專題04不等關(guān)系及基本不等式（原卷版）

專題04不等關(guān)系及基本不等式【考點(diǎn)總結(jié)】考點(diǎn)01不等式的概念（1）現(xiàn)實(shí)世界與日常生活中，與等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系．（2）用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式．考點(diǎn)02兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較（1）作差法：設(shè)a，bR，則，a<b?a?b<0.（2）作商法：設(shè)a>0，b>0，則a>b?，a<b?.考點(diǎn)03不等式的性質(zhì)（1）實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系①a>b?；②；③a<b?.（2）不等式的性質(zhì)①對(duì)稱性：；(雙向性)②傳遞性：a>b，b>c?；(單向性)③可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)④a>b，c>d?；(單向性)⑤可乘性：；(單向性)a>b，c<0?ac<bc；(單向性)⑥a>b>0，c>d>0?；(單向性)⑦乘方法則：；(單向性)⑧開方法則：a>b>0?(nN，n≥2)．(單向性)注意：（1）應(yīng)用傳遞性時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，則等號(hào)無法傳遞.（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號(hào).考點(diǎn)04必記結(jié)論（1）a>b，ab>0?.（2）a<0<b?.（3）a>b>0,0<c<d?.（4）0<a<x<b或a<x<b<0?.（5）若a>b>0，m>0，則；(b?m>0)；；(b?m>0)．考點(diǎn)05一元二次不等式的概念我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，有下列三種形式：（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；（3）兩根式：.考點(diǎn)06一元二次不等式的解法由一元二次不等式與相應(yīng)的方程、函數(shù)之間的關(guān)系可知,求一元二次不等式的解集的步驟如下：（1）變形：將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式，即或；（2）計(jì)算：求出相應(yīng)的一元二次方程（）的根，有三種情況：；（3）畫圖：畫出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象的草圖；（4）求解：利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．考點(diǎn)07一元二次不等式恒成立問題（1）恒成立的充要條件是：且．（2）恒成立的充要條件是：且．（3）恒成立的充要條件是：且．（4）恒成立的充要條件是：且．（5）恒成立的充要條件是：且或且．（6）恒成立的充要條件是：且或且．考點(diǎn)08分式不等式的解法若與是關(guān)于的多項(xiàng)式，則不等式(或<0，或0，或0)稱為分式不等式．解分式不等式的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式(組)求解．即;;;.對(duì)于形如a(或<a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右邊化為0，再通過商的符號(hào)法則，把它轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.2．高次不等式的解法不等式的最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式．解高次不等式常用的方法有兩種：（1）將高次不等式中的多項(xiàng)式分解成若干個(gè)不可約因式的乘積，根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則，把它等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)不等式(組)．于是原不等式的解集就是各不等式(組)解集的并集．（2）穿針引線法：①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，一端為0，另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)或二次不可約因式的乘積；②求出各因式的實(shí)數(shù)根，并在數(shù)軸上標(biāo)出；③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根穿過，遇偶次重根穿而不過(奇過偶不過)；④記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)寫出解集．【題型歸類】類型一比較大小1.若a=2x2+1，b=x2+2x，c=?x?3，試比較a【變式11】對(duì)于任意實(shí)數(shù)，下列正確的結(jié)論為（）A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則．【變式12】下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【變式13】已知，均為正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．類型二求取值范圍2.若二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點(diǎn)，且，，求f(－2)的取值范圍.【變式21】已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，.(1)證明；(2)當(dāng)且僅當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)存在最小值；(3)若，求的取值范圍.【變式22】已知（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)，，求的取值范圍.【變式23】已知函數(shù)f(x)=ax（1）當(dāng)a=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)≤0；（2）若a>0，解關(guān)于x的不等式f(x)≤0.類型三恒成立問題3.已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的值范圍．【變式31】已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.類型四解分?jǐn)?shù)不等式4.解關(guān)于x的不等式:

<0(a∈R).專題訓(xùn)練1.已知a，bR且ab≠0，對(duì)于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．b>02.函數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù),下列不等式總成立的是()A． B．C． D．3．下列命題正確的是A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則4.已知不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)、恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．5．設(shè)，則A． B．C． D．6．三個(gè)正整數(shù)，，滿足條件:，，，若，則的最大值是A．12 B．13C．14 D．157.函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為A． B．C．或 D．9．設(shè)正數(shù)，滿足，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)解恰有4個(gè)，則的取值范圍是A． B．C．