重慶市南開中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

重慶市高2025屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，總共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】復(fù)數(shù)的計(jì)算得到復(fù)數(shù)，實(shí)部虛部建立等式，解得的值.【詳解】復(fù)數(shù)，因?yàn)閷?shí)部和虛部相等，所以，即．故選：B2.已知向量且，若在上的投影向量為，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】投影向量的定義得到等式，即可解出夾角.【詳解】設(shè)，由題意有，，．故選：C3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“為等比數(shù)列”是“是遞減數(shù)列”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件求出對(duì)應(yīng)的的值，由集合的包含關(guān)系，判定是否滿足充分必要條件.【詳解】是等比數(shù)列，即，是遞減數(shù)列，即，所以是充分不必要條件．故選：A.4.已知非零向量，且，函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件，且，對(duì)函數(shù)化簡，根據(jù)偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性及單調(diào)性得的不等式，求解即得.【詳解】∵是非零向量，且∴，∴函數(shù)是偶函數(shù)且開口向上，，，．故選：A.5.已知等比數(shù)列單調(diào)遞增，前項(xiàng)和為，則（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)求出公比即可得解.【詳解】在等比數(shù)列中，，又，且是遞增數(shù)列，解得，，則數(shù)列公比滿足，所以.故選：D6.已知，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明，可得，利用導(dǎo)數(shù)證明，可得，又，從而可得結(jié)論.【詳解】，令，求導(dǎo)可得，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，即，所以．故選：A.7.將正整數(shù)如圖排列，第行有個(gè)數(shù)，從1開始作如下運(yùn)動(dòng)，先從左往下碰到2，記為，再從開始從右往下碰到5，記為，接著從開始，從左往下碰到8，記為.依此類推，按左右左右往下，碰到的數(shù)分別記為，構(gòu)成數(shù)列an.則（）A.59 B.60 C.61 D.62【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知對(duì)數(shù)列用后項(xiàng)減前項(xiàng)，歸納出性質(zhì)：，，然后由計(jì)算可得．【詳解】由題意得，，，…，所以，．因此．故選：C．8.在四邊形中，點(diǎn)是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），且，則四邊形的面積為（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可求得，進(jìn)而可得，利用向量的數(shù)量積求得，求得面積.【詳解】，又四邊形是，所以，所以，所以，所以，所以為菱形．由，所以，所以角，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過向量的線性運(yùn)算與向量的數(shù)量積求得四邊形一組鄰邊的長與夾角，從而求得面積，向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積是解決向量有關(guān)問題的基礎(chǔ).二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.已知兩個(gè)復(fù)數(shù)與，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若，則與互為共軛復(fù)數(shù)B.若，則C.若，則D.若，則的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】舉反例即可求解AB，利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解CD.【詳解】A選項(xiàng)：若，，與并不互為共軌復(fù)數(shù)；A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：虛數(shù)不能比較大小；必如，，，但無法比較大小，B錯(cuò)誤，C選項(xiàng)：由于，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：設(shè)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由可知點(diǎn)的集合是以為圓心，1為半徑的圓．表示點(diǎn)到的距離，所以最大值為,D正確，故選：ABC10.設(shè)分別是的內(nèi)角的對(duì)邊，則下列條件中能確定為銳角的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】選項(xiàng)A由余弦定理可判斷；選項(xiàng)B由余弦定理可判斷；選項(xiàng)C由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可判斷；選項(xiàng)D利用三角恒等變換可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，即，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：，，，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，，，，．故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：，，，，故D錯(cuò)誤．故選：AB.11.已知數(shù)列滿足，.則下列選項(xiàng)正確的是（）A.是等比數(shù)列B.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由條件得出角標(biāo)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的等式，化簡得到，證明數(shù)列為等比數(shù)列，判斷A選項(xiàng)；根據(jù)，判斷B選項(xiàng)；求奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式，由放縮法得到結(jié)論，判斷C選項(xiàng)；求出偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消求和，判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，，又，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為23，，，所以選項(xiàng)A正確；B選項(xiàng)：，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：為奇數(shù)時(shí)，，所以；D選項(xiàng)：為偶數(shù)時(shí)，，所以．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為與，若，則_____.【答案】##0.6【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)以及等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.13.設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象由兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象．由圖可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：由題意，令得，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，又直線的圖象過定點(diǎn)，當(dāng)直線與的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，則切線的斜率為，所以切線方程為，將點(diǎn)代入得，解得，即切線的斜率為1，即，所以,由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：．14.如圖所示，四邊形內(nèi)接于圓，則四邊形的面積為_____.【答案】【解析】【分析】在延長線上取點(diǎn)，使，取AB中點(diǎn)，由已知可得MN過圓心，求得，進(jìn)而可求得梯形的高與上底，從而可求面積.【詳解】在延長線上取點(diǎn)，使，取AB中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，由，可得，所以直線MN過圓心，在中，，，所以，，所以梯形高為，，所以梯形面積為．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過向量的線性運(yùn)算與點(diǎn)共線的判斷方法，進(jìn)而求得梯形的高與上底，從而求得面積，向量的線性運(yùn)算是關(guān)鍵..四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量.（1）若，且，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值以及相應(yīng)的的值.【答案】（1）（2）的最大值為，此時(shí)．【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線滿足的坐標(biāo)關(guān)系，即可得，結(jié)合同角關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換可得，即可利用整體法求解.【小問1詳解】，，，，，，．【小問2詳解】由題意得，，，故當(dāng)時(shí)，即，取最大值，的最大值為，此時(shí)．16.新能源車性能測(cè)試，分為實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)和路面檢測(cè)兩個(gè)階段.實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)通過后才能進(jìn)入路面檢測(cè)，路面檢測(cè)合格后該車才可投入生產(chǎn)，這兩個(gè)檢測(cè)階段能否通過相互獨(dú)立.其中實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)階段.包括環(huán)節(jié)I和環(huán)節(jié)II，兩個(gè)環(huán)節(jié)都通過才能通過實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)，且這兩個(gè)環(huán)節(jié)檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立.某公司汽車研發(fā)組研發(fā)出甲、乙丙三種車型、現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行性能檢測(cè)，實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)階段中甲車通過.II環(huán)節(jié)概率分別為，乙車通過I、II環(huán)節(jié)的概率分別為，丙車通過I、II環(huán)節(jié)的概率分別為.路面測(cè)試環(huán)節(jié)中三款車通過測(cè)試的概率分別為（1）求甲、乙、丙三款車型中恰有一款車通過實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)的概率；（2）記隨機(jī)變量為甲、乙、丙三種車型通過性能測(cè)試的種數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)事件A表示甲車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試，事件B表示乙車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試，事件C表示丙車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試，求出、和，求出甲、乙、丙中恰有一款車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試的概率；（2）求出隨機(jī)變量可能的取值，分別求出概率，求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】設(shè)事件A表示甲車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試，事件B表示乙車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試，事件C表示丙車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試，則，，，則甲、乙、丙中恰有一款車通過實(shí)驗(yàn)室測(cè)試的概率為；【小問2詳解】隨機(jī)變量可能的取值為：，1，2，3，，，，，X0123P所以數(shù)學(xué)期望．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用間的關(guān)系及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）由條件求出，利用錯(cuò)位相減法求出，進(jìn)而可求的取值范圍.【小問1詳解】由，令，得，即，又，得，，又，符合上式，則，則數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．【小問2詳解】由題意得，，所以①，②，②①得，，不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，即不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，，，，．18.如圖所示，是拋物線上的一系列點(diǎn)，其中，記直線的斜率分別為.（1）證明是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記的面積為，求；（3）若.求證：.注：中，若，則面積.【答案】（1）證明見解析，（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知可得，由累加法可得的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論求得，，可求；（3）放縮法可得，可證結(jié)論.【小問1詳解】，同理，由，得，又，所以，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．【小問2詳解】由（1）可得：，令，則，同理，所以，即．【小問3詳解】所以，則所以19.已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若，且，證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使得.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合（1）分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）由（2）可知，要滿足題意，則，可得，通過構(gòu)造函數(shù)，判斷唯一性即可.【小問1詳解】①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；注意，①當(dāng)時(shí)，，時(shí)，；時(shí)，；所以有個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以有個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，若，即時(shí)，所以有個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)，所以有個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)，所以有個(gè)零點(diǎn)；綜上：①當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；【小問3詳解】由（2）可知，要滿足題意，則，此時(shí)，兩式相除得：令，，則，令，，令，所以在單調(diào)遞減