專題94平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算（7類必考點(diǎn)）（2019）（原卷版）

專題9.4平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算TOC\o"13"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：平面向量的基本定理】 1【考點(diǎn)2：向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 2【考點(diǎn)3：向量模的坐標(biāo)表示】 3【考點(diǎn)4：向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】 5【考點(diǎn)5：向量平行的坐標(biāo)表示】 6【考點(diǎn)6：向量垂直的坐標(biāo)表示】 7【考點(diǎn)7：向量夾角的坐標(biāo)表示】 8【考點(diǎn)1：平面向量的基本定理】【知識(shí)點(diǎn)：平面向量的基本定理】如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．[方法技巧]平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．1．（2023秋·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）在△ABC中，若AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E在AD上，且AE=2ED，則EB=（

A．23AB?C．76AB?2．（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，D為AB邊的中點(diǎn)，記CA=m,CD=A．m?2n B．m+2n C．3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在平行四邊形ABCD中，AE=13AD，CF=A．65AF?C．65AF+4．（2022春·福建福州·高一?？计谀┮阎猠1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（A．2e1?e2和2C．e1?2e2和e15．（2023·全國(guó)·開(kāi)灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平行四邊形OACB中，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的點(diǎn)，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中m，6．（2023秋·江蘇無(wú)錫·高一無(wú)錫市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段BD上的一個(gè)三等分點(diǎn),且DF>FB,若AF=xAE+y【考點(diǎn)2：向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【知識(shí)點(diǎn)：向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示】(1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模設(shè)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則：＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．一般地，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)．[方法技巧]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)A1,2，B?1,?2，則向量AB的坐標(biāo)為（A．2,4 B．0,0 C．?1,?1 D．?2,?42．（2022秋·福建莆田·高二?？计谀┮阎猘=(2,1),a+b=A．?1,?2 B．?1,2 C．?2,1 D．?2,?13．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量a=?1,2，b=0,1，則A．（－1，1） B．（－2，3） C．（－1，4） D．（－1，0）4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量a=（1，1），b=（﹣1，1），c=（4，2），若c→=λa→+μb→，λ、A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)A1,0，B0,2，C?1,?2，則以A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)DA．0,?4 B．2,4 C．?2,0 D．2,16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,1，邊BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為?3,1，則△ABC的重心坐標(biāo)為_(kāi)_____．7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A?2,4，B3,?1，C?3,?4，設(shè)AB=a，BC=b(1)求3a(2)求滿足a=mb+n【考點(diǎn)3：向量模的坐標(biāo)表示】【知識(shí)點(diǎn)：向量模的坐標(biāo)表示】模||＝||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))[方法技巧]求向量模的常用方法(1)若向量是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的?？芍苯永霉絴|＝eq\r(x2＋y2).(2)若向量，是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的模可應(yīng)用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．1．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知向量a=(m,2),b=(1,1)．若|a+A．2 B．2 C．12 D．2．（2022春·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=(n,m),OB=(4n,p),F4,0A．1 B．2 C．3 D．63．（2022春·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對(duì)角線中較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)___4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC，AD=1,BC=2,P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+45．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=?1,8，OB=?4,1，6．（2022春·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）設(shè)向量a=(1)求a+2(2)若c=λa+μb，【考點(diǎn)4：向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】【知識(shí)點(diǎn)：向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示】向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則·＝x1x2＋y1y2；a在b上的投影向量為b|b|1．（2023春·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若向量滿足，，則（

）A．13 B．12 C． D．3．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）平面向量滿足，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模長(zhǎng)為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，則_________．6．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，則在上的投影向量為_(kāi)_______．7．（2023秋·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，P是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則__________，若點(diǎn)M為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【考點(diǎn)5：向量平行的坐標(biāo)表示】【知識(shí)點(diǎn)：向量平行的坐標(biāo)表示】設(shè)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，則∥?x1y2－x2y1＝0.[方法技巧]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．1．（四川省成都市20202021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)文科試題）已知向量a=2,3，b=4,n，a∥A．3 B．3 C．6 D．62．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知m>0，平面向量a=m2+2,m，b=3．（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）已知向量AB=3,m?3，BC=2,4，若4．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量a=1,3,b=5．（2022秋·江西吉安·高二江西省吉水縣第二中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知a=(1,0),(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka?b(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb【考點(diǎn)6：向量垂直的坐標(biāo)表示】【知識(shí)點(diǎn)：向量垂直的坐標(biāo)表示】⊥·＝0x1x2＋y1y2＝0[方法技巧]平面向量垂直問(wèn)題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．(2)已知兩向量垂直求參數(shù)根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．[提醒]注意x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．1．（2023·甘肅蘭州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=(?4,m),b=(1,?2)，且(a?2A．?7 B．7 C．12 D．?52．（2023秋·云南·高一云南師大附中?？计谀┰O(shè)向量a=1,cosθ，b=sin2θ,?A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知向量a,b的夾角的余弦值為23，(a?3b)⊥(A．4 B．1 C．1 D．44．（2022秋·北京·高二北京市第五中學(xué)?？计谀┮阎蛄緼B=1,2，AC=3,m，若5．（2022春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量a=(?1,3)，b(1)求a?(2)求2a?b及a(3)(a?mb6．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知平面向量a=3,?1，b=12,32，若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k(1)試求函數(shù)關(guān)系式k=ft(2)求使ft>0的【考點(diǎn)7：向量夾角的坐標(biāo)表示】【知識(shí)點(diǎn)：向量夾角的坐標(biāo)表示】夾角cosθ＝cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))[答案](1)D(2)eq\f(2\r(2),3)[方法技巧]求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟第一步由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積第二步分別求出這兩個(gè)向量的模第三步根據(jù)公式cosθ＝＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值第四步根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0，π]及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量a=?1,0，b=x,1?x，則x>0是向量a，A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件2．（2022秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量a=1,3，b=?3,4，A．a(chǎn)?b=?15C．a(chǎn)+b與a的夾角為鈍角 D．a(chǎn)+3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a=x,1，b=2,2x+3，若a,A．?34,+C．?∞,?34．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知向量a=?3,1，b=4,2，則5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向