傳熱學(xué)-第2章-導(dǎo)熱的理論基礎(chǔ)

第2章導(dǎo)熱的理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)目標(biāo)：

掌握導(dǎo)熱問題的基本理論內(nèi)容與思路：

導(dǎo)熱（傳熱）問題的基本概念導(dǎo)熱的特殊規(guī)律導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述1第2章導(dǎo)熱的理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)重點：導(dǎo)熱的基本定律導(dǎo)熱微分方程分析導(dǎo)熱問題的方法與過程22.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場1溫度場（TemperatureField）手握鐵棒（不很長）放在爐火中燒——火中的一端溫度很高，手握一端溫度較低：溫度分布與位置有關(guān)——手握一端也會慢慢變燙：溫度分布與時間有關(guān)

3

可以借助于場的概念來描述溫度分布

場的通用定義：將分布著某種物理量的空間或空間區(qū)域稱為場，如電場、高度場、密度場、電位場、流速場、力場、磁場等。

將某一瞬間(某時刻)物體內(nèi)部各點的溫度分布或溫度的集合，稱為溫度場

溫度是標(biāo)量，因而溫度場是標(biāo)量場

2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場4從不同的角度對溫度場進(jìn)行分類：按溫度場是否隨時間變化，可分為:穩(wěn)定(Steady-state)溫度場：物體內(nèi)各點溫度不隨時間變化——穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

穩(wěn)態(tài)溫度場、定常溫度場2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場5按溫度場是否隨時間變化，可分為:非穩(wěn)定(Unsteady-state)溫度場不穩(wěn)定溫度場、非定常溫度場、瞬態(tài)溫度場2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場6按溫度場在空間上的變化情況

一維溫度場二維溫度場三維溫度場溫度場是整個傳熱學(xué)的基本概念，求溫度場本質(zhì)上就是求函數(shù)f的具體表達(dá)式

2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場72等溫面（isothermalsurface）

除用數(shù)量函數(shù)表示溫度場外，還可用等溫面（線）的方式直觀地表現(xiàn)出來。等溫面：溫度場中同一瞬間溫度相同的各點連成的面

在二維平面上等溫面表現(xiàn)為等溫線（iostherm）2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場8內(nèi)燃機(jī)活塞的溫度場

2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場9

埋深為1.5m的非保溫輸油管道周圍地層的溫度場2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場10等溫線（面）的特點：——形象、直觀

（1）同一時刻，溫度不同的等溫線不可能相交。因為同一時刻、同一點不可能有兩個溫度（2）沿等溫線，無熱量的傳遞。因為等溫線上無溫差2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場11等溫線（面）的特點：（3）對連續(xù)介質(zhì)，等溫線只能在物體的邊界中斷或封閉，在物體內(nèi)部等溫線不會中斷（4）等溫線的疏密表示了溫度變化的劇烈程度

類似于等高線、等壓線，等溫線越密，表示此區(qū)域的溫度變化越劇烈；越稀疏，表示溫度變化越平緩。

2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.1溫度場12根據(jù)等溫線的定義，等溫線上不存在溫度差，只有跨越等溫線時溫度才有變化，如圖所示2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.2溫度梯度13

從等溫線上任一點出發(fā)，沿不同方向到達(dá)另一條等溫線時，雖然它們之間的溫度差相等，但由于溫度變化的路徑不同，溫度變化率并不相同

。2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.2溫度梯度14

其中：以該點法線方向上的溫度變化率為最大，稱為溫度梯度（temperaturegradient）

記作gradt:

n表示等溫線上某點法線方向的單位向量

2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.2溫度梯度15溫度梯度是矢量——指向溫度升高的方向——具有最大的溫度變化率它是由物體內(nèi)部的溫度場決定的，與坐標(biāo)系無關(guān)。一旦溫度場確定了，物體內(nèi)的溫度梯度也就確定了可以采用不同坐標(biāo)系表達(dá)溫度場，表達(dá)式不同

2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.2溫度梯度16

可以采用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系表示溫度梯度，如在直角坐標(biāo)系下溫度梯度可表示為

式中，i、j和k分別表示三個坐標(biāo)方向的單位矢量2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.2溫度梯度17同一溫度梯度在不同坐標(biāo)系下的表達(dá)式不同，但存在著關(guān)系。負(fù)的溫度梯度即-gradt稱為溫度降度——數(shù)值上與溫度梯度相同——方向相反，指向溫度降低的方向2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.2溫度梯度182.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律

導(dǎo)熱基本定律就是指傅里葉定律（Fourier’slaw）

傅里葉在1822年出版的著作《熱的解析理論》中提出的，傅里葉是導(dǎo)熱理論的奠基人，他通過實驗，分析和總結(jié)了物體內(nèi)的導(dǎo)熱規(guī)律，建立了傅立葉導(dǎo)熱定律。19Fourier定律的表述：

在任意時刻，各向同性連續(xù)介質(zhì)內(nèi)任意位置處的熱流密度在數(shù)值上與該點的溫度梯度成正比，但方向相反

是唯象定律2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律20式中，λ為比例系數(shù)，稱為導(dǎo)熱系數(shù)（或稱熱導(dǎo)率）公式中的負(fù)號表示熱量傳遞的方向與溫度梯度的方向相反，這是滿足熱力學(xué)第二定律所必須的。2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律21熱流密度是一個矢量與溫度梯度位于等溫線同一的法線上方向相反，永遠(yuǎn)指向溫度降低的方向

在直角坐標(biāo)系下，熱流密度矢量可表示為2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律22

溫度梯度和熱流密度矢量、等溫線和熱流線間的關(guān)系

2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律23由此得到：2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律24

在利用傅里葉定律計算物體內(nèi)某點的熱流量時，必須以與熱流密度矢量相垂直的面積作為計算面積2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律傅里葉定律適用條件：各向同性、均質(zhì)材料；固液氣三相；不適用于深冷或高熱流密度情況。25對工程中幾何形狀比較簡單的物體中的導(dǎo)熱，熱流密度一般垂直于物體表面。為了方便起見，通常將坐標(biāo)軸垂直于表面，此時熱流密度可以不寫成矢量形式，而只按坐標(biāo)軸方向考慮熱流密度的正負(fù)，即：熱流密度與坐標(biāo)軸同向時為正，反向時為負(fù)。2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律26傅里葉定律又稱為導(dǎo)熱的熱流速率方程，它揭示了導(dǎo)熱熱流與局部溫度梯度間的內(nèi)在關(guān)系，是實驗定律傅里葉定律是研究和分析各種導(dǎo)熱問題的基礎(chǔ)，無論是穩(wěn)態(tài)的還是非穩(wěn)態(tài)的導(dǎo)熱問題它是特定傳熱方式的特殊規(guī)律2.1基本概念和導(dǎo)熱基本定律

2.1.3導(dǎo)熱的基本定律272.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性

傅里葉定律中引入的導(dǎo)熱系數(shù)反映了物質(zhì)的導(dǎo)熱特性，是分析和計算許多傳熱問題不可缺少的參數(shù)1定義式——傅立葉定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以認(rèn)為是導(dǎo)熱系數(shù)的定義式

28數(shù)值上等于單位溫度降度下通過物體的熱流密度值導(dǎo)熱系數(shù)越大，物質(zhì)的導(dǎo)熱能力越強(qiáng)W/(m·k)2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性導(dǎo)熱系數(shù)292導(dǎo)熱系數(shù)的影響因素物性參數(shù)，與物質(zhì)的幾何形狀、質(zhì)量、體積等因素?zé)o關(guān)主要取決于物質(zhì)的種類、結(jié)構(gòu)、密度、溫度、壓力和含濕量等有些材料，如木材、結(jié)構(gòu)體、膠合板等還與方向有關(guān)（各向異性材料）有關(guān)2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性303物質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)的一般規(guī)律

（1）一般而論，固體的導(dǎo)熱系數(shù)最大，液體次之，氣體最小

主要是導(dǎo)熱機(jī)理上的差異：金屬導(dǎo)體依靠自由電子的定向運(yùn)動，因而其導(dǎo)熱和導(dǎo)電性能一樣好；非金屬依靠晶格振動，強(qiáng)度遠(yuǎn)小于自由電子的運(yùn)動；氣體分子間距大，運(yùn)動雜亂無章，沿給定方向的導(dǎo)熱能力必然小。

2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性31導(dǎo)熱系數(shù)反映了物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小，是物質(zhì)固有的熱物性參數(shù)。工程計算中所需要的各物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)一般都是由實驗測定工程計算時可查閱相關(guān)的文獻(xiàn)或熱物性數(shù)據(jù)手冊2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性32同一物質(zhì)：固態(tài)的導(dǎo)熱系數(shù)大于其液態(tài)的，液態(tài)的又大于其氣態(tài)的例如，大氣壓力下0℃時冰、水和水蒸氣的導(dǎo)熱系數(shù)分別為2.22、0.55和0.0183W/(m·K)純金屬的導(dǎo)熱系數(shù)有大于其相應(yīng)的合金固體材料晶體狀態(tài)的導(dǎo)熱性能均好于其無定形態(tài)的2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性33（2）物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)與物理狀態(tài)如溫度、壓力等有關(guān)，特別是溫度的影響尤為重要，對壓力變化不敏感——物體導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化規(guī)律隨物體的狀態(tài)、種類的不同而不同——溫度變化范圍不大時，絕大多數(shù)物體的導(dǎo)熱系數(shù)與溫度的關(guān)系可近似為線性關(guān)系2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性34

絕大多數(shù)物體的導(dǎo)熱系數(shù)與溫度的關(guān)系可近似地用如下的線性關(guān)系來表示：式中，B=λ0b；λ0為物體在某一參考溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)；b為由實驗確定的、與材料有關(guān)的溫度系數(shù)(常數(shù))，氣體：b>0；固體：b<0

或2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性35（3）氣體導(dǎo)熱系數(shù)的變化規(guī)律

氣體導(dǎo)熱的機(jī)理是依靠分子熱運(yùn)動的相互碰撞。由于氣體分子間的距離比較大，分子的平均自由程很長，以及氣體分子熱運(yùn)動的不規(guī)則性，使氣體導(dǎo)熱能力較低，導(dǎo)熱系數(shù)也較小

通常，在大氣壓力下氣體的導(dǎo)熱系數(shù)介于0.006～0.6W/(m·K)2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性36（3）氣體導(dǎo)熱系數(shù)的變化規(guī)律氣體中分子量較小的氫和氦具有較高的導(dǎo)熱系數(shù)，如0℃時氫的導(dǎo)熱系數(shù)為0.175W/(m·K)，同溫度下空氣的導(dǎo)熱系數(shù)只有0.024W/(m·K)溫度升高，氣體分子熱運(yùn)動的劇烈程度增加，通過碰撞傳遞能量的能力增強(qiáng)，氣體導(dǎo)熱系數(shù)也隨之增大

2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性37部分氣體的導(dǎo)熱系數(shù)38（4）液體各類液體的導(dǎo)熱系數(shù)值大致在0.07～0.7W/(m·K)的范圍內(nèi)液體中以水的導(dǎo)熱系數(shù)為最大，20℃時約為0.599W/(m·K)，在120℃時達(dá)到最大值，約為0.69W/(m·K)2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性39部分液體的導(dǎo)熱系數(shù)2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性40汽油、柴油、原油和潤滑油等油類的導(dǎo)熱系數(shù)值在0.10～0.15W/(m·K)之間在要求不高的情況下，可查閱經(jīng)驗公式，如：W/(m.℃)式中，ρ15為15℃時原油的密度，t為攝氏度，℃2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性41W/(m.℃)若稠油的ρ15＝940kg/m3，常溫時由上式得：

λ=0.1236W/(m?℃)

在50℃時，λ＝0.1216W/(m?℃)

若稀油的ρ15＝840kg/m3，常溫時由上式得：

λ＝0.0.1383W/(m?℃)

2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性42實驗表明，除了甘油和0～120℃范圍內(nèi)的水以外，其他液體的導(dǎo)熱系數(shù)值隨溫度升高而減小壓力變化對液體導(dǎo)熱系數(shù)的影響很小，通?？梢院雎?.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性43液體中液態(tài)金屬和電解液是一類特殊的液體——依靠原子的運(yùn)動和自由電子的遷移來傳遞熱量，導(dǎo)熱系數(shù)要比一般非金屬液體大10～1000倍2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性44

注意：對于工業(yè)中經(jīng)常遇到的氣體混合物或液體混合物，不能簡單地用加和法則計算混合物的導(dǎo)熱系數(shù)，需要通過實驗來確定。

雖然現(xiàn)有若干理論模型能夠在一定精度范圍內(nèi)估算導(dǎo)熱系數(shù)的近似值，但對氣體混合物和液體導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行理論預(yù)測和計算始終是一個難題

。2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性45（5）金屬依靠自由電子的遷移傳導(dǎo)熱量，導(dǎo)熱系數(shù)較大導(dǎo)電性能好的金屬材料，其導(dǎo)熱性能也好金屬材料的導(dǎo)熱系數(shù)大致在2.3～430W/(m·K)范圍內(nèi)。2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性46部分固體的導(dǎo)熱系數(shù)47純金屬中，銀的導(dǎo)熱能力與其導(dǎo)電能力一樣是最好的，常溫下導(dǎo)熱系數(shù)為427W/(m·K)以下依次是銅、金、鋁、鉑、鐵等，分別為398、315、236、133和81.1W/(m·K)溫度升高會使金屬的導(dǎo)熱系數(shù)減小。原因是溫度升高導(dǎo)致金屬原子的晶格振動加劇，干擾了自由電子的運(yùn)動2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性48在純金屬中添加其他雜質(zhì)構(gòu)成合金后，由于摻入的雜質(zhì)破壞了金屬晶格結(jié)構(gòu)的整齊性，干擾了自由電子的運(yùn)動，使得導(dǎo)熱系數(shù)降低2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性49例如：20℃時純鐵的導(dǎo)熱系數(shù)為81.1W/(m·K)，碳鋼(含碳為1.5%)的導(dǎo)熱系數(shù)只有36.7W/(m·K)，鎳鋼(含鎳為25％)的導(dǎo)熱系數(shù)只有13.0W/(m·K)再如：常溫下純銅(紫銅)的導(dǎo)熱系數(shù)為398W/(m·K)，而黃銅(含30％的鋅)的導(dǎo)熱系數(shù)為109W/(m·K)，青銅(含11％的錫)的導(dǎo)熱系數(shù)為24.8W/(m·K)

2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性50（7）非金屬材料和保溫材料

非金屬材料的導(dǎo)熱依靠晶格振動產(chǎn)生的彈性波進(jìn)行

其導(dǎo)熱系數(shù)在較大范圍內(nèi)變化，數(shù)值低的接近甚至低于空氣的導(dǎo)熱系數(shù)2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性51非金屬中金剛石(鉆石)的導(dǎo)熱系數(shù)最大，可以達(dá)到2300W/(m.℃)采用熱的方法鑒定鉆石的真?zhèn)危ü夥?、熱接觸法、鉆石測試儀等）溫度升高，晶格振動加劇，導(dǎo)熱能力增強(qiáng)，因此非金屬材料的導(dǎo)熱系數(shù)一般隨溫度的升高而增加

2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性52非金屬材料中有一類導(dǎo)熱系數(shù)較小的材料人們很感興趣，如棉襖、棉被等習(xí)慣上把導(dǎo)熱系數(shù)較小的材料稱為保溫材料（又稱隔熱材料或絕熱材料）。至于小到多少才算是保溫材料與各國的具體情況有關(guān)我國國家標(biāo)準(zhǔn)（GB4272－92）規(guī)定：凡平均溫度不高于350℃時，導(dǎo)熱系數(shù)不大于0.12的材料稱為保溫材料2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性53常用的保溫材料有聚氨酯泡沫塑料、聚乙烯泡沫塑料、玻璃纖維、巖棉氈和微孔硅酸鈣等工程中性能優(yōu)良的隔熱材料的導(dǎo)熱系數(shù)一般可達(dá)0.03-0.07W/(m.℃)，可以滿足各種不同應(yīng)用場合的需要近年來，各種新型隔熱材料層出不窮，品種相當(dāng)豐富，可以滿足各種不同場合的需要，需要時可查閱相關(guān)材料2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性54值得指出，保溫材料導(dǎo)熱系數(shù)界定值的大小反映了一個國家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平20世紀(jì)50年代，我國沿用前蘇聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)，界定值取為0.23

W/(m.℃)到20世紀(jì)80年代，GB4272－84規(guī)定為0.15

W/(m.℃)在GB4272－92中則降低到0.12

W/(m.℃)

2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性55結(jié)構(gòu)上：大多呈蜂窩狀多孔性結(jié)構(gòu)，或具有纖維結(jié)構(gòu)，內(nèi)部充滿了導(dǎo)熱能力較差的氣體傳熱上：熱量傳遞是多種方式綜合作用的結(jié)果——固體骨架材料的導(dǎo)熱——孔隙內(nèi)氣體的導(dǎo)熱和自然對流傳熱、骨架腔壁間的輻射傳熱等2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性56嚴(yán)格地講保溫材料已不再是均勻的連續(xù)介質(zhì)，發(fā)生在其內(nèi)部的熱量傳遞也不再是單純的導(dǎo)熱工程上為了計算的方便，同時考慮到這類材料在整體上(外觀上)仍為固體，仍采用導(dǎo)熱系數(shù)衡量其傳遞熱量能力的小稱為表觀導(dǎo)熱系數(shù)或視導(dǎo)熱系數(shù)（apparentthermalconductivity）2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性57千層單不如一層棉多孔性材料的空隙中儲有空氣，空氣的導(dǎo)熱能力很差，在如空心磚，雙層窗冰箱的機(jī)體2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性58注意：保溫材料要嚴(yán)格防潮、防水——受潮吸水后，導(dǎo)熱系數(shù)大的水代替了其中導(dǎo)熱系數(shù)小的氣體，再加上水分在溫度梯度推動下的遷移作用，使保溫材料的性能下降，導(dǎo)熱系數(shù)增加

例如：礦渣棉在含水10.7％時導(dǎo)熱系數(shù)會增加25％，含水23.5％時導(dǎo)熱系數(shù)將增加500％2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性59低溫應(yīng)用更需要防潮、防水——在低溫應(yīng)用中，保溫材料中的水結(jié)冰后會使其導(dǎo)熱系數(shù)大大增加實際應(yīng)用中需要在保溫材料外敷設(shè)保護(hù)層等防水措施2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性60工程上對保溫材料的基本要求：高效、耐溫和便宜目前提高保溫材料性能的主要途徑：降低密度、最大限度地抑制孔隙內(nèi)的對流和輻射作用通常，保溫材料的導(dǎo)熱系數(shù)一般是由專門實驗測定的，出廠時廠家會提供產(chǎn)品的導(dǎo)熱系數(shù)值2.2物質(zhì)的導(dǎo)熱特性61工程導(dǎo)熱材料的一般分類

由于各種復(fù)雜應(yīng)用的需要，實際工程材料經(jīng)常使用導(dǎo)熱性能復(fù)雜的材料和結(jié)構(gòu)，分為4類：1）均勻、各向同性：2）均勻、各向異性：木材、石墨、變壓器鐵芯3）不均勻、各向同性：空心磚4）不均勻、各向異性：三合板、層板62小結(jié)：632.3導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫

（1）對于一維導(dǎo)熱問題，根據(jù)傅立葉定律積分，可獲得用兩側(cè)溫差表示的導(dǎo)熱量。（2）對于多維導(dǎo)熱問題，首先獲得溫度場的分布函數(shù)，然后根據(jù)傅立葉定律求得空間各點的熱流密度矢量。

具體辦法：以能量守恒定律及傅里葉定律為基礎(chǔ)，在導(dǎo)熱體內(nèi)取微元體，分析其能量平衡，得出描述導(dǎo)熱現(xiàn)象基本規(guī)律的導(dǎo)熱微分方程，再結(jié)合給定的具體條件，求解溫度分布。64一、導(dǎo)熱微分方程（HeatDiffusionEquation）假設(shè)：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)(2)熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知(3)物體內(nèi)具有均勻分布內(nèi)熱源；強(qiáng)度[W/m3];

表示單位體積的導(dǎo)熱體在單位時間內(nèi)放出的熱量

導(dǎo)熱體內(nèi)取一微元體，根據(jù)能量守恒定律，單位時間凈導(dǎo)入微元體的熱量加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量等于微元體熱力學(xué)能的增量U651、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量

d

時間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x表面導(dǎo)入的熱量：

d

時間內(nèi)、沿x軸方向、經(jīng)x+dx表面導(dǎo)出的熱量：66d

時間內(nèi)、沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量d時間內(nèi)、沿y軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量d時間內(nèi)、沿z軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量d時間內(nèi)、沿z軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量67[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]:傅里葉定律：682、d

時間微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量3、微元體在d

時間內(nèi)能的增加量

69將以上各式代入熱平衡關(guān)系式，并整理得：

這是笛卡爾坐標(biāo)系中三維、非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源導(dǎo)熱微分方程的一般表達(dá)式。是在能量守恒和傅里葉定律的基礎(chǔ)上建立起來的，實質(zhì)是導(dǎo)熱的能量方程。其物理意義：反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關(guān)系。非穩(wěn)態(tài)項源項擴(kuò)散項701）對上式化簡：

①導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)

式中，，稱為熱擴(kuò)散率，m2/s。②導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源

71③導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)

④導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源

72綜上說明：

導(dǎo)熱問題仍然服從能量守恒定律；等號左邊是單位時間內(nèi)微元體熱力學(xué)能的增量（非穩(wěn)態(tài)項）；等號右邊前三項之和是通過界面的導(dǎo)熱使微分元體在單位時間內(nèi)增加的能量(擴(kuò)散項)；等號右邊最后項是源項；若某坐標(biāo)方向上溫度不變，該方向的凈導(dǎo)熱量為零，則相應(yīng)的擴(kuò)散項即從導(dǎo)熱微分方程中消失。73三、其他坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程對于圓柱坐標(biāo)系74對于球坐標(biāo)系

75二、定解條件

導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)：傅里葉定律+能量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關(guān)系；沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程。是通用表達(dá)式。單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界定解條件：初始、邊界完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程+定解條件761、幾何條件：說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等2、物理條件：說明導(dǎo)熱體的物理特征如：物性參數(shù)

、c和

的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；3、初始條件：又稱時間條件，反映導(dǎo)熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)

４、邊界條件：反映導(dǎo)熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。

772、定解條件

1）初始條件：初始時間溫度分布的初始條件；2）邊界條件：導(dǎo)熱物體邊界上溫度或換熱情況的邊界條件。說明：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有2個：邊界條件，初始條件②穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱定解條件有1個：邊界條件78邊界條件常見的有三類

（1）第一類邊界條件：規(guī)定了邊界上的溫度值：它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值。t=f(y，z,τ)

0x1x

（2）第二類邊界條件：規(guī)定邊界上的熱流密度值，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值0x1x

特例：特例：絕熱邊界79（3）第三類邊界條件：規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h和周圍流體的溫度tf，這兩個量可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值。對流換熱邊界0x1x

以上三種邊界條件與數(shù)學(xué)物理方程理論中的三類邊界相對應(yīng)，又分別成為Dirichlet條件、Neumann條件和Robin條件。在處理復(fù)雜的實際工程問題時，還會遇到下列兩種情形。80導(dǎo)熱微分方程單值性條件

求解方法

溫度場（4）輻射邊界條件：如果導(dǎo)熱物體表面與溫度為Te的外界環(huán)境只發(fā)生輻射換熱，則有：（5）界面連續(xù)條件：對于發(fā)生在不均勻材料中的導(dǎo)熱問題，不同材料的區(qū)域分別滿足導(dǎo)熱微分方程：811、熱擴(kuò)散率的物理意