專題04三角恒等變換（難點）

專題04三角恒等變換（難點）一、單選題1．已知，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．0或2【答案】D【分析】由，通過二倍角公式，得到或原式化簡為再分別求解.【解析】因為所以所以解得或當(dāng)時當(dāng)時故選：D【點睛】本題主要考查了二倍角公式及其應(yīng)用，不覺考查了變形運算求解的能力，屬于中檔題.2．，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意代換化簡分子，利用半角公式化簡即可求解.【解析】由題：.故選：B【點睛】此題考查三角恒等變換，對基本公式考查比較全面，涉及半角公式化簡，考查綜合能力.3．若且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡，得，得，將變形后分子、分母同除以，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，利用基本不等式求得，即可得解．【解析】由，得，得，則，因為，因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，所以，所以的最小值是，故選：B4．已知銳角滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】計算出，再將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【解析】，，、均為銳角，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，故，時等號成立.因此，的最小值為.故選：C5．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）．A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的最小正周期為C．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【分析】寫出分段形式，A特殊值法判斷是否成立；B利用，結(jié)合誘導(dǎo)公式得周期，即可判斷；C判斷是否恒成立即可；D利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷.【解析】且，A：，故圖象不關(guān)于對稱，錯誤；B：要使成立，則，k為整數(shù)，所以，當(dāng)時最小正周期為，正確；C：不一定等于0，故不是對稱中心，錯誤；D：由對應(yīng)解析式為，則，即單調(diào)遞減，錯誤；故選：B6．已知直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡，由對稱軸可求得，通過平移變換可求得，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求值域即可.【解析】，因為是函數(shù)圖像的一條對稱軸，所以，即，又因為，所以，所以.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到.因為，則，當(dāng)，即時，取最小值；當(dāng)，即時，取最大值2，則在上的值域為.故選：A.7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將已知等式化簡得到，再利用角的關(guān)系求解即可.【解析】，因為所以，所以故選：B8．若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期是B．的對稱軸方程為（）C．存在實數(shù)，使得對任意的，都存在、且，滿足（，2）D．若函數(shù)，（是實常數(shù)），有奇數(shù)個零點，，…，，（），則【答案】B【分析】A選項，平方后利用輔助角公式化簡得到，得到為函數(shù)的周期，A錯誤；利用整體法求解函數(shù)的對稱軸方程，B正確；首先求出，，畫出上的的函數(shù)圖象，問題等價于有兩個解，數(shù)形結(jié)合得到，無解，C錯誤；D選項，的根轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標(biāo)，畫出圖象，結(jié)合對稱性求解.【解析】，.，.對于A，，為的周期，A錯誤；對于B，的對稱軸方程為.（）.即（）.B正確.對于C，對，有，∵在上單調(diào)遞增，，（，2），等價于有兩個解，當(dāng)時，，顯然無解，不妨設(shè)，畫出在的的圖象，如圖所示：.或.無解.故C錯誤；對于D，的根為與交點橫坐標(biāo).有奇數(shù)個交點，，且，，，，，，，，，D錯誤.故選：B.【點睛】較為復(fù)雜的函數(shù)零點問題，通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.二、多選題9．如圖，已知兩點在單位圓O上，且都在第一象限，點是線段的中點，點是射線與單位圓O的交點，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由中點坐標(biāo)公式及三角函數(shù)定義，結(jié)合角的變換、兩角和與差的余弦公式求解可判斷A；由中點坐標(biāo)公式及三角函數(shù)定義求解可判斷B；由三角函數(shù)定義求解可判斷C；利用特值法可判斷D.【解析】A項：，故A正確；B項：，故B正確；C項：，故C錯誤；D項：取，則，此時，故D錯誤．故選：AB.10．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是2B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖像可以由函數(shù)的圖像向右平移個單位得到D．若方程在區(qū)間有兩個實根，則【答案】CD【分析】利用倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式研究選項中相關(guān)的函數(shù)性質(zhì).【解析】.對于A：函數(shù)的最大值是3，A選項錯誤；對于B：時，，是正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，故B選項錯誤；對于C：函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像，即函數(shù)的圖像，C選項正確；對于D：由，解得，在上單調(diào)遞增；由，解得，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，所以方程在區(qū)間有兩個實根，，D選項正確.故選：CD11．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞增D．在上的零點個數(shù)是4041【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象，可判斷AD，求出即可判斷B，結(jié)合分段函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C【解析】當(dāng)時，，此時，，又時，，時，，所以，當(dāng)時，，此時，，又時，，時，，所以，所以，結(jié)合圖象可知的最小正周期為，故A錯誤；對于B，，，，∴其圖象關(guān)于直線對稱，則B正確．當(dāng)時，．因為，所以，則在上單調(diào)遞增，故C正確．在上的零點個數(shù)即為的交點個數(shù)，因為，，且是偶函數(shù)，的最小正周期為，由圖象可得當(dāng)時，有4個交點，所以當(dāng)時，有4個零點，所以時，有個零點，所以在上的零點個數(shù)是，故D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題關(guān)鍵在于兩個絕對值的處理，去掉絕對值需要對內(nèi)部的正負(fù)進(jìn)行討論，得到對應(yīng)的分段函數(shù)，然后畫出圖象即可判斷每個選項12．設(shè)函數(shù)，給出的下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時，為偶函數(shù)B．當(dāng)，時，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)C．當(dāng)，時，在區(qū)間上恰有個零點D．當(dāng)，時，設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最大值為【答案】ACD【分析】利用余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；在時解方程，可判斷C選項；對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求出的取值范圍，可判斷D選項.【解析】對于A選項，當(dāng)，時，為偶函數(shù)，A對；對于B選項，當(dāng)，時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)，時，，當(dāng)時，，由可得，解得，此時在區(qū)間上恰有個零點，C對；對于D選項，當(dāng)，時，，因為，則，①若，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；②若時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，，因為，則，，所以，；③若，即當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則；④若時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，因為，則，，所以，.綜上所述，，D對.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)基本性質(zhì)的綜合，難點在于判斷D選項，要注意對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求得、的值或表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性來求解.三、填空題13．已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的序號有________.①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②是函數(shù)的周期；③函數(shù)的值域為；④函數(shù)在內(nèi)有4個零點.【答案】①③④【分析】①化簡解析式，求出范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；②根據(jù)奇偶性舉特例驗證f(x＋2π)與f(x)關(guān)系即可；③分類討論求出f(x)解析式，研究在x≥0時的周期性，再求出值域即可；④根據(jù)值域和單調(diào)性討論即可.【解析】∵函數(shù)，定義域為R，，∴為偶函數(shù).當(dāng)時，，，，此時正弦函數(shù)為增函數(shù)，故①正確；∵，∴，而，∴不是函數(shù)的周期，故②錯誤；當(dāng)或，k∈Z時，，此時，當(dāng)，k∈Z時，，此時，故時，是函數(shù)的一個周期，故考慮時，函數(shù)的值域，當(dāng)時，，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，此時單調(diào)遞減，；當(dāng)時，，，此時，綜上可知，，故③正確；由③知，時，，且函數(shù)單調(diào)遞增，故存在一個零點，當(dāng)時，，且函數(shù)單調(diào)遞減，故存在一個零點，其他區(qū)域無零點，故當(dāng)時，函數(shù)有2個零點，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴函數(shù)在內(nèi)有4個零點.故④正確；故答案為：①③④.14．已知當(dāng)時，函數(shù)（且）取得最大值，則時，的值為__________．【答案】3【分析】先將函數(shù)的解析式利用降冪公式化為，再利用輔助角公式化為，其中，由題意可知與的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及求出的值．【解析】

，其中，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則，，所以，，解得，故答案為．【點睛】本題考查三角函數(shù)最值，解題時首先應(yīng)該利用降冪公式、和差角公式進(jìn)行化簡，再利用輔助角公式化簡為的形式，本題中用到了與之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解，考查計算能力，屬于中等題．15．已知是關(guān)于的方程的兩個根，則________.【答案】【分析】將原式化簡為，根據(jù)韋達(dá)定理得到計算出，代入式子得到答案.【解析】原式.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，即.解得，又因為，所以，所以.故答案為【點睛】本題考查了韋達(dá)定理，三角恒等變換，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，綜合性大，技巧性強，需要同學(xué)們靈活運用各個公式和方法.16．已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，恒有，則____．【答案】【分析】對進(jìn)行化簡得到，根據(jù)正弦函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性得到，進(jìn)而確定，，，利用兩角差的余弦公式得到．【解析】對任意實數(shù)，恒有則即，【點睛】本題的關(guān)鍵在于“變角”將變?yōu)榻Y(jié)合誘導(dǎo)公式，從而變成正弦的二倍角公式．四、解答題17．求解下列問題：(1)求證：；(2)已知，求.【答案】(1)證明詳見解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行證明；（2）利用（1）以及二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【解析】（1）證明：，.（2），則，由，解得，所以，因為，由（1）得，所以.18．化簡：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的范圍，再利用二倍角公式和同角三角函數(shù)間的關(guān)系化簡計算即可，（2）利用半角公式，誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡即可.（1）因為，所以，所以原式.（2）因為，所以.又因為，且，所以原式，因為，所以，所以.所以原式.19．已知，且滿足(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系得出，再由求解即可；（2）解方程得出，再由以及得出的值．【解析】（1）當(dāng)時，，不滿足，故.因為，所以.即，即解得或（舍）故（2），解得或（舍）.由（1）可知，，則，同理可得即，因為函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，所以20．已知函數(shù)的一個零點為．(1)求A的值和函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用即可求得，然后對函數(shù)進(jìn)行化簡即可；（2）利用求得，然后根據(jù)可得即可求解【解析】（1）因為函數(shù)的一個零點為，所以，解得，所以，所以函數(shù)的最小正周期（2）因為，所以，所以，所以，因為恒成立，所以，則，所以21．已知函數(shù)(1)化簡的表達(dá)式.(2)若的最小正周期為，求的單調(diào)區(qū)間(3)將（2）中的函數(shù)f（x）圖像上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)，且圖像關(guān)于對稱.若對于任意的實數(shù)a，函數(shù)與y=1的公共點個數(shù)不少于6個且不多于10個，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(3)【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)；（2）根據(jù)最小正周期公式求，再采用代入的方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）首先根據(jù)三角函數(shù)平移變換，以及函數(shù)性質(zhì)求，并求得，根據(jù)實根個數(shù)，轉(zhuǎn)化為與周期有關(guān)的不等式，即可求的取值范圍.【解析】（1）依題意，（2）由（1）知，，解得，則，當(dāng)時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由得：，由得：，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減;（3）由（2）及已知，，因圖像關(guān)于對稱，則，解得:,又，即有，，于是.由得：，，而函數(shù)的周期，依題意，對于在上均有不少于6個且不多于10個根，則有,即，解得：，所以正實數(shù)λ的取值范圍是.22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．銳角的終邊分別與單位圓交于兩點，角的終邊與單位圓交于點，過點分別作軸的垂線，垂足分別為、、．(1)如果，，求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義得到，，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系得和余弦差角公式求出答案；（2）表達(dá)出，，利用三角函數(shù)有界性進(jìn)行適當(dāng)放縮，證明出，再利用適當(dāng)放縮證明出，從而證明出結(jié)論.【解析】（1）由題意得：，，由于、均為銳角，所以，，所以．（2），，所以，，所以，同理，所以線段．23．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)常數(shù)＞0，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；(3)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，然后保持圖象上點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再保持圖象上點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/p>