不同的解題方法．解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是0的要求，按分步乘法計(jì)數(shù)原理完成從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事；解法2是以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，按分類加法計(jì)數(shù)原理完成這件事；解法3是一種間接法，先求出從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù)，然后減去其中百位是0的排列數(shù)(不是三位數(shù)的個(gè)數(shù))，就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)．人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理6.2排列與組合6.2.3組合6.2.4組合數(shù)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法?這一問題與節(jié)的問題1有什么聯(lián)系與區(qū)別?探究在節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成是先選出甲、乙2名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的．同樣，先選出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2種方法．而從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，就只需考慮將選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的順序．于是，在節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況：．甲乙，甲丙，乙丙．將具體背景舍去，上述問題可以概括為：從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素作為一組，一共有多少個(gè)不同的組?這就是我們要研究的問題．你能說一說排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎?但排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)．只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的；而兩個(gè)組合只要元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的．例如，在上述探究問題中，“甲乙”與“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列順序不同，因此它們是相同的組合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，就可以建立起排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖6.2-7所示．甲乙甲丙甲乙，乙甲甲丙，丙甲乙丙乙丙，丙乙組合排列由此，節(jié)問題1的6個(gè)排列可以分成每組有2個(gè)不同排列的3個(gè)組，也就是上面探究問題的3個(gè)組合．校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛．下面的問題是排列問題，還是組合問題?（1）從中選3輛，有多少種不同的方法?（2）從中選3輛給3位同學(xué)，有多少種不同的方法?組合問題排列問題例5

平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn)（1）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?（2）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn)，還要考慮它們的順序，是排列問題；（2）確定一條線段，只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需考慮它們的順序，是組合問題．例5

平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn)（1）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?（2）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎?進(jìn)一步地，能否從這種對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)?類比排列數(shù)，我們引進(jìn)組合數(shù)概念：探究前面，我們利用“元素相同、順序不同的兩個(gè)組合相同”“元素相同、順序不同的兩個(gè)排列不同”，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，建立了排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并求得了從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)甲乙甲丙甲乙，乙甲甲丙，丙甲乙丙乙丙，丙乙組合排列a

b

ca

b

cb

a

c

c

a

ba

c

bb

c

a

c

b

a

a

b

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b

db

a

d

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ba

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c

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c

db

c

dc

b

d

d

b

cb

d

cc

d

b

d

c

b圖6.2-8組合排列觀察例的（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)?（1）與（2）分別用了不同形式的組合數(shù)公式，你對(duì)公式的選擇有什么想法?例7在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品、從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．（1）有多少種不同的抽法?（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?分析：（1）從100件產(chǎn)品中任意抽出3件，不需考慮順序，因此這是一個(gè)組合問題；（2）可以先從2件次品中抽出1件，再?gòu)?8件合格品中抽出2件，因此可以看作是一個(gè)分步完成的組合問題；（3）從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情況，因此可以看作是一個(gè)分類完成的組合問題．例7在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品、從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．（1）有多少種不同的抽法?（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?例7在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品、從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?（3）方法1