數(shù)學(xué)學(xué)案:課堂導(dǎo)學(xué)排序不等式_第1頁
數(shù)學(xué)學(xué)案:課堂導(dǎo)學(xué)排序不等式_第2頁
數(shù)學(xué)學(xué)案:課堂導(dǎo)學(xué)排序不等式_第3頁
數(shù)學(xué)學(xué)案:課堂導(dǎo)學(xué)排序不等式_第4頁
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一,利用排序不等式中的亂序解決相關(guān)問題【例1】正實數(shù)a1,a2,…,an的任一排列為a1′,a2′,…,an′,求證:++…+≥n。證明:設(shè)a1≤a2≤…≤an,則≥≥…≥,其反序和為++…+=n,原不等式的左邊亂序和,因此有++…+≥n.溫馨提示運用排序不等式時,要特別注意每組數(shù)的大小順序.二,利用排序不等式中反序和順序解決相關(guān)問題【例2】a,b,c∈R+,求證:an(a2—bc)+bn(b2—ac)+cn(c2—ab)≥0.證明:設(shè)a≥b≥c,要證原不等式,需證an+2+bn+2+cn+2≥anbc+bnca+cnab。又an+1≥bn+1≥cn+1an+2+bn+2+cn+2≥an+1b+bn+1c+cn+1·a。又ab≥ac≥bc,an≥bn≥cnan+1b+bn+1c+cn+1a≥anbc+bnac+cnab因此,原不等式成立.溫馨提示注意在一切和數(shù)中,最大和數(shù)所對應(yīng)的情況只能是唯一一種情況,即最大和數(shù)是順序和。三,排序不等式的應(yīng)用【例3】a,b,c∈R+,求證:a+b+c≤++≤++.證明:不妨設(shè)a≥b≥c〉0,則≥≥,a2≥b2≥c2,則a2·+b2·+c2·≤++,a2·+b2·+c2·≤++,兩式相加得a+b+c≤++。又a3≥b3≥c3,≥≥〉0,∴++≥++=++,++≥++=++.兩式相加,得++≤++。即不等式成立。溫馨提示排序不等式中注意排序原理中順序和,亂序和的各種形式和條件.各個擊破類題演練1a,b,c∈R+,求證:≥a+b+c.證明:設(shè)a≥b≥c,則ab≥ac≥bc,≥≥,于是ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×=a+b+c,即≥a+b+c。變式提升1a,b,c∈R+,求證:a+b+c≤。證明:設(shè)a≥b≥c,則a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc。又a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c又a3≥b3≥c3且a≥b≥c得a3c+b3a+c3≤a4+b4+c4。所以abc(a+b+c)≤a4+b4+c4,即a+b+c≤.類題演練2a1,a2,…,an∈R+,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列。求證:a1b1—1+a2b—1+…+anbn-1≥n.證明:設(shè)a1≥a2≥…≥an,由不等式的單調(diào)性知an-1≥an-1-1≥…≥a1—1。由排序原理得a1b1-1+a2b2-1+…+anbn—1≥a1a1-1+…+anan—1=n變式提升2a1,a2,…,an為正數(shù),且b1,b2,…,bn是它的一個排列。求證:a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1pb1q+…+anpbnq(p,q為正數(shù)).證明:設(shè)a1p≥a2p≥…≥anp,a1q≥a2q≥…≥anq,由排序原理得a1p·a1q+a2p·a2q+…+anp·anq≥a1p·b1q+a2p·b2q+…+anp·bnq,即a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1p·b1q+a2p·b2q+…+anp·bnq.類題演練3已知a,b,c∈R+,求證:++≥a10+b10+c10。證明:不妨設(shè)a≥b≥c〉0,則≥≥>0,且a12≥b12≥c12〉0,∴++≥++=++≥a10+b10+c10。變式提升3設(shè)a1,a2,…,an是n個正數(shù)的一個排列,求證:+++…+≤++…+。證明:設(shè)b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的一個排列,且b1〈b2〈…<bn,c1,c2,…,cn是a1,a2,

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