2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.2.3-4組合組合數(shù)學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE6.2.3組合6.2.4組合數(shù)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一組合的定義一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素________，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)(1)組合的特點(diǎn)：組合要求n個(gè)元素是不同的，取出的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出．(2)組合的特性：元素的無序性．取出的m個(gè)元素不講究依次，即元素沒有位置的要求．(3)依據(jù)組合的定義，只要兩個(gè)組合的元素完全相同，不論元素的依次如何，都是相同的組合；假如兩個(gè)組合的元素不完全相同，那么這兩個(gè)組合就是不同的組合．要點(diǎn)二組合數(shù)與組合數(shù)公式1.組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同組合的________，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的________，用符號(hào)________表示．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)1.同“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個(gè)不同的概念．例如，從3個(gè)不同的元素a，b，c中取出2個(gè)元素的全部組合為ab，ac，bc，其中每一種都叫做一個(gè)組合，即組合不是數(shù)，而是完成一件事的一種方法，而該問題的組合數(shù)為3，是一個(gè)數(shù)字．2.我們可以從集合的角度理解組合數(shù)的概念．例如，從3個(gè)不同的元素a，b，c中任取2個(gè)的全部組合構(gòu)成的集合為A＝{ab，ac，bc}，則組合數(shù)即為集合A的元素個(gè)數(shù)．3.符號(hào)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))是一個(gè)整體，n，m均為正整數(shù)，且m≤n.2.組合數(shù)公式：Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))＝________________＝________(n，m∈N*，且m≤n).[教材答疑][教材P22思索](1)是組合問題；(2)是排列問題．[基礎(chǔ)自測(cè)]1.推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)從a1，a2，a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)).()(2)從a、b、c、d中選取2個(gè)合成一組，其中a、b與b、a是同一個(gè)組合．()(3)“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)合成一組”，叫做“從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)的組合數(shù)”．()(4)組合和排列一樣，都與“依次”有關(guān)．()2.(多選題)下列問題中是組合問題的是()A．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)去參與兩個(gè)社區(qū)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法？B．從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名同學(xué)，有多少種不同的選法？C．3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？D．3本相同的書分給5名同學(xué)，每人一本，有多少種安排方法？3.Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝()A．9B．8C．7D．64.現(xiàn)有6名黨員，從中任選2名參與黨員活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)為________．

題型一組合數(shù)的相關(guān)計(jì)算——師生共研例1解方程：(1)Ceq\o\al(\s\up1(x＋1),\s\do1(13))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－3),\s\do1(13))；(2)Ceq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(x＋2))＋Ceq\o\al(\s\up1(x－3),\s\do1(x＋2))＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x＋3)).方法歸納進(jìn)行組合數(shù)的相關(guān)計(jì)算時(shí)，留意以下幾點(diǎn)：(1)像排列數(shù)公式一樣，公式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)一般用于計(jì)算，而公式Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)及Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))一般用于證明、解方程(不等式)等．(2)要留意公式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))的逆向運(yùn)用．(3)對(duì)于含有組合數(shù)的方程或不等式的問題，只需依據(jù)組合數(shù)公式的連乘形式或階乘形式，把問題轉(zhuǎn)化為不含組合數(shù)的方程或不等式問題．但在求出結(jié)果后應(yīng)留意驗(yàn)證能不能使組合數(shù)有意義，既要保證組合數(shù)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))中下標(biāo)n大于或等于該組合數(shù)的上標(biāo)m，又要保證n，m均為正整數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)7Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))－4Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))的值為________．(2)若Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n))，則Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(20))＝()A．380B．190C．18D．9題型二組合的應(yīng)用——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1“至多”與“至少”問題例2(1)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片最多一張，不同取法的種數(shù)為()A．232B．252C．472D．484(2)現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，隨意抽出3件檢查，至少有1件是次品的抽法有________種．方法歸納“至多”“至少”問題的常用解題方法有兩種：(1)干脆分類法，留意分類要細(xì)、要全；(2)間接法，留意找準(zhǔn)對(duì)立面，確保不重不漏．微點(diǎn)2“含”與“不含”問題例3在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人參與市級(jí)培訓(xùn)，在下列條件下，各有多少種不同的選法？(1)隨意選5人；(2)甲、乙、丙三人必需參與；(3)甲、乙、丙三人不能參與；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與．方法歸納“含……”或“不含……”是組合應(yīng)用的常見題型．其解法一般為干脆分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特別元素去掉再取出，分步計(jì)數(shù)．必要時(shí)，還需對(duì)元素進(jìn)行分類，對(duì)題目中的元素分類后，要弄清被取出的元素“含有”哪一類，“含有”多少個(gè)，或者對(duì)于某個(gè)特別元素，被取出的元素中含不含這個(gè)特別元素，這是解題的關(guān)鍵．當(dāng)用干脆法分類較多時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略．跟蹤訓(xùn)練2從六位同學(xué)中選出四位參與一個(gè)座談會(huì)，要求小張、小王兩名同學(xué)中至多有一個(gè)人參與，則不同選法的種數(shù)為()A．9B．14C．12D．15題型三排列與組合的綜合問題——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1先選后排問題例4(1)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，一般隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有不同的選法種數(shù)為()A.420B.660C.840D.880(2)用數(shù)字1，2，3，4，5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)方法歸納解決先選后排問題時(shí)，應(yīng)遵循三大原則：(1)先特別后一般；(2)先組合后排列；(3)先分類后分步．微點(diǎn)2安排問題例5把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的安排方法．(1)甲2本、乙2本、丙2本；(2)甲1本、乙2本、丙3本；(3)甲4本、乙1本、丙1本．方法歸納對(duì)于不等分組，只需將元素按要求依次安排給每個(gè)對(duì)象即可．跟蹤訓(xùn)練36名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館支配1名，乙場(chǎng)館支配2名，丙場(chǎng)館支配3名，則不同的支配方法共有()A．120種B．90種C．60種D．30種易錯(cuò)辨析忽視元素?zé)o序，造成計(jì)數(shù)重復(fù)例65本不同的書全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少一本，不同的分法種數(shù)為________．解析：先把5本書分成4堆，然后分給4名同學(xué)．第1步，從5本書中隨意取出2本捆綁成一個(gè)整體，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))種方法．第2步，把4堆書分給4名同學(xué)，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的分法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝240.答案：240【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)緣由解答此題時(shí)易得到如下錯(cuò)解：先從5本書中取4本分給4名同學(xué)，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))種方法，剩下的1本書可以給隨意一名同學(xué)，有4種分法，不同的分法種數(shù)為4×Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝480.該解題過程中出現(xiàn)了重復(fù)選取的狀況．設(shè)5本書分別為a，b，c，d，e，4名同學(xué)分別為甲、乙、丙、?。罁?jù)上述分法可能有如下的表1和表2：表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最終一本書e給甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最終一本書a給甲．從結(jié)果上看以上兩種狀況是完全相同的，而在計(jì)數(shù)時(shí)把它們當(dāng)成了不同的狀況，造成重復(fù)計(jì)數(shù)．糾錯(cuò)心得對(duì)于元素?zé)o序的安排問題，一般不能采納分步計(jì)數(shù)，而是實(shí)行先選后排的方法，即可避開重復(fù)計(jì)數(shù)．eq\x(溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（四）)

6．2.3組合6．2.4組合數(shù)新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一作為一組要點(diǎn)二1．個(gè)數(shù)組合數(shù)Ceq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))2.eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)eq\f(n！,m?。╪－m）！)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：AC與依次有關(guān)，是排列問題；BD與依次無關(guān)，是組合問題．故選BD.答案：BD3．解析：Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝4×3－3＝9.故選A.答案：A4．解析：由題意得，不同選法的種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15.答案：15題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤13，,0≤2x－3≤13，,x∈N*，))得2≤x≤8且x∈N*.故原方程的解為x＝4或x＝5.(2)原方程可化為Ceq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(x＋3))＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x＋3))，即Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(x＋3))＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(x＋3))，∴eq\f(（x＋3）！,5?。▁－2）！)＝eq\f(（x＋3）！,10·x！)，∴eq\f(1,120（x－2）！)＝eq\f(1,10·x（x－1）·（x－2）！)，∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的解．跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)7Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))－4Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))＝7×eq\f(6×5×4,3×2×1)－4×eq\f(7×6×5×4,4×3×2×1)＝0.(2)∵Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(n))，∴n＝18，∴Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(20))＝Ceq\o\al(\s\up1(18),\s\do1(20))＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(20))＝eq\f(20×19,2×1)＝190.故選B.答案：(1)0(2)B題型二例2解析：(1)方法一：本題的解題關(guān)鍵是抓住有無紅色卡片來探討．若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝64種取法；若2張同色，則有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝144種取法．若紅卡片有1張，剩余2張不同色，則有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝192種取法；剩余2張同色，則有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝72種取法，故共有64＋144＋192＋72＝472種取法．故選C.方法二：從16張不同的卡片中任取3張，共有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16))種取法，其中有兩張紅色的有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))種取法，三張卡片顏色相同的有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×4種取法．所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×4＝472種．故選C.(2)方法一(干脆法)分兩類：第1類，抽出1件次品，抽法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))；第2類，抽2件次品，抽法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8)).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的抽法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))＝56＋8＝64.方法二(間接法)從10件產(chǎn)品中任取3件的抽法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))種，不含次品的抽法有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))種，所以至少有1件是次品的抽法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))＝64.答案：(1)C(2)64例3解析：(1)從中任取5人是組合問題，不同的選法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(12))＝792.(2)甲、乙、丙三人必需參與，則只須要從另外9人中選2人，是組合問題，不同的選法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＝36.(3)甲、乙、丙三人不能參與，則只須要從另外的9人中選5人，不同的選法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(9))＝126.(4)甲、乙、丙三人只能有1人參與，可分兩步：第1步，從甲、乙、丙中選1人，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種選法；第2步，從另外9人中選4人，有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))種選法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的選法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(9))＝378.跟蹤訓(xùn)練2解析：方法一(干脆法)分兩類：第1類，小張、小王兩名同學(xué)都不參與，有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))種選法；第2類，小張、小王兩名同學(xué)中只有一人參與，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))種選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的選法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝9.方法二(間接法)不同的選法種數(shù)為Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝9.答案：A題型三例4解析：(1)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，一般隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝840種選法，其中不含女生的有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝180種選法，所以服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生的選法種數(shù)為840－180＝660.故選B.(2)個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)可分為以下兩類：第1類，個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)，即個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字由2，4，6構(gòu)成，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種排法．千位數(shù)字只能從1，3，5中選，所以有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種選法．故本類包含Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))個(gè)數(shù)．第2類，個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，先選出這個(gè)偶數(shù)有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種選法，然后選2個(gè)奇數(shù)，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))種選法，將3個(gè)數(shù)排序得到四位數(shù)的個(gè)位、十位和百位，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))種排法．最終選千位數(shù)字，從余下的3個(gè)數(shù)中選，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))種選法．故本類包含Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))個(gè)數(shù)．綜上，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿意題意的四位數(shù)共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝180(個(gè)).答案：(1)B(2)180例5解析：(1)第一步，從6本不同的書中選2本書安排給甲，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))種方法；其次步，從剩下的4本不同的書中選2本安排給乙，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))種方法；第三步，剩下的2本