專題05-2023年福建高考數(shù)學滿分限時題集

專題05大題限時練五1．在等差數(shù)列中，已知，公差，其前項和滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求的表達式．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）根據(jù)題意，當時，，又，則，解得，所以等差數(shù)列的公差，所以；（2）由（1）可知，則；所以，兩式相減得，則，所以．2．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若，為的中點，，求的面積．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）在中，由正弦定理得，整理得，又，所以，又因為，所以．（2）因為，由余弦定理得，即，①在中，由余弦定理得，即，②又，③聯(lián)立①②③，解得，所以．3．如圖，在直三棱柱中，點為的中點，點在上，且．（1）證明：平面平面；（2）若，，且三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，，點為的中點，且，，，，，平面，平面，平面平面；（2），為正三角形，設，則，由（1）可得，平面，依題意得，故點到平面的距離為，，，三棱錐的體積為，，，以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，，，，1，，，，，，0，，，2，，，，，設平面的一個法向量為，，，則，即令，得，0，，，．與平面所成角的正弦值為．4．冬季兩項是第24屆北京冬奧會的比賽項目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點不同的競賽項目結(jié)合在一起．其中男子個人賽的規(guī)則如下：①共滑行5圈（每圈，前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發(fā)子彈；②射擊姿勢及順序為：第1圈滑行后臥射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后臥射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直達終點；③如果選手有發(fā)子彈未命中目標，將被罰時分鐘；④最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝．已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發(fā)子彈命中目標的概率分別為和．假設甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發(fā)子彈是否命中目標互不影響．（1）若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求甲勝乙的概率；（2）若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）設第四圈甲命中發(fā)，乙命中了發(fā)，在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，甲勝乙需要滿足：，化為．，，，．，時，；，時，；，時，．甲勝乙的概率．（2）設甲射擊命中目標的次數(shù)為，乙射擊命中目標的次數(shù)為，則，發(fā)，發(fā)，甲平均罰時為4分鐘，乙平均罰時為5分鐘，又甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲滑雪用時比乙多了秒分鐘，，乙的水平更高．5．在平面直角坐標系中，已知點，，是線段的中點，是平面內(nèi)的一動點，且滿足，記點的運動軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，若的面積是的面積的3倍，求直線的方程．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）令，由題意知：，又，所以，整理得：．故曲線的方程為．（2）由知：在曲線內(nèi)部，要使的面積是的面積的3倍，即，當直線斜率為0時，直線為，此時、的面積均為0，不滿足題設；令直線為，代入曲線中，整理得：，所以，，則，所以，得：，則，又，整理得：，即，所以直線為，即．6．已知函數(shù)，，．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若，，求．【答案】（1）在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)；（2）【詳解】（1），若時，則，當，時，恒成立，且僅當時等號成立，故此時在，為減函數(shù)，無增區(qū)間；當時，若，則；若，則，，則，故在，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)．當時，若，則，，則，故在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)．（2）時，，即為，因為任意，時，恒成立，故在，上恒成立，而，，若，在，因為為不間斷函數(shù)，所以存在，使得，，總有，故在，上為減函數(shù)，故，，，這與題設矛盾；若，在，因為為不間斷函數(shù)，所以存在，使得，總有，故在上為減函數(shù)，故，，這與題設矛盾．故，此時，當時，，當時，，設，則，因