數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究等差數(shù)列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究一、解讀等差數(shù)列的概念剖析：(1）在等差數(shù)列的定義中，要注意兩點(diǎn)，“從第2項(xiàng)起”及“同一個(gè)常數(shù)”．因?yàn)閿?shù)列的第1項(xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng),因此強(qiáng)調(diào)從第2項(xiàng)起，如果一個(gè)數(shù)列，不從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或從第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可以說(shuō)從第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等差數(shù)列．（2)一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差，盡管等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列可不一定是等差數(shù)列,因?yàn)檫@個(gè)常數(shù)可以不同，要注意“差是常數(shù)”和“差是同一個(gè)常數(shù)”的含義的不同,如數(shù)列2，4，5,9，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，但常數(shù)是不相同的，當(dāng)常數(shù)不同時(shí)，就不是等差數(shù)列，因此定義中“同一個(gè)常數(shù)”，這個(gè)“同一個(gè)”十分重要，切記不可丟掉．二、等差數(shù)列的性質(zhì)剖析：若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，（1）d＝0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；d〉0時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；d<0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列．（2)d＝eq\f(an－a1,n－1）＝eq\f（am－ak,m－k)（m,n，k∈N+)．(3)an＝am＋(n－m）d(n,m∈N+）．（4)若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N+),則am＋an＝ap＋aq．（5）若eq\f（m＋n,2)＝k，則am＋an＝2ak．(6)若數(shù)列{an｝是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，且等于首末兩項(xiàng)之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai+1＋an－i＝…．（7）數(shù)列｛λan＋b｝(λ，b是常數(shù)）是公差為λd的等差數(shù)列．(8）下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak,ak+m,ak+2m,…(k，m∈N+）組成公差為md的等差數(shù)列．(9）若數(shù)列｛bn}也為等差數(shù)列，則｛an±bn｝,｛kan＋b}(k，b為非零常數(shù)）也成等差數(shù)列．（10)若｛an｝是等差數(shù)列，則a1，a3，a5，…仍成等差數(shù)列．（11)若{an}是等差數(shù)列，則a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9,…仍成等差數(shù)列．名師點(diǎn)撥：用性質(zhì)(4)時(shí)要注意，序號(hào)的和相等，但項(xiàng)數(shù)不同,此結(jié)論不一定正確，如a8＝a2＋a6，a1＋a3＋a4＝a2＋a6，就不一定正確．三、教材中的“?”(1）通項(xiàng)公式為an＝an－b（a,b是常數(shù)）的數(shù)列都是等差數(shù)列嗎?剖析：通項(xiàng)公式為an＝an－b（a，b為常數(shù))的數(shù)列都是等差數(shù)列，其公差為a．(2)怎么證明A＝eq\f(x＋y，2）？剖析：∵x，A，y成等差數(shù)列，∴A－x＝y(tǒng)－A,即2A＝x＋y．∴A＝eq\f(x＋y，2)．(3）要確定一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要知道幾個(gè)獨(dú)立的條件？剖析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式中涉及首項(xiàng)a1與公差d，所以要確定一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要知道兩個(gè)獨(dú)立的條件．題型一等差數(shù)列定義的應(yīng)用【例1】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列．（1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n．分析：利用等差數(shù)列的定義,即判斷an+1－an(n∈N＋)是否為同一個(gè)常數(shù)．解：(1）an+1－an＝3（n＋1）＋2－(3n＋2)＝3（n∈N+）．由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列．(2)an+1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－(n2＋n）＝2n＋2，不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列．反思：利用定義法判斷等差數(shù)列時(shí)，關(guān)鍵是看an＋1－an得到的結(jié)果是否是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，則不是等差數(shù)列．題型二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用【例2】已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為18，前三項(xiàng)的乘積為66,求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式,并判斷－34是數(shù)列｛an}的項(xiàng)嗎？分析：由數(shù)列前三項(xiàng)和為18，前三項(xiàng)積為66，列出關(guān)于a1和d的方程組,通過(guò)解方程組求得a1和d，由遞減等差數(shù)列的條件確定方程組的解即可求出an；由an＝－34求n,然后由n∈N+可判斷．解：由題意設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則即得或又由該數(shù)列為遞減數(shù)列，∴d＝5時(shí)不合題意，故該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1＋（n－1）d＝11－5（n－1）＝－5n＋16．且－34是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)，為第10項(xiàng)．【互動(dòng)探究】若將本例中的“遞減等差數(shù)列"改為“遞增等差數(shù)列”，其余條件不變，如何求解?答案:an＝5n－4，－34不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例3】已知等差數(shù)列｛an｝中，a2＋a6＋a10＝1,求a3＋a9．分析：既可以用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a2＋a10＝a3＋a9＝2a6,也可以由通項(xiàng)公式得a1與d間的關(guān)系再求解．解：方法一：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得a2＋a10＝a3＋a9＝2a6．由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1,解得a6＝eq\f(1，3)．∴a3＋a9＝2a6＝eq\f(2，3)．方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得a2＋a6＋a10＝（a1＋d)＋(a1＋5d）＋（a1＋9d)＝3a1＋15d．由題意知3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq\f(1,3)．∴a3＋a9＝2a1＋10d＝2(a1＋5d）＝eq\f（2，3）．反思：方法一運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì):若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋an＝ap＋aq＝2aw（m，n,p，q，w都是正整數(shù)）；方法二利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項(xiàng)與公差的結(jié)構(gòu)完成運(yùn)算,屬于通法．兩種方法都運(yùn)用了整體代換及方程的思想．【例4】已知等差數(shù)列｛an｝中，a49＝80,a59＝100，求a79的值．分析：（1)采用基本量法求解;（2）靈活運(yùn)用性質(zhì)求解．解：解法1：設(shè)公差為d,則解得∴a79＝a1＋78d＝－16＋78×2＝140．解法2:∵ap＝aq＋(p－q）d，∴d＝eq\f(a59－a49,59－49)＝eq\f(100－80,10）＝eq\f(20,10）＝2．∴a79＝a59＋（79－59）×d＝100＋20×2＝140．解法3：∵a49，a59,a69,a79，…成等差數(shù)列，∴a79＝a49＋（4－1）(a59－a49)＝80＋3×20＝140．反思：用通項(xiàng)公式解答等差數(shù)列問(wèn)題的基本方法主要是:（1)采用基本量法，即解得數(shù)列的首項(xiàng)a1，公差d，運(yùn)用通項(xiàng)公式解決問(wèn)題；(2）靈活運(yùn)用性質(zhì)，這是簡(jiǎn)化等差數(shù)列運(yùn)算的有效手段．題型四構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)公式【例5】（1）數(shù)列｛an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足an＋1＝an＋2eq\r(an）＋1，a1＝1，求an;（2）在數(shù)列｛an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝eq\f(2an,an＋2），求an．分析：利用題中所給關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造等差數(shù)列,利用所構(gòu)造的等差數(shù)列求an．解：（1）由an+1＝an＋2eq\r（an）＋1,可得an+1＝（eq\r(an)＋1）2．∵an>0,∴eq\r(an＋1）＝eq\r(an)＋1，即eq\r（an＋1)－eq\r(an)＝1．∴｛eq\r(an）｝是首項(xiàng)為eq\r(a1)＝1,公差為1的等差數(shù)列．∴eq\r（an)＝1＋(n－1)＝n．∴an＝n2．（2）由an+1＝eq\f(2an，an＋2）,可得eq\f（1,an＋1)＝eq\f（1，an)＋eq\f(1，2)，∴eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f(1,an）)）是首項(xiàng)為eq\f（1，a1)＝1，公差為eq\f(1,2）的等差數(shù)列．∴eq\f（1，an）＝1＋eq\f(1,2)（n－1)＝eq\f(n＋1,2）．∴an＝eq\f(2，n＋1)．反思：應(yīng)熟記幾種輔助數(shù)列構(gòu)造方法及其對(duì)應(yīng)數(shù)列的結(jié)構(gòu)形式．構(gòu)造等差數(shù)列的方法一般有：平方法、開(kāi)平方法、倒數(shù)法等．題型五易錯(cuò)辨析【例6】已知b是a，c的等差中項(xiàng)，且lg(a＋1），lg（b－1)，lg(c－1）成等差數(shù)列，同時(shí)a＋b＋c＝15，求a,b,c的值．錯(cuò)解：因?yàn)閎是a，c的等差中項(xiàng)，所以2b＝a＋c．又因?yàn)閍＋b＋c＝15，所以3b＝15，所以b＝5．設(shè)a，b，c的公差為d，則a＝5－d，c＝5＋d．由題可知2lg（b－1）＝lg(a＋1）＋lg(c－1），所以2lg4＝lg(5－d＋1）＋lg(5＋d－1）．所以16＝25－（d－1）2．所以（d－1）2＝9，即d－1＝3．所以d＝4,所以a,b，c分別為1，5，9．錯(cuò)因分析：解方程(d－1）2＝9時(shí)，d－1應(yīng)取±3兩個(gè)．而錯(cuò)解只取d－1＝3，漏掉了d－1＝－3的情況．正解：因?yàn)閎是a,c的等差中項(xiàng)，所以2b＝a＋c．又因?yàn)閍＋b＋c＝15,所以3b＝15．所以b＝5．設(shè)a，b,c的公差為d,則a＝5－d,c＝5＋d．由題可知2lg(b－1)＝lg（a＋1）＋lg(c－1)，所以2lg4＝lg（5－d＋1）＋lg(5＋d－1）．所以16＝25－（d－1）2,即（d－1)2＝9．所以d－1＝±3，即d＝4或d＝－2．所以a，b，c三個(gè)數(shù)分別為1，5，9或7，5，3．【例7】已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5，8,11，…與｛bn}:3，7，11，…,它們的項(xiàng)數(shù)均為100，則它們有多少個(gè)彼此具有相同數(shù)值的項(xiàng)？錯(cuò)解：由已知兩等差數(shù)列的前3項(xiàng),容易求得它們的通項(xiàng)公式分別為an＝3n＋2，bn＝4n－1（1≤n≤100）．令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，即n＝3．所以?xún)蓴?shù)列只有1個(gè)數(shù)值相同的項(xiàng)，即第3項(xiàng)．錯(cuò)因分析：本題中所說(shuō)的數(shù)值相同的項(xiàng),它們的項(xiàng)的序號(hào)并不一定相同．例如23在數(shù)列｛an｝中是第7項(xiàng)，而在數(shù)列｛