過關檢測04函數(shù)單調性的四種求法-2022年高考數(shù)學六大考點全面解讀檢測

過關檢測041.已知函數(shù)，求證時.【解析】證明：定義域，，令，，因為都是增函數(shù)，所以單調遞增，又因為，所以一定存在使得，所以時單調遞減，時單調遞增，所以，又由可得，所以，所以，從而得證.2.已知函數(shù)，求證.【解析】證明：定義域，因為在時都是增的，所以為增函數(shù)，又因為，所以存在唯一的使得，時單調遞減，時單調遞增，，又由可得，所以.令，當時，單調遞減，,所以.3.已知函數(shù)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】法一：定義域,,令，，令，，所以單調遞增，又因為，所以一定存在使得，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，，又由可得，所以，.法二：定義域,，令，則，令，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，所以.法法二運用的是函數(shù)同構，這個方法比價棘手的是學生們不知道該如何構造，本專輯里會在后面恒成立問題的四種解法中詳細敘述構造方法4.已知函數(shù)，證明.【解析】證明：定義域：，，令當時，單調遞增.又，由零點存在性定理可知一定存在使得.所以時，單調遞減；時，單調遞增.由此可知，，，，成立.5.已知函數(shù).討論的單調性；若有三個零點，求的取值范圍.【答案】（1）時單調遞增；時和時單調遞增，時單調遞減.（2）.【解析】定義域，令（Ⅰ）即時，恒成立，單調遞增.（Ⅱ）即時，，所以和時，單調遞增，時，單調遞減.（2）由（1）可知時單調遞增,不會存在3個零點.當時和時單調遞增，時單調遞減.,且時，時，所以要使函數(shù)有三個零點則，即，.6.設函數(shù).討論的單調性；當時，求的取值范圍.【答案】（1）當和時單調遞減；當時單調遞增；（2）.【解析】（1）定義域,，令，，當和時，單調遞減；當時，單調遞增.（2），令，要使，則只需又因為，所以所以在時單調遞減.，恒成立，所以單調遞減，所以.7.已知函數(shù).當時，討論的單調性；若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）時單調遞減，時單調遞增；（2）.【解析】（1）,,當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）.（Ⅰ）當時恒成立，所以單調遞增不會有兩個零點.（Ⅱ）當時，令，當時，單調遞減，當時單調遞增，則，令，，，此時，由（1）可知當時，單調遞增，且恒大于零，即，所以，設，則，此時有兩個零點，所以.8.已知函數(shù).討論的單調性；當有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍.【答案】（1）時單調遞增；時在上單調遞增，在上單調遞減；（2）.【解析】（1）定義域是，，（Ⅰ）當時，單調遞增.（Ⅱ）時令，.①當時不在定義域內，恒成立，單調遞增.②當時，在上單調遞增，在上，單調遞減.綜上所述時單調遞增；時在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）可知時單調遞增無最大值，當時在上單調遞增，在上單調遞減，最大值是，，令，，所以單調遞增，又因為，所以當是.9.已知函數(shù).設是的極值點，求；當時，證明.【答案】（1）【解析】（1），因為是的極值點，所以.驗證：當時，，顯然，又因為單調遞增（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），所以有且僅有一個根，時，單調遞減，時，單調遞增，是的極值點成立.（2）定義域，，令，，由增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)可知單調遞增，又因為，所以一定存在使得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，，又由可知，，所以，所以，得證.10.設函數(shù).討論的導函數(shù)零點的個數(shù)；證明：當時，.【答案】（1）時無零點，時有一個零點【解析】（1），令，，則零點個數(shù)和交點個數(shù)，令，所以單調遞增，且恒成立，所以當時沒有交點，當時有一個交點.（2）由（1）可知時，有唯一零點，不妨設，則時，單調遞減，時，單調遞增，，又由可知，，所以，當時由基本不等式可知得證.11.已知函數(shù).討論的單調性；當時，記在區(qū)間上最大值為,最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）時，在和上單調遞增，在上單調遞減；時，在和上單調遞增，在上單調遞減；時單調遞增；（2）.【解析】定義域是,，令，或，①當即時，在和上單調遞增，在上，單調遞減.②當即時，在和上單調遞增，在上，單調遞減.③當，即時所以單調遞增.綜上所述：時，在和上單調遞增，在上單調遞減；時，在和上單調遞增，在上單調遞減；時單調遞增.（2）由（1）可知當時在和上單調遞增，在上單調遞減，又因為，所以時單調遞減，時單調遞增，，，所以，當時，令，所以在上單調遞減，，當時，令單調遞增，所以，所以.12.已知函數(shù)，其中.（1）設是的導函數(shù)，討論的單調性；（2）證明：存在，使得在區(qū)間內恒成立，且在區(qū)間內有唯一解.【答案】（1）時單調遞增；當時在和上單調遞增，在上單調遞減【解析】（1）定義域，，，令則，，（Ⅰ）當即時，恒成立，單調遞增.（Ⅱ）當即時，,且，所以當和時，單調遞增，當時，單調遞減.綜上所述：時單調遞增；當時在和上單調遞增，在上單調遞減.（2）由（1）可知，當時單調遞增，又因為當時，，所以一定存在使得，所以當時單調遞減，當時單調遞增，，又由可知，所以，若在上恒成立，則，，下面只需證明有唯一解即只存在一個，因為，且，所以，設，所以單調遞增，又因為，所以有唯一解，即存在，使得在區(qū)間內恒成立，且在區(qū)間內有唯一解.13.設函數(shù),.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間內恒成立，且關于的方程在內有唯一解？【答案】（1）時單調遞增；時在上單調遞增，在上單調遞減；（2）存在使得在區(qū)間內恒成立，且關于的方程在內有唯一解.【解析】（1）定義域：，.(Ⅰ)時，單調遞增.（Ⅱ）當時令，，當時，單調遞增，當時，單調遞減.綜上所述：時單調遞增；時在上單調遞增，在上單調遞減.（2），，易知，要使得在內恒成立，則，所以即為極值點，，，下面驗證當時，在區(qū)間內恒成立，且關于的方程在內有唯一解.，令，，所以單調遞減，又因為，，所以存在唯一的使得，所以當時單調遞增，當時單調遞減，，又由可得，所以所以，所以恒成立，當時單調遞減，當時單調遞增，，所以存在使得在區(qū)間內恒成立，且關于的方程在內有唯一解.14.已知函數(shù)且滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】是偶函數(shù)，當時單調遞減，單調遞減，所以單調遞減，因為是偶函數(shù)，所以時單調遞增，所以.15.設函數(shù)則不等式成立的的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】C【解析】為偶函數(shù)，時單調遞減，單調遞減，所以單調遞減，由偶函數(shù)性質可知時單調遞增，所以，或.16.已知函數(shù)，則下列正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,，所以為奇函數(shù)，，令，，所以單調遞增，又因為單調遞增，所以單調遞增，所以.17.已知函數(shù)則（）A.是奇函數(shù)，且在上單調遞增B.是奇函數(shù)，且在上單調遞減C.是偶函數(shù)，且在上單調遞增D.是偶函數(shù)，且在上單調遞減【答案】C【解析】為偶函數(shù)排除AB，當時單調遞增，單調遞增，所以單調遞增，排除D.選C.18.設數(shù)列的前項和為，已知，.設，求數(shù)列的通項公式；若,求的取值范圍.【答案】（1）.（2）.【解析】（1），設，則，所以即，所以，，.（2）由（1）可知則，，，，所以.當時恒成立，即恒成立，，所以，且時成立，綜上所述.19.數(shù)列滿足證明：數(shù)列是單調遞減數(shù)列的充要條件是求的取值范圍，使數(shù)列是單調遞增數(shù)列【答案】（2）.【解析】（1）必要性：若單調遞減則對任意都成立，成立.充分性：當時，，所以單調遞減，得證.（2），再由單調遞增可知，所以，即對任意都成立，所以，即，因為，所以.下面用數(shù)學歸納法證明，當時，.當時成立，假設當時結論成立，則，.設函數(shù)，因為在上單調遞增，所以，，所以結論成立，綜上可知.20.已知對任意的正整數(shù)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】時，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以恒成立，.21.為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價，具體劃分標準如下表階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍（單位：立方米）從本市隨機抽取10戶家庭，統(tǒng)計了同一月份的月用水量如下：7，8，9，11，12，13，13，14，20，32現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學期望；用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到