55解三角形與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用（精講）（原卷版）

5.5解三角形與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用（精講）一．仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).二．方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).三．方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.四.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.考法一解三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用【例11】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）釋迦塔俗稱應(yīng)縣木塔，建于公元1056年，是世界上現(xiàn)存最古老最高大之木塔，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”.2016年、釋迦塔被吉尼斯世界紀(jì)錄認(rèn)定為世界最高的木塔.小張為測(cè)量木塔的高度，設(shè)計(jì)了如下方案：在木塔所在地面上取一點(diǎn)，并垂直豎立一高度為的標(biāo)桿，從點(diǎn)處測(cè)得木塔頂端的仰角為60°，再沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，并垂直豎立一高度為的標(biāo)桿，再沿方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)恰好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)，在一條直線上.若小張眼睛到地面的距離，則小張用此法測(cè)得的釋迦塔的高度約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【例12】（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某景區(qū)為方便游客，計(jì)劃在兩個(gè)山頭M，N間架設(shè)一條索道．為測(cè)量M，N間的距離，施工單位測(cè)得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頭的海拔高度，在BC同一水平面上選一點(diǎn)A，測(cè)得M點(diǎn)的仰角為，N點(diǎn)的人仰角為，以及，

則M，N間的距離為（

）

A． B．120m C． D．200m【一隅三反】1．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，某學(xué)生社團(tuán)在公園內(nèi)測(cè)量某建筑的高度，為該建筑頂部.在處測(cè)得仰角，當(dāng)沿一固定方向前進(jìn)60米到達(dá)處時(shí)測(cè)得仰角，再繼續(xù)前進(jìn)30米到達(dá)處時(shí)測(cè)得仰角，已知該建筑底部A和、、在同一水平面上，則該建筑高度為（

）

A． B． C．45 D．902．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.如圖，小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t小明估算索菲亞教堂的高度約為(取)（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測(cè)量其高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)處測(cè)得酒店頂端的仰角，則酒店的高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米考法二解三角形與平面向量的綜合【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量，，共線，則形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【一隅三反】1．（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)為的外心，且，則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定2．（2022·廣東廣州·三模）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量，，.(1)若，，為邊的中點(diǎn)，求中線的長(zhǎng)度；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，，求的最小值.考法三解三角形與三角函數(shù)性質(zhì)綜合【例3】（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【一隅三反】1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，且，求的取值范圍.3．（2023·安徽）已知函數(shù)，將的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位后得到的圖象，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.（1）求的值；（2）在銳角中，若，求的取值范圍.考法四解三角形與各種心的綜合【例4】（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答.①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【一隅三反】1.（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點(diǎn)P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.2．（2022·廣東廣州·三模）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.問題：已知中，分別為角所對(duì)的邊，__________.(1)求角的大??；(2)已知，若邊上的兩