高等數(shù)學（經(jīng)濟類-上冊第2版）課件：反常積分與τ函數(shù)

定積分反常積分與函數(shù)一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）三、函數(shù)四、小結(jié)一、無窮限的反常積分定義1(1)設函數(shù)

f(x)在區(qū)間上連續(xù)，任取b>a，存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，記作即若極限此時也稱反常積分收斂，如果極限則稱反常積分發(fā)散.不存在，(2)設函數(shù)

f(x)在區(qū)間上連續(xù)，若極限類似地，可定義存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，即記作此時也稱反常積分收斂，如果極限則稱反常積分發(fā)散.不存在，(3)設函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)，若極限同時收斂，則稱反常積分收斂.即上述2個反常積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的反常積分，否則稱反常積分發(fā)散.上述定義的反常積分統(tǒng)稱為無窮限的反常積分.設函數(shù)

F(x)為f(x)在區(qū)間上的原函數(shù)，如果記當不存在時，反常積分發(fā)散.其他情形類似.無窮限的廣義積分的計算則當存在時，此時，反常積分收斂.例1計算反常積分解：下方，幾何意義:表示位于函數(shù)x軸上方圖形的面積.能應用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的結(jié)論嗎？例2判斷反常積分的斂散性，若收斂求其值.解：的原函數(shù)為由于不存在，故反常積分發(fā)散.例3計算反常積分解：例4計算反常積分解：解：例5證明反常積分當p>1時收斂，當時發(fā)散.當p=1時,當

時,收斂發(fā)散發(fā)散所以，反常積分當p>1時收斂，當時發(fā)散.二、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）如果函數(shù)f(x)在點a的任意鄰域內(nèi)都無界，則a稱為f(x)的瑕點.例如點x=2是函數(shù)的瑕點；點x=0是函數(shù)的瑕點.定義2(1)設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)，a為其瑕點.若對任意t:a<t<b，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)

在區(qū)間(a,b]上的反常積分，又稱為瑕積分，記作即此時，稱瑕積分收斂，如果極限不存在，就稱瑕積分發(fā)散.類似地，可定義

(2)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，b為其瑕點.若對任意t:a<t<b，極限存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b)上的反常積分，記作即此時，稱瑕積分收斂，如果極限不存在，則稱瑕積分發(fā)散.

(3)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點c(a<c<b)外皆連續(xù)，c為其瑕點，則瑕積分定義為它當且僅當右邊兩個瑕積分都收斂時才收斂，并且其值為兩個瑕積分值的和.若右端兩個瑕積分有一個發(fā)散，則瑕積分發(fā)散.設函數(shù)

F(x)為f(x)在區(qū)間上的原函數(shù)，a為f(x)的瑕點，其中類似地，b為瑕點時，有無界函數(shù)的廣義積分的計算記例6計算瑕積分解：由于知x=1是瑕點，于是幾何意義:表示位于曲線上方，直線x=0,x=1之間圖形面積為下方，x軸有限值例7討論瑕積分的斂散性.解：顯然x=0是函數(shù)的瑕點，由于所以瑕積分發(fā)散，從而有瑕積分發(fā)散.注：如果我們疏忽了瑕點x=0，就會犯這樣的錯誤：需要注意的是積分是瑕積分，不是定積分.若瑕點在區(qū)間內(nèi)部，就把區(qū)間分成2段，分別討論這兩個區(qū)間上的瑕積分，只要有一個發(fā)散，原瑕積分就發(fā)散.例8證明反常積分當q<1時收斂，當時發(fā)散.解：當q=1時,發(fā)散當

時,收斂發(fā)散故，反常積分當q<1時收斂，當時發(fā)散.三、函數(shù)定義3含參變量s(s>0)的無窮限反常積分稱為函數(shù).

函數(shù)是收斂的，具有下列性質(zhì)：(1)(2)

特別地，當s=n為正整數(shù)時，有(3)(4)證明：(1)(2)由定積分的分部積分公式，有

特別地，當s=n為正整數(shù)時，有證明：(3)因為所以(4)在中，令則再令得這里利用了