專題09 易錯易混集訓(xùn)：一元二次方程壓軸題五種易錯模型全攻略(解析版)

專題09易錯易混集訓(xùn)：一元二次方程壓軸題五種易錯模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯一利用一元二次方程的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】 1【易錯二利用一元二次方程的解求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】 3【易錯三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“a≠0”】 6【易錯四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時忽略“△≠0”】 10【易錯五與幾何圖形結(jié)合時取舍不當(dāng)或考慮不全】 15【典型例題】【易錯一利用一元二次方程的定義求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出，，求出即可．【詳解】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，且，即且，解得：．故選：A．【點睛】本題考查了對一元二次方程的定義的理解和運用，注意：①是整式方程，②只含有一個未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期中）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為．【答案】4【分析】根據(jù)一元二次方程的概念，最高項系數(shù)為2，二次項系數(shù)不為零，由這兩點即可確定a的值．【詳解】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，且，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，即經(jīng)整理后，如果方程含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程為一元二次方程，掌握此概念是關(guān)鍵，千萬不要忘記二次項系數(shù)不為零．2．（2023秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可．【詳解】解：∵的方程是一元二次方程，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程．3．（2023春·八年級單元測試）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行求解即可：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式方程是一元二次方程，注意二次項系數(shù)不能等于0．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴，且，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握一元二次方程的定義．4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．(1)為一元二次方程；(2)為一元一次方程．【答案】(1)m＝3(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義，可得答案；（2）根據(jù)一元一次方程的定義，可得答案．【詳解】（1）由關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得，解得m＝3．當(dāng)m＝3時，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．（2）由關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得m+1＝0或，解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，當(dāng)m＝﹣1或m＝0，m＝2時，關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【易錯二利用一元二次方程的解求待定系數(shù)時忽略“a≠0”】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關(guān)于的一元二次方程，常數(shù)項為，則的值等于（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可求得的值．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程，常數(shù)項為，∴，∴或，∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴,∴，∴；故選．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，理解一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·新泰市實驗中學(xué)?？家荒＃╆P(guān)于的一元二次方程的一個根為0，則實數(shù)的值是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再解關(guān)于a的方程，然后根據(jù)一元二次方程定義確定a的值．【詳解】解：把代入一元二次方程得，解得，而，的值為，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是注意．2．（2023秋·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有一個根為0，則．【答案】【分析】把代入方程，解方程即可求得的值，且，從而即可得到答案．【詳解】解：把代入方程得，，解得：，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解題時，注意關(guān)于的一元二次方程二次項系數(shù)不為零，即．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若是一元二次方程的一個根，則的值是．【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入得，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：把代入得，解得，，，．故答案為：2【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，還考查了二次根式有意義的條件．4．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是，則．【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得，根據(jù)一元二次方程的解的定義將代入原方程，得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個根是，∴且，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的解的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┤絷P(guān)于的一元二次方程有一個根為，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義，將代入關(guān)于x的一元二次方程得到關(guān)于k的方程求解，再根據(jù)一元二次方程定義確定k值即可得到答案．【詳解】解：由題意得：把代入方程，得：，解得：，，，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的定義及一元二次方程根的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解決問題的關(guān)鍵．【易錯三利用判別式求字母的值或取值范圍時忽略“a≠0”】例題：（2023春·北京西城·九年級?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式大于零即有兩個不相等的實數(shù)根即可求出答案．【詳解】解：關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，且．故答案為：且．【點睛】本題考查了根的判別式的知識點，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握，方程有兩個不相等的實數(shù)根；，方程有兩個相等的實數(shù)根；，方程沒有實數(shù)根．解題的易錯點在于此方程系數(shù)不能為0．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·?？家荒＃┮阎辉畏匠逃袃蓚€相等的實數(shù)根，則k的值是．【答案】4【分析】由關(guān)于一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即可得根的判別式且，繼而可求得的值．【詳解】解：∵一元二次方程，∴，且，解得：．故答案為：4．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識．此題比較簡單，注意掌握一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即可得．2．（2023春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學(xué)校?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍為．【答案】且【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍．【詳解】解：關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，解得：，，，的取值范圍為且，故答案為：且．【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式，列出關(guān)于的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程：(1)當(dāng)時，求方程的根；(2)若此方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍；【答案】(1)(2)且【分析】（1）把帶入方程，求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可進行解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時，原方程為：，，解得：．（2）根據(jù)題意得：，∴，，∵此方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：．∵方程為一元二次方程，∴．綜上：且．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，和一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟，以及當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．4．（2023·北京·校考模擬預(yù)測）關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，求此方程的根．【答案】(1)或(2)，【分析】（1）一元二次方程有兩個實數(shù)根，則二次項系數(shù)不為，且；（2）由（1）可得的取值，解方程即可．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，解得：或．（2）解：為正整數(shù)，且或，．原方程為，解得，．當(dāng)為正整數(shù)時，該方程的根為或．【點睛】本題考查了一元二次方程根的個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)取滿足要求的最小正整數(shù)時，求方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，則根的判別式，且，求出的取值范圍即可；（2）得到的最小整數(shù)，利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，即，且，解得：且；（2）滿足條件的最小正整數(shù)是，此時方程為，解得：，．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【易錯四利用根與系數(shù)關(guān)系求值時忽略“△≠0”】例題：（2023春·安徽馬鞍山·八年級安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期末）若、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，且，則的值為．【答案】3【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)得到，解方程求出k的值，最后用根的判別式驗證是否符合題意即可．【詳解】解：∵、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，∴，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則實數(shù)．【答案】3【分析】利用一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求出m的取值范圍，由根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解得的值，根據(jù)求得的m的取值范圍，確定m的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍．(2)若兩個實數(shù)根分別是，，且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，繼而求得實數(shù)的取值范圍；（2）由方程的兩個實數(shù)根為、，且，可得方程，解關(guān)于的方程求得答案．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．，即；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，，，解得或，而，的值為．【點睛】此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．注意方程有兩個不相等的實數(shù)根，若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：，是方程的兩根時，，．3．（2023·廣東江門·廣東省江門市實驗中學(xué)?？家荒＃╆P(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)的值不存在【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求解；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，即可求解．【詳解】（1）解：該方程有兩個不相等的實數(shù)根，，，，，，解得：，的取值范圍為：；（2），，，，，解得，的值不存在．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及解不等式的綜合運用．掌握一元二次方程中根的判別式的含義，并會解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東東營·八年級東營市實驗中學(xué)校考期中）關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，并且．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)滿足，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，代入已知等式中，求出m值即可．【詳解】（1）解：∵方程有兩個實數(shù)根，，并且，∴，∴；（2）解：∵，是該方程的兩個根，∴，，∵，∴，解得：或，∵，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．5．（2023春·四川南充·九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的一元二次方程有，兩實數(shù)根．(1)若，求及的值；(2)是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再根據(jù)已知條件式推出，求出或，再根據(jù)根的判別式求出即可得到答案．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有，兩實數(shù)根，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵關(guān)于的一元二次方程有，兩實數(shù)根，∴，，∵，∴，即∴，∴，即，∴，即，解得或，又∵方程關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，∴存在，滿足．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數(shù)根，則．【易錯五與幾何圖形結(jié)合時取舍不當(dāng)或考慮不全】例題：（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長恰好是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的周長為【答案】15【分析】分情況討論：若a作為腰，則方程的一個根為6，將6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周長；將a作為底，則說明方程有兩個相等的實數(shù)根，則根據(jù)求出k的值，然后將k的值代入方程求出解，得出周長．【詳解】若為腰，則中還有一腰，即6是方程的一個根．∴解得：將代入得：解得：．，此時能構(gòu)成三角形，的周長為：若為底，則，即方程有兩個相等的實根．∴解得：將代入得：解得：．，∵∴此時不能構(gòu)成三角形，不能計算周長綜上可得：的周長為15．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判別式等知識，按若是否為底邊分類討論和構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．特別注意驗證是否能構(gòu)成三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江大慶·八年級校聯(lián)考期中）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰的長，則這個三角形的周長是（

）A．12 B．15 C．12或15 D．18或9【答案】B【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的兩個根，然后分別討論兩個根為底邊時能否構(gòu)成三角形，最后求解即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵當(dāng)?shù)诪?，腰為時，由于，不符合三角形三邊關(guān)系，∴等腰三角形的腰為，底為，∴周長為，故選B．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程和構(gòu)成三角