2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓中的重要模型-圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型（含答案）

2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)圓中的重要模型-圓中的外接圓和內(nèi)切

圓模型

圓中的重要模型一一圓中的內(nèi)切圓和外接圓模型

模型1、內(nèi)切圓模型

【模型解讀】

內(nèi)切圓:平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓,這時(shí)稱這個(gè)多

邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。

三角形內(nèi)切圓圓心:在三角形中,三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相

等。正多邊形必然有內(nèi)切圓,而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。

【常見模型及結(jié)論】

1）三角形的內(nèi)切圓模型

條件:如圖1,。。為三角形ABC的內(nèi)切圓（即。為三角形ABC的內(nèi)心），。。的半徑為

結(jié)論:①點(diǎn)。到三角形ABC的三邊距離相等;②ZBOC=90°+4/氏4。；③r=等叱。

2CAABC

2）直角三角形的內(nèi)切圓模型

條件:如圖2,O。為7?於43。的內(nèi)切圓（即。為三角形ABC的內(nèi)心），0O的半徑為

結(jié)論:①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等;②NBOC=90°+]/歷1。；③r=4°+.f；

3）四邊形的內(nèi)切圓模型

條件:如圖3,?O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。

結(jié)論：AB+CD=AD+BCo

題]（2023?黑龍江雞西??？既＃┤鐖D，在&ABC中，/A=80°,半徑為3cm的OO是&ABC的內(nèi)切圓，連

接OBOC,分別交◎。于。，E兩點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為.（結(jié)果用含乃的式子表示）

吼2（2022秋?安徽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，=過點(diǎn)B作BD,AC于點(diǎn)。，P是

△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且ZBPC=108°,連接CP交BD于點(diǎn)H,若點(diǎn)P恰好為L(zhǎng)ABE內(nèi)心，則/PEB的度數(shù)為

（）

B

A.36°B.48°C.60°D.72°

題3（2023我??河南源河?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，。。是AABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。,E,F,且/A=90°,

BC=5,CA=4,則。。的半徑是.

吼￡（2023我?遼寧朗蘆島?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)。是△AB。的內(nèi)心，ZA=60°,OB=3,OC=6,BC=

3V7,則。O的半徑為.

的5（2023?江蘇南京?九年級(jí)校聯(lián)考階雙練習(xí)）如圖，AB.BC、CD、D4都是。。的切線.若AO=3,口。=

6,則+。。的值是.

四6（2023?成鄢市九年A1期中）如圖，。。是△48。的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，4B=18cm,BC=20cm,

人。=12?11,的7切。0交48于河,交收7于乂則4助斯的周長(zhǎng)為（）

?M

A

E

M

ND

A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm

血］7（2023?四川宜賓?九年級(jí)專慝練習(xí)）如圖,在直角坐標(biāo)系中，一直線I經(jīng)過點(diǎn)”（遍，1）與2軸、沙軸分別交

于4B兩點(diǎn)，且=可求得△AB。的內(nèi)切圓。Oi的半徑發(fā)產(chǎn)，^一1；若。。2與。。1、八"軸分

別相切，。&與。。2、，、U軸分別相切，…,按此規(guī)律，則0O2014的半徑72014=.

網(wǎng)］8（2023?廣東東莞?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在內(nèi)切圓半徑為1的直角三角形ABC中，/C=90°,/B=30°,

內(nèi)切圓與BC邊切于點(diǎn)。，則4到。的距離AD=（）

A.V4+2V3B.V3+3V3C.V3+4V3D.V5+2V3

模型2、多邊形的外接圓模型

【模型解讀】

外接圓，與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對(duì)一個(gè)凸多邊形來說的，如三角形，若一

個(gè)圓恰好過三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓,此時(shí)圓正好把三角形包圍。

三角形外接圓圓心:即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）。

【常見模型及結(jié)論】

1）三角形的外接圓模型

條件:如圖1,。。為三角形ABC的外接圓（即。為三角形48。的外心）。

結(jié)論:①0A=OB=OC；②ZBOC=22BAC。

A

AD

2）等邊三角形的外接圓模型

條件:如圖2,點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)。

結(jié)論:①NBPC=120°,PM平分NBPC；②PA=PB+PC；③需=W1；

Jr.1V1JrD1O

3）四邊形的外接圓模型

條件:如圖3,四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形。

結(jié)論:①ZABC+ZADC=180°；/BAD+/DCS=180°；②/。AB=ZDCE.

題］（2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，/A=80°,點(diǎn)M是△ABC的外心，點(diǎn)N是AABC的內(nèi)心，連

接BW,CM,BN,CW,則/BMC與乙BNC的差為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

網(wǎng)］2（2023秋?河北邢臺(tái)?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)O,1分別是銳角△ABC的外心、內(nèi)心，若/A4C=

8AOAC=48°,則ABCI的度數(shù)為.

回色（2023?湖北武漢?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于。O,AB=AC=4西，BC=8,則。。的

半徑為.

四4（2022春?江蘇?九年級(jí)期末）△ABC中，AB=AC=13,24,點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)。是&ABC的

外心，則OI=.

畫亙（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，在△48。中，60°,以AB為直徑的半圓。分別交AC,BC于點(diǎn)O,

E,已知OO的半徑為，（1）求證：△CDE?△CR4；（2）求DE的長(zhǎng).?M

C

D,

分析（1）由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角知/CED=乙4（或ACDE=/B）,又有ZC=故

△CDE?△CR4；（2）連接AE.由（1）中△CDE?/XCBA得。E：BA=CE：C4,由于直徑對(duì)的圓周角是

直角，有/人破=/人￡。=90°；在五方44￡；。中，有/。=60°,/CAE=30°.則DE：BA=CE：CA=1：

2,即DE=四.

解答（1）證明：???四邊形ABED為OO的內(nèi)接四邊形，

ZCED=/人（或ACDE=/B）；又/C=/C,/\CDE?△CB4

⑵解:連接4B.

由⑴得△CDE?△CRA,.?.￡)￡；：BA=CE：CA,

?：AB為。O的直徑，,AAEB=NAEC=90°.

在Rt^AEC中，/C=60°,NCAE=30°；

:.DE：BA=CE：CA=1：2,即。E=6.

點(diǎn)評(píng)本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)的綜合應(yīng)用能力.

四6（2023湖北省荊門市九年級(jí)上期中）如圖，A、P、B、C是。。上的四個(gè)點(diǎn),AAPC=ACPB=60°.

（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）探究P4、P5、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

血］7（2023廣東中考模擬）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn).（1）求/BP。的度數(shù)；（2）求

證：P4=PB+PC；（3）設(shè)交于點(diǎn)河，若AB=4,PC=2,求CM的長(zhǎng)度.

〔課后專項(xiàng)訓(xùn)練〕

邂自兀（2023?湖北懸誨九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓。。與AB,BC,CA分別相切于點(diǎn)D,

后，尸,且4。=8。=2,￡。=3,則448。的周長(zhǎng)為（）

A.10B.10C.14D.16

遒目且（2023春?湖北九年*1漂時(shí)練習(xí)）己知△ABC的內(nèi)切圓。。的半徑為收■，且/BOC=120°,ZVIB。

的周長(zhǎng)為16,則BC的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

（題目⑶（2023?河北石家莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將ZVLBC折疊,使AC邊落在AB邊上,展開后得到折痕

AD.將△AB。再次折疊，使邊落在BA邊上，展開后得到折痕AD交于點(diǎn)O.則以下結(jié)論

A.40=20。B.S2AB（廣S四邊形00無

C.點(diǎn)。到△4BC三邊的距離相等D.點(diǎn)。到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

［題目回（2022春?綿陽市九年稅樂時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是AABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△AB。的外接圓相

交于點(diǎn)。，連接BD,CE,若/CBD=32°,則/BEC的大小為（）

C.122°D.128°

〔題目〔5〕（2023?山西太原?校考模擬fit測(cè)）如圖，⑷。截^ABC的三條邊所得的弦長(zhǎng)相等，若=8。",則

/BOC的度數(shù)為（）

?M

A

C.130°D.115°

［題目|6］（2023?河北邢臺(tái)?九年級(jí)校才階段練習(xí)）如圖，在4ABC中，點(diǎn)/為AABC的內(nèi)心，點(diǎn)。在BC邊上,

且若乙4BC=50°,/。=58°,則/4TO的度數(shù)為（）

A.176°B.174°C.172°D.170°

超耳00（2023春?湖北九年級(jí)期中）點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，若/B/C=115°,則乙4的度數(shù)為（）

A.50°B.57.5°C.122.5°D.50°或130°

題目回（2023?會(huì)慶九年級(jí)期中）已知三角形三邊長(zhǎng)分別為5cm、5cm、6cm,則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是

（）

93

A.-cmB.--cmC.2cmD.3cm

82

遒互回（2023?廣東廣州?穌考中考真題）如圖，△48。的內(nèi)切圓。/與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)。，E,F,

若。/的半徑為r,=a，則（BF+CE—BC）的值和/FDE的大小分別為（）

A.2r,90°-?B.0,90°C.2r,90°-yD.0,90°-y

Wt①（2023?山東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)/為的4ABC內(nèi)心，連接41并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于點(diǎn)

。，若A/=2CD,點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接若/。=6,第=5,則由的長(zhǎng)為（）

?M

A

C.4D.3.5

［題目|11］（2022秋?浙江寧波?九年級(jí)統(tǒng)考?期末）如圖，點(diǎn)/為AABC的內(nèi)心，連接4/并延長(zhǎng)交4ABC的外接

圓于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E,若Af=2CD,則普■的值為（）

L/D

8*

A.5B.6C.7D.8

［題目］12）（2022秋?湖北武漢?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在。。中，陽=念，BC=6,4C=3V10.I是

△ABC的內(nèi)心，則線段O/的值為（)

B.5-V10C.V10—3D.i710

O

題（2022春?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)。是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心.若/A=

80°,則的度數(shù)是（）

A.60°B.65C.70°D.75°

崩2（2023?江蘇九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）己知等腰直角三角形外接圓半徑為5,則內(nèi)切圓半徑為

A.5V2+5B.12V2-5C.5V2-5D.10V2-10

題目口可（2023?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)。是△4BC外接圓的圓心,點(diǎn)/是△48。的內(nèi)心，連接

OB,IA.若/G4/=35°,則/OBC的度數(shù)為（）

A.15°B.17.5°C.20°D.25°

題目①（2023?山東九年級(jí)月號(hào)）如圖，。。是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為點(diǎn)。、E、F,設(shè)4ABC的面積、

周長(zhǎng)分別為S.l,QO的半徑為r,則下列等式:①AAED+NBFE+&JDF=180°；②S=；③

2/即?=乙4+/。；@2（人。+改+跳;）=%,其中成立的是（填序號(hào)）

題目H⑵儂?四川綿陽?統(tǒng)考二＜）如圖，在△48。中，/A4C=60°,其周長(zhǎng)為20,。/是△48。的內(nèi)切

圓，其半徑為血，則△B/O的外接圓直徑為.

趣目回（2023?廣東?九年級(jí)專題練習(xí)）已知，點(diǎn)。為△48。的外心，點(diǎn)/為/\ABC的內(nèi)心.

（1）若2BIC=115°,則NBOC=；（2）若ABOC=140°,則NBIC=.

題目回（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4cm,E是8邊的中點(diǎn).將該正方形沿

BE折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)。'處.OO分別與AB,AD,8。相切，切點(diǎn)分別為F,G,H,則O。的半徑為

cm.

???

趣1Ho（2022機(jī)江蘇鹽城?九年虢統(tǒng)考知中）如圖，/是△ABC的內(nèi)心，人/的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于

點(diǎn)D

⑴求證：/氏4O=/CB。；⑵求證：BD=ZD；⑶連接B/、C7,求證:點(diǎn)。是△BZC的外心.

題目巨］（2023浙江年it上期中）我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以

稱為圓的外切三角形.如圖1,O。與△ABC的三邊AC分別相切于點(diǎn)。，區(qū)F,則△ABC叫做。

。的外切三角形.以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形.如圖2,。。與四邊形ABCD

的邊AB,BC,CD,DA分別相切于點(diǎn)E,F,G,H,則四邊形ABCD叫做?O的外切四邊形.

（1）如圖2,試探究圓外切四邊形ABCD的兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系,猜想：AB+CD一

AD+（橫線上填“"V”或“=”）；（2）利用圖2證明你的猜想（寫出已知,求證,證明過程）；

（3）用文字?jǐn)⑹錾厦孀C明的結(jié)論:；

（4）若圓外切四邊形的周長(zhǎng)為32,相鄰的三條邊的比為2:5:6,求此四邊形各邊的長(zhǎng).

［題目〔22］（2023?福堡泉州?統(tǒng)考二#）如圖，在△ABC中，點(diǎn)/是4ABC的內(nèi)心.

?M

A

（1）求作過點(diǎn)［且平行于BC的直線，與AB,47分別相交于點(diǎn)。，E（要求:尺規(guī)作圖,不寫作法，保留作圖

痕跡）；⑵若4B=6,人。=8,。g=卷，求BC的長(zhǎng).

O

題目區(qū)］（2023?山東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在電△48。中，/。=90°,4。=3,3。=4

⑴求/B04.⑵求△ABC內(nèi)切圓半徑.

k

cEA

［題目||24）（2023卷?廣東廣州?九隼新?？茧A段練習(xí)）如圖，在4ABC中，AC=BC,以BC為直徑的半圓。交

AB于點(diǎn)D.（1）尺規(guī)作圖:過點(diǎn)。作半圓O的切線，交AC于點(diǎn)E；

（2）求證：乙ACB=2乙ADE；（3）若_DE=3,AE=代,求半圓。的半徑長(zhǎng).

?M

A

（1）閱讀理解:①如圖A,在所在平面上存在一點(diǎn)P,若它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱

點(diǎn)P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn),此時(shí)PA+PB+PC的值為&ABC的費(fèi)馬距離.②如圖B,若四邊形ABCD的

四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則有48?8+3。?。人=4。?5。,此為托勒密定理.

知識(shí)遷移:①請(qǐng)你利用托勒密定理解決如下問題:如圖。，己知點(diǎn)P為等邊外接圓的團(tuán)上任意一

點(diǎn).求證：PB+P。=R4；②根據(jù)（2）①的結(jié)論,我們有如下探尋△AB。（其中/A4G/ABC,乙4cB均

小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

第一步:如圖。，在△ABC的外部以BC為一邊作等邊"CD及其外接圓；

第二步：在BC上任取一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC,PD.易知PA+P'B+P'C=P'A+（P'B+PC）=P

A+；

第三步:請(qǐng)你根據(jù)（1）①中定義，在圖。中找出△力BC的費(fèi)馬點(diǎn)P,則線段的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)

馬距離.

（2）知識(shí)應(yīng)用:今年以來某市持續(xù)干旱，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難的問題，為解決老百姓的飲水問題，

解放軍某部來到該市某地打井取水.己知三村莊4B、。構(gòu)成了如圖E所示的△ABC（其中乙4、/B、

,均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井,使從水井P到三村莊A、B、。所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小,求輸

水管總長(zhǎng)度的最小值.

［題目③］（2023江蘇拉城九年級(jí)月考）探究題

（1）知識(shí)儲(chǔ)備:①如圖1,已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧8。上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=P4.

②定義:在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱點(diǎn)P為△48。的費(fèi)

馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離.

⑵知識(shí)遷移:我們有如下探尋△ABC（其中ZA,ZB,/C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法:如圖

2,在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊讖。。及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段的長(zhǎng)度即

12

為△ABC的費(fèi)馬距離.

（3）知識(shí)應(yīng)用:①如圖3所示的ZVLB。（其中/A、NB、均小于120°），AB=3,BC=4,/ABC=30°,現(xiàn)

取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A、B、。三點(diǎn)的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個(gè)村莊A、B、。構(gòu)成以△ABC,其中AC=6km,BC=4〃^km,/C=90°.現(xiàn)選取一點(diǎn)P打

水井，使P點(diǎn)到三個(gè)村莊A、B、。鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，畫出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的位置，輸水管總長(zhǎng)度的最

小值為.（直接寫結(jié)果）

圓中的重要模型一一圓中的內(nèi)切圓和外接圓模型

模型1、內(nèi)切圓模型

【模型解讀】

內(nèi)切圓;平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓,這時(shí)稱這個(gè)多

邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。

三角形內(nèi)切圓圓心:在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相

等。正多邊形必然有內(nèi)切圓,而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。

【常見模型及結(jié)論】

1）三角形的內(nèi)切圓模型

條件:如圖1,。。為三角形ABC的內(nèi)切圓（即。為三角形ABC的內(nèi)心），。。的半徑為

結(jié)論:①點(diǎn)。到三角形4BC的三邊距離相等;②ZBOC=90°③r=等理。

2CAABC

2）直角三角形的內(nèi)切圓模型

條件:如圖2,O。為7?於43。的內(nèi)切圓（即。為三角形ABC的內(nèi)心），0O的半徑為

結(jié)論:①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等;②NBOC=90°+]/歷1C；③r=4°+.f；

3）四邊形的內(nèi)切圓模型

條件:如圖3,?O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。

結(jié)論：AB+CD=AD+BCo

題]（2023?黑龍江瓏西?校考?三模）如圖，在4ABC中，/A=80°,半徑為3cm的OO是△48。的內(nèi)切圓，連

接分別交。。于DE兩點(diǎn)，則須的長(zhǎng)為.（結(jié)果用含乃的式子表示）

【答案】-詈

【分析】根據(jù)內(nèi)切圓圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，得到/OOE的大小，然后用弧長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】???內(nèi)切圓圓心是三條角平分線的交點(diǎn)，

??.AABO=ZCBO;AACO=ABCO設(shè)AABO=ACBO=a,AACO=ABCO=B，

在△ABC中：乙4+2a+20=180°①，在△BOC中：/Z?OE+a+6=180°②，

由①②得：2DOE=90°+yZA=90°+￡x80°=130°,

%泳=鬻x兀、3=號(hào)兄故答案為：得兀.

口口18066

【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)心的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)；解題關(guān)鍵是根據(jù)角平分線算出ZDOE的度數(shù).

的2(2022秋?安徽?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在△ABC中，AB=BC,過點(diǎn)B作BO，AC于點(diǎn)D,P是

△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2BPC=108°,連接CP交BD于點(diǎn)E,若點(diǎn)P恰好為4ABE內(nèi)心，則/PEB的度數(shù)為

()

A.36°B.48°C.60°D.72°

【答案】。

【分析】根據(jù)內(nèi)心定義可知PB,PE,P4分別是乙4BE,NAEB,乙民4E的角平分線，推導(dǎo)出NBAE=

36°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得NABE=ACBE,由全等三角形的判定及其性質(zhì)可得△4BE*

△CBE(SAS),/BCE=NBAE=36°，繼而可得4cBp=36°,ACBE=24°,進(jìn)而即可求解.

【詳解】?.?點(diǎn)P恰好為4ABE內(nèi)心，

PB,PE,PA分別是AABE,NAEB,NBAE的角平分線,

：.APBE+APEB+NPAE=90°,

又4BPC=108°,AAPBE+NPEB=72°,AAPAE=18°，,NBAE=36°,

?.?AB=BC,BD_LA。于點(diǎn)。，二點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，ZABE=ZCBE,

入BE=BE,AB=CB,：./XABE言△CBE(SAS)4BCE=NBAE=36°,

又4BPC=108°,/.ZGBP=180°-108°-36°=36°,

又2CBE=2ABE=22PBE,：.NCBE=24°,

：.4PEB=ABCE+ZCBE=60°，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)心的定義及其性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn).

廁3(2023秋?河南源河?九年級(jí)穌才朝末)如圖，⑷。是4ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為O,E,F,且/A=90°,

BC=5,CA=4,則。。的半徑是.

?M

A

F,D

/1*O]\

/--—'B

【答案】1

【分析】先根據(jù)勾股定理求出48=3,由切線長(zhǎng)定理得BD=BE,AD=AF,CF=CE,設(shè)。。=OF=

=則CF=CE=4—2；,m=跳；=3—2：,然后根據(jù)?！?跳；=5,求解即可.

【詳解】解:在Rt^ABC中，；ZA=90°,BC=5,CA=4,,AB=VBC2-AC2=3,

?：QO為Rt^ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為。，E,F,

:.BD=BE,AD=AF,CF=CE,如圖，連接OD,OF,

?：QO為RtAABC的內(nèi)切圓，r.OD_LAB,OF±AC,OD=OF,

：.AODA=/A=AOFA=90°,四邊形ADOF是正方形，

設(shè)。。=OF=AF=AD=a;,則CF=CE=4-5BD=BE=3—x,

???CE+BE=5,.?.4-2+3—/=5,.?.2=：!,則OO的半徑為1.故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是熟練掌握切線長(zhǎng)定理.

吼￡（2023秋■?遼寧葫蘆島?九年級(jí)*1*期末）如圖，點(diǎn)。是△48。的內(nèi)心，/A=60°,OB=3,OC=6,BC=

3V7,則。。的半徑為.

【答案】畔I

【分析】過。作交BC于E,設(shè)BE=2,在Rt^OBE和Rt^OCE中，運(yùn)用勾股定理即可解答;

【詳解】過。作交BC于E,設(shè)BE=，

?M

A

?.?點(diǎn)。是△ABC的內(nèi)心，08=3,OC=6,BC=3。

在Rt/^OBE中，由勾股定理可得：32=x2+r2在Rt^OCE中，由勾股定理可得：r2+（377-x）2=62

故32-X2+（3A/7-工y=36解得x=耳N故r=存7==吧L故答案為考L

【點(diǎn)睛】該題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，圓的基本性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是掌握該部分知識(shí)點(diǎn).

四5（2023?江蘇南京?九年級(jí)校戚考階段練習(xí)）如圖，AB.BC、CD、DA都是OO的切線.若AD=3,BC=

6,則AB+CD的值是.

【答案】9

【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得4尸=4區(qū)跳；=_5〃,。5=。7,。3=。干，由此即可解決問題.

【詳解】???AB.BC、CD、DA都是G）O的切線，.?.可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F,

：.AF=AE,BE=BH,CH=CG,DG=DF,

：.AD+BC=AF+DF+BH+CH=AE+BE+DG+CG=AB+CD,

AD=3,BC=6,AB+CD=AD+BC=3+6=9,故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

題6（2023?成鄢市九年級(jí)期中）如圖，。。是△48。的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，4B=18cm,BC=20cm,

4。=1231,的7切。。交48于河,交口。于乂則4囪郎的周長(zhǎng)為（）

?M

A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm

【答案】。

【分析】利用切線長(zhǎng)定理得到等邊，再利用給出的三條邊長(zhǎng),設(shè)未知數(shù)列方程組，計(jì)算出邊長(zhǎng)，再利用等邊

換邊得到4BMN的周長(zhǎng).

【詳解】是△ABC的內(nèi)切圓是OO的切線，

又?.?MV切。。于點(diǎn)K,.?.AF=MK、AE=AF\CE=CD、ND=NK、BF=BD,

：.ABTW的周長(zhǎng)為：BM+MN+BN=BM+MK+NK+BN=(BM+MF)+(BN+ND)=BF+BD

設(shè)AE=AF=a,BF=BD=b,CE=CD=c,

則AB=18=6+a>BC=20=b+c、AC=12=a+c,

(a=5

解得(b=13,ABMN的周長(zhǎng)為：BF+BD=2b=26cm.故選D.

[c=7

【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理及邊長(zhǎng)的計(jì)算，需要理清目標(biāo)和條件，正確且有條理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

血]7(2023?四川宜賓?九年級(jí)專慝練習(xí))如圖,在直角坐標(biāo)系中，一直線I經(jīng)過點(diǎn)”(遍，1)與2軸、沙軸分別交

于4B兩點(diǎn)，且=可求得△AB。的內(nèi)切圓。Q的半徑r產(chǎn)遍一1；若。。2與。Q、八"軸分

別相切，。。3與。。2、，、U軸分別相切，…,按此規(guī)律，則0O2014的半徑72014=.

【分析】連接OOi、AOi、BOi,作Q_D，OB于。，Oi后，48于況。1?，。4于F,將三角形48。分

解成三個(gè)三角形，再根據(jù)三個(gè)三角形的面積之和等于△ABO的面積，即可得出半徑的值,再根據(jù)題意依次

???

列出。。2,0。3…的半徑大小，找出規(guī)律即可.

【詳解】連接。。1、AOi、BQ,作OiDLOB于。，Q后，48于七，。1FLQ4于F,如圖所示:

貝"OiD=OiE=OiF=rx,

???M是AB的中點(diǎn)，???8(0,2),A(2V3,0),則S^OO1B=yxOBx@=n,

22

^^AOIO~萬xAOxT\—V5rl^^AOIB~gx4石xn——x^/24-(2A/3)XT1—2%SMOB=萬X2

x2V3=2V3

SAAOB=S^OOIR+Saaoio+S^AO1B—(3+V3)T,I=2A/3ry

日工田省V3—1A/3-1.A/3—1

同理仔：,2二—o-，,3=-----o一

依此類推可得：。。刈4的半徑/2014=?^故答案為凈甘

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓、勾股定理、規(guī)律型，解此類題目時(shí)要根據(jù)題意列出等式，適當(dāng)?shù)貙?duì)

圖形進(jìn)行分解，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

血］8（20237*東東莞?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在內(nèi)切圓半徑為1的直角三角形ABC中，/。=90°,=30°,

內(nèi)切圓與BC邊切于點(diǎn)。，則A到。的距離AD=（）

C.V3+4V3D.V5+2V3

【答案】。

【分析】取內(nèi)切圓的圓心O,連接圓心與切點(diǎn)，由/。=90°,/B=30°可得ABAC=60°,再根據(jù)內(nèi)切圓的

圓心的是三角形三■條角平分線的交點(diǎn)，可知/OAE=30°,從而得到46；=同，CE=1,CD=1,再用勾

股定理即可求解.

【詳解】解：取內(nèi)切圓的圓心。，與AC,AB的切點(diǎn)E、F,連接OD、OE、OF.

?：ZC=90°,ZB=30°,/.ABAC=60°,

內(nèi)切圓的圓心的是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，/OAB=：/A4C=30°

又；OH=1,OE_LAC（切線的性質(zhì)），,AE=血，

-：OE±AC,OD工BC,ZC=90°,/.四邊形CDOE是矩形，?M

又；OD=OE,；.四邊形CDOE是正方形，；.CE=CD=OE=1,：.AC^AE+CE^V3+1,

在Rt^ACD中，/。=90°,/.AC2+CDi=AD2,

：.AD=VAC2+CO2=V（V3+1）2+12=V5+2V3,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意正確畫

出的輔助線是解題的關(guān)鍵.

模型2、多邊形的外接圓模型

【模型解讀】

外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對(duì)一個(gè)凸多邊形來說的，如三角形，若一

個(gè)圓恰好過三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓,此時(shí)圓正好把三角形包圍。

三角形外接圓圓心:即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）。

【常見模型及結(jié)論】

1）三角形的外接圓模型

條件:如圖1,。。為三角形ABC的外接圓（即。為三角形ABC的外心）-

結(jié)論：①。4=OB=。。；②ABOC=22BAC。

2）等邊三角形的外接圓模型

條件:如圖2,點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧上一點(diǎn)。

結(jié)論:①/BP。=120°,P河平分/BP。；②PA=PB+P。；③京=金+1；

iJVLJrJD1O

3）四邊形的外接圓模型

條件:如圖3,四邊形48c。是③。的內(nèi)接四邊形。

結(jié)論:①ZABC+AADC=180°；/BAD+ZDGB=180°；②/。AB=ADCE.

刷I（2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）△ABO中，/A=80°,點(diǎn)/■是A4BC的外心，點(diǎn)N是AABC的內(nèi)心，連

接BM,CM,BN,CN,則/BMC與NBNC的差為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】A

【分析】分別求出ABMC^2ZA=160°,BNC^130°,然后得出結(jié)果.

【詳解】解:如圖，二?點(diǎn)M是△ABC的外心，二ABMC=2/A=160°,

?.?點(diǎn)N是△ABC的內(nèi)心，NBNC=180°-（NNBC+ANCB）

=180°—g（/ABC+ZACB）=180°-y（180°-ZA）=130°,

ABMC-ABNC=160°-130°=30°.故選：4

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心和外心，解題關(guān)鍵掌握內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）和外心（外接圓圓心）的定義.

網(wǎng)］2（2023秋?河北邢臺(tái)?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)O,1分別是銳角△48。的外心、內(nèi)心，若/B4C=

8/04。=48°,則ABCI的度數(shù)為.

【分析】連接先計(jì)算出6°,再利用外心性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到AOCA=6°,

則AAOC=168°,利用圓周角定理得到ZABC=84°，接著計(jì)算出ZACB=48°,再根據(jù)三角形內(nèi)心即可解

決問題.

【詳解】解:連接OC,如圖，

?/8ZOAC=48°,/.AOAC=6°,VO點(diǎn)為△ABC的夕卜A,OA=OC,：.AOCA=ZOAC=6°,

A/AOC=180°-6°-6°=168°,/.2ABe=84°,

?/ZACB+/CAB+ZABC=180°,/.AACB=180°-48°-84°=48°,

?.?/為△ABC的內(nèi)心，.?.C7平分乙4cB,■乙4cB=24°.故答案為：24°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握

內(nèi)心與外心定義.

吼且（2023?湖北武漢?九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于。O,人6=人。=4，^,3。=8,則。。的

半徑為.

?M

o*

【答案】5cm

【分析】作A。，BC于。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=qBC=4,再利用三角形外心的定義得

到△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)08,設(shè)。O的半徑為V,利用勾股定理，在RtAABD中計(jì)算出

AD=8,然后在RmOBD中得到42+(8-7>=r2,再解關(guān)于r的方程即可；

【詳解】解：

如圖1,作于。，?.?4B=AC,.?.BD=CD=9BC=4,.?.△ABC的外接圓的圓心在AD上,

連結(jié)OB,設(shè)。。的半徑為r,在RtAABD中，?.?AB=4J5,BD=4,/.AD=VAB2-Bn2=8,

在AtZXOBO中，OO=AO—OA=8—r,OB^r,BD^4,.\42+(8—解得了=5,

即△ABC的外接圓的半徑為5;

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和外心，解題關(guān)鍵證明等腰三角形底邊上的高經(jīng)過三角形外接圓的圓

心.

刷4(2022春.江蘇.九年級(jí)期末)A4BC中，AB=AC=13,BC=24,點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)。是△ABC的

外心,則OI=.

【答案】14.3

【分析】如圖，過點(diǎn)4作4D，3。交于點(diǎn)。，由等腰三角形得點(diǎn)I、點(diǎn)。都在直線AD上,連接OB、OC,過

點(diǎn)/作IE±AC交于點(diǎn)E,設(shè)OA=OB=OC=R,ID=IE=r,根據(jù)勾股定理求出=5,則。D=R

-5,L4=5—r,由勾股定理求出R的值，證明AAEI?ADC由相似三角形的性質(zhì)得黑=￡，求出r

的值，即可計(jì)算。/=04—L4.

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD，BC交于點(diǎn)D,

A

■：AB=AC=13,BC=24,△ABC是等腰三角形，；.BD=CD=*BC=12,

?.?點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)。是△ABC的外心，.?.點(diǎn)/、點(diǎn)。都在直線AD上，

連接OB、OC,過點(diǎn)/作的，AC交于點(diǎn)E,設(shè)OA=OB=。。=A,/D=ZE=r,

在Rt/XADC中，A。=y/ACP-CD1=V132-122=5,：.OD=R-5,IA=5-r,

在Rt^ODC中，B2-（R—5）2=122,解得：_R=16.9,

?/AIAE=ACAD,ZAEI=/LADC=90°,：.^AEI?ADC,

‘卷=是'即云=解得：,=2.4,.?.L4=5—2.4=2.6,

/.O