新課標(biāo)版數(shù)學(xué)必修五(A版)單元卷1高考調(diào)研精講精練

第一章章末測(cè)試卷(A)[時(shí)間：120分鐘滿分：150分]一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝eq\r(a2＋b2－2abcosC) B.eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)C．a(chǎn)sinC＝csinA D．cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2abc)答案D解析很明顯A，B，C成立；由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以D不成立．2．已知銳角△ABC的面積為3eq\r(3)，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為()A．75° B．60°C．45° D．30°答案B解析由S△ABC＝3eq\r(3)＝eq\f(1,2)×3×4sinC，得sinC＝eq\f(\r(3),2)，又角C為銳角，故C＝60°.3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，則b等于()A．76 B．2eq\r(19)C．27 D．2eq\r(7)答案B解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝2eq\r(19).4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq\r(3)，A＝30°，則B等于()A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°答案D解析由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).所以sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(4\r(3),4)sin30°＝eq\f(\r(3),2).又a<b，則A<B，所以B＝60°或120°.5．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，eq\r(a2＋ab＋b2)，則三角形的最大內(nèi)角是()A．135° B．120°C．60° D．90°答案B解析eq\r(a2＋ab＋b2)>a，eq\r(a2＋ab＋b2)>b，則長(zhǎng)為eq\r(a2＋ab＋b2)的邊所對(duì)的角最大．由余弦定理，得cosα＝eq\f(a2＋b2－（a2＋b2＋ab）,2ab)＝－eq\f(1,2)，所以三角形的最大內(nèi)角是120°.6．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c.設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)答案B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，則b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).7．在△ABC中，已知a＝2bcosC，那么△ABC的內(nèi)角B，C之間的關(guān)系是()A．B>C B．B＝CC．B<C D．關(guān)系不確定答案B8．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，則這個(gè)三角形是()A．不等邊三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．直角三角形答案B9．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形答案C10．在△ABC中，已知sinB＝1，b＝3，則此三角形()A．無解 B．只有一解C．有兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定答案D11．在△ABC中，若A<B<C，b＝10，且a＋c＝2b，C＝2A，則a與c的值分別為()A．8，10 B．10，10C．8，12 D．12，8答案C解析∵C＝2A，∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA.由正弦定理，余弦定理可得c＝2a·eq\f(100＋c2－a2,2×10c)，將a＝20－c代入上式整理，得c2－22c＋120＝0，解得c＝10(舍去)或c＝12，∴a＝8.12．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，則△ABC的面積S為()A.eq\f(\r(15),2) B.eq\r(15)C.eq\f(8\r(15),5) D．6eq\r(3)答案A解析由b2－bc－2c2＝0，b2－c2＝c2＋bc，即b－c＝c，b＝2c.cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(4c2＋c2－6,4c2)＝eq\f(7,8)，得c2＝4，c＝2，b＝4.又sinA＝eq\f(\r(15),8)，∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(15),2).故選A.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，則a＝________．答案4eq\r(2)解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝eq\f(sinA,sinB)b＝eq\f(sin30°,sin45°)×8＝4eq\r(2).14．在△ABC中，已知BC＝8，AC＝5，三角形面積為12，則cos2C＝________．答案eq\f(7,25)解析由題意得S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BC·sinC＝12，即eq\f(1,2)×8×5×sinC＝12，則sinC＝eq\f(3,5).cos2C＝1－2sin2C＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,25).15．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲樓高為________m，乙樓高為________m.答案20eq\r(3)eq\f(40\r(3),3)解析如圖所示，甲樓高為AB，乙樓高為CD，AC＝20m.則在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝20(m)，所以AB＝ACtan60°＝20eq\r(3)(m)，在△BCD中，BC＝40(m)，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，則∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以CD＝eq\f(sin∠CBD,sin∠BDC)BC＝eq\f(40\r(3),3).16．在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD＝eq\f(1,2)DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面積為3－eq\r(3)，則∠BAC＝________．答案60°解析由∠ADB＝120°，知∠ADC＝60°.又因?yàn)锳D＝2，所以S△ADC＝eq\f(1,2)AD·DCsin60°＝3－eq\r(3).所以DC＝2(eq\r(3)－1)．又因?yàn)锽D＝eq\f(1,2)DC，所以BD＝eq\r(3)－1.過A點(diǎn)作AE⊥BC于E點(diǎn)，則S△ADC＝eq\f(1,2)DC·AE＝3－eq\r(3)，所以AE＝eq\r(3).又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝eq\r(3).在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°.在直角三角形AEC中，EC＝2eq\r(3)－3，所以tan∠ACE＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a，b，c，若cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,2).(1)求A；(2)若a＝2eq\r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面積．解析(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝eq\f(1,2)，∴cos(B＋C)＝eq\f(1,2).∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝eq\f(1,2).∴cosA＝－eq\f(1,2).又∵0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3).(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA.則(2eq\r(3))2＝(b＋c)2－2bc－2bc·coseq\f(2π,3).∴12＝16－2bc－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).∴bc＝4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).18．(12分)在△ABC中，∠B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)記AB的中點(diǎn)為D，求中線CD的長(zhǎng)．解析(1)由cosC＝eq\f(2\r(5),5)，得sinC＝eq\f(\r(5),5).sinA＝sin(180°－45°－C)＝eq\f(\r(2),2)(cosC＋sinC)＝eq\f(3\r(10),10).由正弦定理，知BC＝eq\f(AC,sinB)·sinA＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))×eq\f(3\r(10),10)＝3eq\r(2).(2)AB＝eq\f(AC,sinB)·sinC＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))×eq\f(\r(5),5)＝2.BD＝eq\f(1,2)AB＝1.由余弦定理，知CD＝eq\r(BD2＋BC2－2BD·BC·cosB)＝eq\r(1＋18－2×1×3\r(2)×\f(\r(2),2))＝eq\r(13).19．(12分)在△ABC中，C－A＝eq\f(π,2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求sinA的值；(2)設(shè)AC＝eq\r(6)，求△ABC的面積．解析(1)由C－A＝eq\f(π,2)和A＋B＋C＝π，得2A＝eq\f(π,2)－B，0<A<eq\f(π,4).故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得cosA＝eq\f(\r(6),3).又由正弦定理，得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，BC＝eq\f(sinA,sinB)·AC＝3eq\r(2).所以S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)AC·BC·cosA＝3eq\r(2).20．(12分)已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)．(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若∠A是鈍角，求c的取值范圍．解析(1)方法一：∵A(3，4)，B(0，0)，∴|AB|＝5，sinB＝eq\f(4,5).當(dāng)c＝5時(shí)，|BC|＝5，|AC|＝eq\r(（5－3）2＋（0－4）2)＝2eq\r(5).根據(jù)正弦定理，得eq\f(|BC|,sinA)＝eq\f(|AC|,sinB)?sinA＝eq\f(|BC|,|AC|)·sinB＝eq\f(2\r(5),5).方法二：∵A(3，4)，B(0，0)，∴|AB|＝5.當(dāng)c＝5時(shí)，|BC|＝5，|AC|＝eq\r(（5－3）2＋（0－4）2)＝2eq\r(5).根據(jù)余弦定理，得cosA＝eq\f(|AB|2＋|AC|2－|BC|2,2|AB||AC|)＝eq\f(\r(5),5).sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(2\r(5),5).(2)已知△ABC頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，4)，B(0，0)，C(c，0)，根據(jù)余弦定理，得cosA＝eq\f(|AB|2＋|AC|2－|BC|2,2|AB||AC|).若∠A是鈍角，則cosA<0?|AB|2＋|AC|2－|BC|2<0，即52＋[(c－3)2＋42]－c2＝50－6c<0，解得c>eq\f(25,3).21．(12分)如圖，A，B，C，D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°，30°，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B，D間距離與另外兩點(diǎn)間距離哪個(gè)相等，然后求B，D間的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)．解析在△ADC中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA.在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即AB＝eq\f(A