2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.3.5隨機(jī)事件的獨(dú)立性課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE隨機(jī)事務(wù)的獨(dú)立性(15分鐘30分)1.拋擲3枚質(zhì)地勻稱的硬幣,A={既有正面對(duì)上又有反面對(duì)上},B={至多有一個(gè)反面對(duì)上},則A與B的關(guān)系是 ()A.互斥事務(wù) B.對(duì)立事務(wù)C.相互獨(dú)立事務(wù) D.不相互獨(dú)立事務(wù)【解析】選C.由已知,有P(A)=1-QUOTE=QUOTE,P(B)=1-QUOTE=QUOTE,P(AB)=QUOTE,滿意P(AB)=P(A)P(B),則事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立.2.從甲口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是QUOTE,從乙口袋內(nèi)摸出1個(gè)白球的概率是QUOTE,假如從兩個(gè)口袋內(nèi)各摸出一個(gè)球,那么QUOTE是 ()A.2個(gè)球不都是白球的概率B.2個(gè)球都不是白球的概率C.2個(gè)球都是白球的概率D.2個(gè)球恰好有一個(gè)球是白球的概率【解析】選A.因?yàn)閮蓚€(gè)球不都是白球的對(duì)立事務(wù)是兩個(gè)球都是白球,兩者是相互獨(dú)立的,兩個(gè)球都是白球的概率P=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以兩個(gè)球不都是白球的概率是1-QUOTE=QUOTE.3.甲、乙、丙三人將參與某項(xiàng)測試,他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8,0.6,0.5,則三人都達(dá)標(biāo)的概率是________,三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是________.

【解析】三人都達(dá)標(biāo)的概率為0.8×0.6×0.5=0.24.三人都不達(dá)標(biāo)的概率為(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.2×0.4×0.5=0.04,三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為1-0.04=0.96.答案:0.240.964.某一部件由四個(gè)電子元件按如圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3或元件4正常工作,則部件正常工作,若四個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率都為QUOTE,且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為________.

【解析】設(shè)事務(wù)A為元件1或元件2正常工作,事務(wù)B為元件3或元件4正常工作,所以P(A)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以該部件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為P(AB)=P(A)·P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中,某市確定在一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個(gè)項(xiàng)目,據(jù)預(yù)料,三個(gè)項(xiàng)目勝利的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,且三個(gè)項(xiàng)目是否勝利相互獨(dú)立.(1)求恰有兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率;(2)求至少有一個(gè)項(xiàng)目勝利的概率.【解析】(1)只有農(nóng)產(chǎn)品加工和綠色蔬菜種植兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有農(nóng)產(chǎn)品加工和水果種植兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以恰有兩個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)三個(gè)項(xiàng)目全部失敗的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以至少有一個(gè)項(xiàng)目勝利的概率為1-QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.五一放假,甲、乙、丙去廈門旅游的概率分別是QUOTE,QUOTE,QUOTE,假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響,那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去廈門旅游的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.記事務(wù)A:至少有1人去廈門旅游,其對(duì)立事務(wù)為QUOTE:三人都不去廈門旅游,由獨(dú)立事務(wù)的概率公式可得PQUOTE=QUOTE=QUOTE,由對(duì)立事務(wù)的概率公式可得PQUOTE=1-PQUOTE=1-QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙3人需運(yùn)用某種設(shè)備的概率分別為0.2,0.5,0.6,若各人是否需運(yùn)用該設(shè)備相互獨(dú)立,則同一工作日中至少有1人需運(yùn)用該設(shè)備的概率為 ()A.0.84 B.0.16C.0.94 D.0.34【解析】選A.所求概率為P=1-QUOTE=0.84.2.甲、乙、丙三名學(xué)生用計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),每天上課后獨(dú)立完成6道自我檢測題,甲及格的概率為QUOTE,乙及格的概率為QUOTE,丙及格的概率為QUOTE,三人各答一次,則三人中只有一人及格的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.以上都不對(duì)【解析】選C.因?yàn)榧准案竦母怕蕿镼UOTE,乙及格的概率為QUOTE,丙及格的概率為QUOTE,所以僅甲及格的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;僅乙及格的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;僅丙及格的概率為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以三人中只有一人及格的概率為:QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.在荷花池中,有一只青蛙在如圖成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動(dòng)時(shí),均從一葉跳到另一葉),而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍,如圖所示.假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上,則跳三次之后停在A葉上的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.青蛙跳三次要回到A只有兩條途徑:第一條:按A→B→C→A,P1=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE;其次條,按A→C→B→A,P2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以跳三次之后停在A葉上的概率為P=P1+P2=QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.甲、乙兩名同學(xué)參與2024年高考,依據(jù)高三年級(jí)一年來的各種大、中、小型數(shù)學(xué)模擬考試總結(jié)出來的數(shù)據(jù)顯示,甲、乙兩人能考140分以上的概率分別為QUOTE和QUOTE,甲、乙兩人是否考140分以上相互獨(dú)立,則預(yù)估這兩個(gè)人在2024年高考中恰有一人數(shù)學(xué)考140分以上的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)檫@兩個(gè)人在2024年高考中恰有一人數(shù)學(xué)考140分以上的概率為甲考140分以上乙未考到140分以上的事務(wù)概率與乙考140分以上甲未考到140分以上的事務(wù)概率的和,而甲考140分以上乙未考到140分以上的事務(wù)概率為QUOTE×QUOTE,乙考140分以上甲未考到140分以上的事務(wù)概率為QUOTE×QUOTE,因此,所求概率為QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.設(shè)M,N為兩個(gè)隨機(jī)事務(wù),給出以下命題:A.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則M,N為相互獨(dú)立事務(wù)B.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則M,N為相互獨(dú)立事務(wù)C.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則M,N為相互獨(dú)立事務(wù)D.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則M,N為相互獨(dú)立事務(wù)其中正確命題為 ()【解析】選ABD.若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE.則由相互獨(dú)立事務(wù)乘法公式知M,N為相互獨(dú)立事務(wù),故A正確;若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=PQUOTE·PQUOTE,由對(duì)立事務(wù)概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事務(wù)乘法公式知M,N為相互獨(dú)立事務(wù),故B正確;若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,當(dāng)M,N為相互獨(dú)立事務(wù)時(shí),PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,故C錯(cuò)誤;若PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,則PQUOTE=PQUOTE·PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=1-PQUOTE=QUOTE,由對(duì)立事務(wù)概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事務(wù)乘法公式知M,N為相互獨(dú)立事務(wù),故D正確.6.擲一枚骰子一次,設(shè)事務(wù)A:“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,事務(wù)B:“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,則事務(wù)A,B的關(guān)系是 ()A.互斥 B.相互獨(dú)立C.不互斥 D.不相互獨(dú)立【解析】選BC.事務(wù)A={2,4,6},事務(wù)B={3,6},事務(wù)AB={6},基本領(lǐng)件空間Ω={1,2,3,4,5,6},所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,即PQUOTE=PQUOTEPQUOTE,因此,事務(wù)A與B相互獨(dú)立.當(dāng)“出現(xiàn)6點(diǎn)”時(shí),事務(wù)A,B同時(shí)發(fā)生,所以A,B不是互斥事務(wù).三、填空題(每小題5分,共10分)7.某自助銀行共有A,B,C三臺(tái)ATM機(jī),在某段時(shí)間內(nèi),這三臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,若一位顧客到自助銀行運(yùn)用ATM機(jī),則其不須要等待的概率為________.

【解析】設(shè)事務(wù)A,B,C分別為“ATM機(jī)A,B,C被占用”,則P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE.記事務(wù)D:“顧客不須要等待”,則QUOTE為“顧客須要等待”,所以P(QUOTE)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,于是P(D)=1-P(QUOTE)=1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】甲、乙、丙射擊命中目標(biāo)的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo),且相互不影響,則目標(biāo)被擊中的概率為________.【解析】目標(biāo)被擊中的概率等于1減去甲、乙、丙三人都沒有擊中目標(biāo)的概率,故目標(biāo)被擊中的概率是1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在三角形ABC中,一機(jī)器人從三角形ABC上的一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)(規(guī)定:每次只能從一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)),而且按逆時(shí)針方向移動(dòng)的概率為順時(shí)針方向移動(dòng)的概率的3倍,假設(shè)現(xiàn)在機(jī)器人的初始位置為頂點(diǎn)A處,則通過三次移動(dòng)后返回到A處的概率為________.

【解析】設(shè)順時(shí)針方向移動(dòng)的概率為p,則逆時(shí)針方向移動(dòng)的概率為3p,所以3p+p=1?p=QUOTE,所以順時(shí)針方向移動(dòng)的概率為QUOTE,則逆時(shí)針方向移動(dòng)的概率為QUOTE,初始位置為頂點(diǎn)A處,則通過三次移動(dòng)后返回到A處,共有兩種狀況:三次都逆時(shí)針的概率為QUOTE=QUOTE,三次都順時(shí)針方向移動(dòng)的概率為QUOTE=QUOTE,所以通過三次移動(dòng)后返回到A處的概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】本著健康、低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來越多,某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi),超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算),有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為QUOTE,QUOTE,兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別是QUOTE,QUOTE,兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí).求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為________.【解析】由題意可知,甲、乙在三小時(shí)以上且不超過四個(gè)小時(shí)還車的概率分別為QUOTE,QUOTE,設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事務(wù)A,則P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)

9.眉山市位于四川西南,有“千載詩書城,人文第一州”的美譽(yù),這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的家鄉(xiāng),也是人們旅游的好地方.在國慶黃金周,為了豐富游客的文化生活,每天在東坡故里三蘇祠實(shí)行“三蘇文化”學(xué)問競賽.已知甲、乙兩隊(duì)參賽,每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分,答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為QUOTE,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各人回答正確與否相互之間沒有影響.(1)分別求甲隊(duì)總得分為0分、2分的概率;(2)求甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分的概率.【解析】(1)記“甲隊(duì)總得分為0分”為事務(wù)A,“甲隊(duì)總得分為2分”為事務(wù)B,甲隊(duì)總得分為0分,即甲隊(duì)三人都回答錯(cuò)誤,其概率PQUOTE=QUOTE=QUOTE;甲隊(duì)總得分為2分,即甲隊(duì)三人中有1人答錯(cuò),其余兩人答對(duì),其概率PQUOTE=3×QUOTE=QUOTE.(2)記“乙隊(duì)得1分”為事務(wù)C,“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”為事務(wù)D.事務(wù)C即乙隊(duì)三人中有2人答錯(cuò),1人答對(duì),PQUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分即事務(wù)B,C同時(shí)發(fā)生,則PQUOTE=PQUOTEPQUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.在2024年女排世界杯中,中國女子排球隊(duì)以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績勝利奪冠,為祖國母親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮.排球競賽采納5局3勝制,前4局競賽采納25分制,每個(gè)隊(duì)只有贏得至少25分,并同時(shí)超過對(duì)方2分時(shí),才勝1局;在決勝局(第五局)采納15分制,每個(gè)隊(duì)只有贏得至少15分,并領(lǐng)先對(duì)方2分為勝.在每局競賽中,發(fā)球方贏得此球后可得1分,并獲得下一球的發(fā)球權(quán),否則交換發(fā)球權(quán),并且對(duì)方得1分.現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球競賽:(1)若前三局競賽中甲已經(jīng)贏兩局,乙贏一局.接下來兩隊(duì)贏得每局競賽的概率均為QUOTE,求甲隊(duì)最終贏得整場競賽的概率;(2)若前四局競賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局競賽.在決勝局(第五局)中,兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分,且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時(shí)甲得1分的概率為QUOTE,乙發(fā)球時(shí)甲得1分的概率為QUOTE,得分者獲得下一個(gè)球的發(fā)球權(quán).設(shè)兩隊(duì)打了x(x≤4)個(gè)球后甲贏得整場競賽,求x的取值及相應(yīng)的概率p(x).【解析】(1)甲隊(duì)最終贏得整場競賽的狀況為第四局贏或第四局輸?shù)谖寰众A,所以甲隊(duì)最終贏得整場競賽的概率為QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)依據(jù)競賽規(guī)則,x的取值只能為2或4,對(duì)應(yīng)比分為16∶14,17∶15.兩隊(duì)打了2個(gè)球后甲贏得整場競賽,即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分,打其次個(gè)球甲發(fā)球甲得分,此時(shí)概率為p(2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE;兩隊(duì)打了4個(gè)球后甲贏得整場競賽,即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分,打其次個(gè)球甲發(fā)球甲失分,打第三個(gè)球乙發(fā)球甲得分,打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分;或打第一個(gè)球甲發(fā)球甲失分,打其次個(gè)球乙發(fā)球甲得分,打第三個(gè)球甲發(fā)球甲得分,打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分,此時(shí)概率為p(4)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展,某市教化局要求本市全部學(xué)校重視社團(tuán)文化建設(shè),該市某中學(xué)的某新生想通過考核選拔進(jìn)入該校的“電影社”和“心理社”,已知該同學(xué)通過考核選拔進(jìn)入這兩個(gè)社團(tuán)勝利與否相互獨(dú)立,依據(jù)報(bào)名狀況和他本人的才藝實(shí)力,兩個(gè)社團(tuán)都能進(jìn)入的概率為QUOTE,至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為QUOTE,并且進(jìn)入“電影社”的概率小于進(jìn)入“心理社”的概率.(1)求該同學(xué)分別通過選拔進(jìn)入“電影社”的概率p1和進(jìn)入心理社的概率p2;(2)學(xué)校依據(jù)這兩個(gè)社團(tuán)的活動(dòng)支配狀況,對(duì)進(jìn)入“電影社”的同學(xué)增加1個(gè)校本選修課學(xué)分,對(duì)進(jìn)入“心理社”的同學(xué)增加0.5個(gè)校本選修課學(xué)分.求該同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于1分的概率.【思路導(dǎo)引】(1)利用相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式和對(duì)立事務(wù)概率計(jì)算公式列出方程組,即能求出結(jié)果.(2)利用獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式分別求得分?jǐn)?shù)為1和1.5時(shí)的概率,再利用互斥事務(wù)概率計(jì)算公式求得結(jié)果.【解析】(1)依據(jù)題意得且p1<p2,所以p1=QUOTE,p2=QUOTE.(2)令該同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)為X,P(X=1)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=1.5)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以該同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)不低于1分的概率P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”證件之一.若某人報(bào)名參與了駕駛證考試,要順當(dāng)?shù)啬玫今{駛證,須要通過四個(gè)科目的考試,其中科目二為場地考試,在每一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參與科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試,就算順當(dāng)通過,即進(jìn)入下一科目考試,或5次都沒有通過,則須要重新報(bào)名),其中前2次參與科目二考試免費(fèi),若前2次都沒有通過,則以后每次參與科目二考試都須要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校通過幾年的資料統(tǒng)計(jì),得到如下結(jié)論:男性學(xué)員參與科目二考試,每次通過的概率均為QUOTE,女性學(xué)員參與科目二考試,每次通過的概率均為QUOTE.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)報(bào)名參與駕駛證考試,在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參與科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完全部機(jī)會(huì)為止.(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參與科目二考試都不須要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;(2)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參與科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為200元的概率