專項(xiàng)09 數(shù)學(xué)文化與新定義型試題

專項(xiàng)09數(shù)學(xué)文化與新定義型試題類型一數(shù)學(xué)文化1.西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過(guò)一種通過(guò)測(cè)定日影長(zhǎng)度來(lái)確定時(shí)間的儀器，稱為圭表，下圖是一個(gè)根據(jù)長(zhǎng)春的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中，立柱AC的高為a，已知冬至?xí)r長(zhǎng)春的正午日光入射角∠ABC約為23°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離(即BC的長(zhǎng))約為()A.asin23° B.asin23° C.atan23° 2.(2023山東東營(yíng)中考)“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：如圖，CD為☉O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為寸.

3.(2022湖南株洲中考)中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方田一段，一角圓池占之.”意思是：一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)，如圖所示.問(wèn)題：此圖中，正方形一條對(duì)角線AB與☉O相交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方)，若AB的長(zhǎng)度為10丈，☉O的半徑為2丈，則BN的長(zhǎng)度為丈.

4.(2022北京門頭溝期末)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有這樣的一個(gè)問(wèn)題：“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是：如圖，現(xiàn)有直角三角形，勾(短直角邊)長(zhǎng)為8步，股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為15步，問(wèn)：該直角三角形所能容納的最大圓的直徑是多少？答：該直角三角形所能容納的最大圓的直徑是步.5.(2020湖南株洲中考)據(jù)《漢書·律歷志》記載：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也.”斛是中國(guó)古代的一種量器.“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉.”意思是：斛的底面為正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心圓，如圖所示.問(wèn)題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺)，則此斛底面的正方形的周長(zhǎng)為尺.(結(jié)果用最簡(jiǎn)根式表示)

類型二新定義型試題6.如圖，在△ABC中，∠C=90°，定義：斜邊與∠A的鄰邊的比叫做∠A的正割，用“secA”表示，若設(shè)該直角三角形的各邊分別為a，b，c，則secA=cb，A.secB·sinA=1 B.secB=bc C.secA·cosB=1 D.sec2A·sec27.(2022黑龍江綏化中考)定義一種運(yùn)算：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如：當(dāng)α=45°，β=30°時(shí)，sin(45°+30°)=22×328.(2023四川巴中中考)規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”.例如：函數(shù)y=x+3與y=-x+3互為“Y函數(shù)”.若函數(shù)y=k4x2+(k-1)x+k-3的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為9.(2023四川自貢沿灘月考)我們定義一種新函數(shù)：形如y=|ax2+bx+c|(a≠0，b2-4ac>0)的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù).小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象(如圖所示)，并寫出下列五個(gè)結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(-1，0)，(3，0)和(0，3)；②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x=1；③當(dāng)-1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當(dāng)x=-1或x=3時(shí)，函數(shù)有最小值，是0；⑤當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值，是4.其中正確的結(jié)論有.(填正確的序號(hào))10.(2022湖北鄂州中考節(jié)選)某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y=ax2(a>0)的圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F0,14a的距離MF，始終等于它到定直線l：(該結(jié)論不需要證明)，他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y=-14a叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)2OF=12a.例如：拋物線y=12x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,12，準(zhǔn)線方程為l：(1)請(qǐng)分別直接寫出拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，.(2)如圖2所示，已知拋物線y=18x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，(3)如圖3所示，已知過(guò)拋物線y=ax2(a>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C.若BC=2BF，AF=4，求a的值. 圖1 圖2 圖3

專項(xiàng)09數(shù)學(xué)文化與新定義型試題答案全解全析1.C由題意可得，立柱根部與圭表的冬至線的距離為ACtan∠ABC2.26解析連接OA，設(shè)☉O的半徑是r寸，∵直徑CD⊥AB，∴AE=12AB=∵CE=1寸，∴OE=(r-1)寸，∵OA2=OE2+AE2，∴r2=(r-1)2+52，∴r=13，∴直徑CD的長(zhǎng)度為2×13=26寸.故答案為26.3.(8-22)解析根據(jù)題意易知圓心O在AB上，如圖，設(shè)正方形的一邊與☉O的切點(diǎn)為C，連接OC，則OC⊥AC，∵四邊形是正方形，AB是對(duì)角線，∴∠OAC=45°，∴OA=2OC=22∴BN=AB-AN=10-(22+2)=(8?22故答案為(8-22).4.6解析如圖：在Rt△ABC中，AC=8步，BC=15步，∠ACB=90°，∴AB=AC2S△ABC=12AC·BC=12×8×15=60(步2設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)，及OA、OB、OC，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r步，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12r·(AB+BC+AC)=20r(步2)∴20r=60，解得r=3，∴內(nèi)切圓的直徑為6步，即能容納的最大圓的直徑為6步.5.42解析如圖，∵四邊形CDEF為正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE為直徑，∠ECD=45°，由題意得AB=2.5尺，∴CE=2.5-0.25×2=2尺，∴CD=CE·cos∠ECD=2×22=∴正方形CDEF的周長(zhǎng)為42尺.故答案為42.6.A∵secA=cb，secB=ca，sinA=ac，∴secB·sinA=ca·ac=1，secA·cosB=cb·ac=7.6-解析sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=228.(3，0)或(4，0)解析當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)解析式為y=-x-3，此時(shí)，函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，它的“Y函數(shù)”解析式為y=x-3，∴y=-x-3的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)；當(dāng)k≠0時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，若二次函數(shù)y=k4x2+(k-1)x+k-3的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則b2-4ac=(k-1)2-4×k4×(k-3)=k+1=0，解得k=-1，∴二次函數(shù)的解析式為y=-14x2-2x-4，即y=-14(x+4)2，∴它的“Y函數(shù)”解析式為y=-14(x-4)2，令y=0，則-14(x-4)2=0，∴x1=x2=4，∴二次函數(shù)y=-綜上，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)或(4，0).9.①②③④解析①∵(-1，0)，(3，0)和(0，3)都滿足函數(shù)y=|x2-2x-3|，∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸可用對(duì)稱軸公式求得，是直線x=1，∴②是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)當(dāng)-1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，∴③是正確的；④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x=-1或x=3時(shí)，y=0，∴④是正確的；⑤從圖象上看，圖象無(wú)最高點(diǎn)，故函數(shù)無(wú)最大值，∴⑤不正確.故答案是①②③④.