八年級奧數(shù)專題資料

目錄

本內容適合八年級學生競賽拔高使用。注重中考與競賽的有機結合，重點落實在中

考中難以上題、奧賽方面的基礎知識和基本技能培訓和提高。本內容難度適中，講練結

合，由淺入深，講解與練習同步，重在提高學生的數(shù)學分析能力與解題能力。另外在本

次培訓中，內容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實際教學過程中可以根據(jù)學生

的具體狀況和層次，由任課教師適當?shù)恼{整順序和選擇內容（如專題復習可以提前上）。

注：有（*）標注的為選做內容。

本次培訓具體計劃如下，以供參考：

第一講如何做幾何證明題

第二講平行四邊形（一）

第三講平行四邊形（二）

第四講梯形

第五講中位線及其應用

第六講一元二次方程的解法

第七講一元二次方程的判別式

第八講一元二次方程的根與系數(shù)的關系

第九講一元二次方程的應用

第十講專題復習一：因式分解、二次根式、分式

第十一講專題復習二：代數(shù)式的恒等變形

第十二講專題復習三：相似三角形

第十三講結業(yè)考試（未裝訂在內，另發(fā)）

第十四講試卷講評

第一講：如何做幾何證明題

【知識梳理】

1、幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學生邏輯思維能力有著很大作用。

幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關系；二是有關平面圖形的位置關系。

這兩類問題常?？梢韵嗷マD化，如證明平行關系可轉化為證明角等或角互補的問題。

2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因導果），從己知條件出發(fā)，通過有關定義、定理、公理的應用，逐步

向前推進，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再

把所需的條件看成要證的結論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于

表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設與結論的距

離，最后達到證明目的。

3、掌握構造基本圖形的方法：復雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復雜

醫(yī)形分解成基本圖形。在更多時候需要構造基本圖形，在構造基本圖形時往往需要添加

輔助線，以達到集中條件、轉化問題的目的。

【例題精講】

【專題一】證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關系。很多

其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用

全等三角形的性質，其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與

性質等也經(jīng)常用到。

【例1】已知：如圖所示，“H2中，ZC=90°,AC=BC,AD=DB,AE=CFo

求證：DE=DF

CFB

【鞏固】如圖所示，己知“fit為等邊三角形，延長BC到D,延長BA到E,并且使

AE=BD,連結CE、DEO

求證：EC=ED

【例2】已知：如圖所示，AB=CD,AD=BCfAE=CF.

求證：/E=/F

【專題二】證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同

位角、內錯角或同旁內角的關系來證，也可通過邊對應成比例、三角形中位線定理證明。

證兩條直線垂直，可轉化為證一個角等于90°,或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三

線合一”來證。

【例3】如圖所示，設BP、C。是八肛的內角平分線，AH,4K分別為A到3P、CQ

的垂線。

求證：KH//BC

BC

【例4】己知：如圖所示，AB=4C,▼%委

求證：FDLED

【專題三】證明線段和的問題

（一）在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截

長法）

【例5】如圖，四邊形ABCD中，AO〃3C,點E是48上一個動點，若NB=60°,AB

=BC,

且NZ）￡C=60°；

求證：BC=AD~\~AE

【鞏固】已知：如圖，在“BT中，上目^,NBAC、N3CA的角平分線A。、CE相

交于。。

求證：AC=AE-I-CD

A

C

（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段,

證明該線段等于較長線段。（補短法）

【例6】已知：如圖7所示，正方形A8C。中，/在上，E在上，z

求證：EF=BE+DF

【專題四】證明幾何不等式：

【例7】己知：如圖所示，在AV3T中，4。平分N3AGAB>AC.

求證：

［拓展］中，0,求證:

A

BDC

第二講：平行四邊形（一）

【知識梳理】

1、平行四邊形：

平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：

（1）平行四邊形對角相等；

（2）平行四邊形對邊相等；

（3）平行四邊形對角線互相平分。

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

（1）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

2、特殊平行四邊形：

一、矩形

（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等。

（4）矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

（5）矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

二、菱形

（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）定理1:菱形的四條邊都相等

（3）菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角.

（4）菱形的面積等于菱形的對角線相乘除以2

（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

（6）菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

三、正方形

（1）有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形

（2）性質：①四個角都是直角，四條邊相等

②對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形

②有一個角是直角的菱形是正方形

【例題精講】

【例1］填空題:

在下列特征中，

（1）四條邊都相等平行四邊形具有的是:

（2）對角線互相平分

（3）對角線相等矩形具有的是：_____

（4）對角線互相垂直

（5）四個角都是直角菱形具有的是：_____

（6）每一條對角線平分一組對角

（7）對邊相等且平行正方形具有的是：_

（8）鄰角互補

【鞏固】

1、下列說法中錯送的是（）

A.四個角相等初四邊形是矩形8四條邊相等的四邊形是正方形

C對角線相等的菱形是正方形。.對角線互相垂直的矩形是正方形

2、如果一個四邊形的兩條對角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個四邊形是（）

A矩形B.菱形C.正方形D菱形、矩形或正方形

3、下面結論中，正確的是（）

A對角線相等的四邊形是矩形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C對角線互相垂直的四邊形是菱形D對角線互相垂直且相等的四邊形是正方

4、如圖，在△ABC中，點O、E、尸分別在邊48、BC、C4上，且。石〃C4,DF//BA.下

列四種說法：

①四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果NB4C-90。，那么四邊形A￡DF是矩形；

③如果AO平分N8AC,那么四邊形AEDF是菱形；

④如果且A8=AC,那么四邊形AEEF是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號）

BD

【例2】如圖，在平行四邊形A88中，點、E,尸分別是AD,8c的中點.

求證：四邊形是平行四邊形.

【鞏固】己知，如圖9,E、尸是四邊形A5CO的對角線4c上的兩點，AF=CE,DF=

BE,DF〃BE.

四邊形ABC。是平行四邊形嗎？請說明理由.

【例3】如圖，梯形48co中，AB//CD,AC平分N3AD,CE//AD交AB于點、E.

求證：四邊形AECD是菱形.

【例4】如圖，在等邊△A8C中，點。是8c邊的中點，以AO為邊作等邊△ADE.

(1)求NC4E的度數(shù)；

(2)取A8邊的中點R連結。尸、CE,試證明四邊形AFCE是矩形.

BD

【鞏固】如圖，。為矩形ABCO對角線的交點，DE//AC,CE//BD.

(1)試判斷四邊形OCE1。的形狀，并說明理由；

(2)若4B=6,BC=8,求四邊形OCEO的面積.

【例5】如圖所示，在△A8C中，分別以A3、AC.3C為邊在的同側作等邊△A8。、

等邊△ACE、等邊△BCF.

(1)求證：四邊形04所是平行四邊形；c

(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)

①當△ABC滿足條件時，四邊形以￡尸是矩形；

②當△ABC滿足條件時，四邊形/是菱形；

③當△ABC滿足條件時，以。、A、E、尸為頂點的四邊形

不存在.

第三講：平行四邊形(二)

【知識梳理】

由平行四邊形的結構知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平

行線的有關性質，因此，平行四邊形是全等三角形知識和平行線性質的有機結合，平行

四邊形包括矩形、菱形、正方形C

另一方面，平行四邊形有許多很好的性質，使得構造平行四邊形成為解幾何題的有

力工具。

【例題精講】

【例1】四邊形四條邊的長分別為加、〃、p、q,且滿足〃/+/=2/加+2〃4，

見這個四邊形是()

4平行四邊形正對角線互相垂直的四邊形

C.平行四邊形或對角線互相垂直的四邊形。.對角線相等的四邊形

【例2】如圖①，四邊形A8CZ)是正方形，點G是8C上任意一點，Z)E_LAG于點E,

BFA.AG于點F.

(1)求證：DE-BF=EF.

(2)當點G為8C邊中點時，試探究線段所與G戶之間的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)若點G為CB延長線上一點，其余條件不變.請你在圖②中畫出圖形，寫出此時DE、

BF、M之間的數(shù)量關系(不需要證明).

圖②

【鞏固】如圖1,在邊長為5的正方形A8CD中，點E、尸分別是3C、OC邊上的點,

且BE=2.

(1)求EC：C尸的值；

(2)延長E/交正方形外角平分線CP于點P(如圖13—2),試判斷AE與石尸的大小

關系，并說明理由；

(3)在圖2的A8邊上是否存在一點M,使得四邊形是平行四邊形？若存在,

請給予證明；若不存在，請說明理由.

BEBEC

圖1圖2

【例3】如圖，在矩形ABCQ中，已知AZ)=12,AB=5,P是4D邊上任意一點，PE1

BD于E,PFIAC^F,求PE+PF的值。

【例4】如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,AD±BC,BE、AF分別是NABC、ZDAC

的平分線，BE和AD交于G,求證：GF//AC.

B

DF

【例5】如圖所示，RfZXABC中，ZBAC=90°,AO_L8C于Q,8G平分NA8C,EF

〃BC且交AC于凡求證：AE=CF.

【鞏固】如圖，在平行四邊形ABCO中，NB,NO的平分線分別交對邊于點E、F,交

四邊形的對角線AC于點G、Ho求證：AH=CG.

第四講：梯形

【知識梳理】

與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重

要地位，本講就來研究它們的有關性質的應用。

一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，

其判定和性質定理與等腰三角形的判定和性質類似。

通過作輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，

常用的輔助線的作法是：

1、平移腰：過一頂點作一腰的平行線；

2、平移對角線：過一頂點作一條對角線的平行線；

3、過底的頂點作另一底的垂線。

熟悉以下基本圖形、基本結論：

平移一腰平移一腰從一底的兩端作另一底的垂線

Lb二zn\

&

平移對角線延長兩腰交于一點連結上底一端和腰中點并延

長，與下底的延長線交于一點

中位線概念：

⑴三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

⑵梯形中位線定義：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.

三角形的中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。

梯形的中位線性質：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。

【例題精講】

【例1】如圖所示，在梯形A8CO中，AD//BC,A8=8,PC-6,N8=45°,8c'=10,

求梯形上底AD的長.

【例2】如圖所示，在直角梯形A3CO中，ZA=90°,AB//DC,AO=15,45=16,

BC=17.求CO的長.

【例3】如圖所示，在等腰梯形48CO中，AD//BC,對角線ACJ_8O,BD=6cm.求梯

形ABC。的面積.

【例4】如圖所示，四邊形48CZ）中，4。不平行于8C,AC=BDfAD=BC.判斷四邊

形ABCQ的形狀，并證明你的結論.

【鞏固】

1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°,它的兩底分別為15cm和49cm,求它的

腰長.

2、如圖所示，己知等腰梯形ABCD中，AD//BC,AC±BDfAD+8C=10,DE±BC

于E,求OE的長.

3、如圖所示，梯形人BCO中，AB//CD,ZD=2ZB,AO+OC=8,求A3的長.

【例5】己知：如圖，在梯形48co中，AD//BC,E是C。的中點，且AE_LBE.

求證：AD-\-BC=AB

【鞏固】如圖所示，梯形A3CD中，AD//BC,E是CO的中點，且AO+BC=A3

求證：DE±AEO

【例6】如圖，在梯形A8co中，AD//BC,E、F分別是A。、BC的中點，若NB

+ZC=90°.AO=7,8C=15,求E尸.

BFC

第五講：中位線及其應用

【知識梳理】

1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

2、中位線性質定理的結論，兼有位置和大小關系，可以用它判定平行，計算線段的長

度，確定線段的和、差、倍關系.

3、運用中位線性質的關鍵是從出現(xiàn)的線段中點，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。

4、中位線性質定理，常與它的逆定理結合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段

定理及推論，

①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等

②經(jīng)過三角形一邊中點而平行于另一邊的直線，必平分第三邊

③經(jīng)過梯形一腰中點而平行于兩底的直線，必平分另一腰

5、有關線段中點的其他定理還有：

①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半

②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合

③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

④線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等

因此如何發(fā)揮中點作用必須全面考慮。

【例題精講】

【例1】已知△ABC中，及是AB上一點，AD=AC,AEJLCZ）于E,尸是的中點，試

說明BD=2EF.

【鞏固】己知在△48C中，ZB=2ZC,于。，M為BC的中點.

BDM

【例2】已知七、尸、G、”是四邊形ABCO各邊的中點

則①四邊形EFGH是形

②當AC=BO時，四邊形EFG”是形

③當AC_LBO時，四邊形EFG”是形

④當AC和8。時，四邊形EFG”是正方形。

【鞏固】如圖，等腰梯形A8CD中，AD//BC,"、N分別是A。、BC的中點，E、尸分

另I.是BM、CM的中點。

(1)求證：四邊形MEN尸是菱形；

(2)若四邊形MEN尸是正方形，請?zhí)剿鞯妊菪蜛BC。的高和底邊BC的數(shù)量關系，

并證明你的結論。

【例3】梯形"8中，AB//S%N分別是AC、8D的中點。求證：MN=；(AB

一CD)

AB

【鞏固】如圖，在四邊形4BCO中，AB>CD,E、尸分別是對角線BD、AC的中點。

求證：EF>-(AB-CD)

2

【拓展】爪尸為四邊形4BCO的一組對邊A。、8C的中點，若M=’（48+。。），問：

2

四邊形ABCD為什么四邊形？請說明理由。

【例4】四邊形A8CO中，G、”分別是A。、的中點，AB=CD.BA.CD的延長線交

HG的延長線于￡、F。求證：ZBEH=ZCFH.

【例5】如圖，/XABC的三邊長分別為AB=14,BC=16,AC=26,尸為NA的平分線

AD上一點，且M為8c的中點，求尸M的長。

【鞏固】己知：△ABC中，分別以A3、AC為斜邊作等腰直角三角形A3M和CAN,P

是8C的中點。求證：PM=PN

第六講：一元二次方程的解法

【知識梳理】

形如?+法+c=0(叱0)的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是

解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方

法。

求根公式工=士如心竺內涵豐富：它包含了初中階段己學過的全部代數(shù)運算；

2a

它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展

示了數(shù)學的簡潔美。

【例題精講】

【例11選用恰當?shù)姆椒ń夥匠?基礎題)：

(1)(2)f-9=0(3)(1-3X)2=1；

(4)Ct-2)(r+1)=0(5)f+8x=2(6)x1-7x+6=0

(7)X2-4X-21=0(8)f-2x75=0(9)4x2-12x4-9=0

(10)-a2-4a+21=0(II)X2+11X+18=0(12)2X2-X-3=0

(13)x(x-6)=2(14)(2X+1)2=3(2X+1)(15)加2+76—15=0

(16)3/+4。-4=0(17)3Z?2+14Z?=5(18)2>/3X24-X-73=0

(19)X4-X2-20=0(20)(3X+5)2-5(3X+5)-6=0；

【例2】用適當?shù)姆椒ń庀铝嘘P于X的方程(提高題)：

(1)(3x-2X4x+3)=5；(2)-2x-3327=0；

(3)(5x-3)2-12=4(5x-3)；(4)(3x-lX，r-1)=(4x+1X^-1);

(5)(2-V3)r2-2(V3-l)x-6=0o

【鞏固】用適當?shù)姆椒ń庀铝嘘P于X的方程:

(1)(x-2)2-9(x+1)2=0；(2)x2-6ax=b2-9a2；

2

(3)2x+(272-73)r-V6=0o(4)(2X+1XX-3)=(4X-1X3-JV)O

【拓展】解方程：（6X+7）2（3X+4）（X+1）=6；

【例3】解方程：X2-3|A|-4=0O

【鞏固】解方程:

(1)x2-|x-l|-l=(2)刑-1-2=0

【例4】解關于x的方程：（，%-1卜2+（2加一l）x+機一3=0。

【鞏固】解關于A1的方程：x2-4px+4p2+5x-10p-6=0o

【例5】已知方程V一息一7=0與/一6X一（2+1）=0有公共根。

（1）求2的值；

（2）求二方程的所有公共根和所有相異根。

【鞏固】是否存在某個實數(shù)加，使得方程X?十g+2=0和X?+2x+〃?=0有且只有一個

公共的實根？如果存在，求出這個實數(shù)機及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理

由。

第七講：一元二次方程的判別式

【知識梳理】

一、一元二次方程4/2+bx+C=O（〃w0）根的情況：令△=62-4dC。

-b+y/b2-44c—b—dif--4ac

1、若△>（）,則方程有兩個不相等的實數(shù)根:

2a2a

2、若△=（）,則方程有兩個相等的實數(shù)根：x,=x=-—；

22a

3、若A<0,則方程無實根（不代表沒有解）。

二、1、利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性；

2、運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍;

3、通過判別式，證明與方程有關的代數(shù)問題；

4、借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最

值問題。

【例題精講】

【例1】已知方程這2+以-1=0；則①當。取什么值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根?

②當。取什么值時，方程有兩個相等的實數(shù)根？③當。取什么值時，方程沒有實數(shù)根？

【鞏固】1、已知關于x的方程丁+2（2-機）x+3-6機=0。

求證：無論相取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；

2、已知關于x的一元二次方程（"2狀2-2病口-1=0有兩個大相等的實數(shù)根，求人的

取值范圍。

【拓展】關于X的方程上/-1-1卜+1=0有有理根，求整數(shù)上的值0

【例2】已知關于上的方程V一々+2卜+2攵=0。

(1)求證：無論％取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；

(2)若等腰三角形4BC的一邊長。=1,另兩邊長仄c恰好是這個方程的兩個根，求

△ABC的周長。

【鞏固】1、等腰三角形ABC中，BC=8,AB.AC的長是關于x的方程/一10%+機=0的

兩根，則〃7=o

2、在等腰三角形4BC中，NA、/B、NC的對邊分別為a、b、c,已知。=3,力和c

是關于x的方程2-'=°的兩個實數(shù)根‘求三角形施的周長。

【拓展】已知對于正數(shù)a、b、c,方程。2%2+(°2一/一°2卜+從=0沒有實數(shù)根，求證:

以長a、b、c的線段為邊能組成一個三角形。

【例3】設方程旨+何=4有三個不相等的實數(shù)根，求。的值和相應的3個根。

【鞏固】已知關于/的方程/+(l-a)x2-2?x+?2=0有且只有一個實根，則實數(shù)。的取

值范圍是

【例4】設a,b,c,d>0f證明在方程

1x2+

一X十yjla+bx+4cd=0；

2

12

-X+y[2b+'cx+=0；

2

12

-X+J2c+dx+4ab=0；

2

12

—X+yjld+ax+4bc=0,

2

中，至少有兩個方程有不相等的實數(shù)根。

第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關系

【知識梳理】

一元二次方程ox?+/?x+c=O（a工0）的根與系數(shù)的關系（韋達定理）

bc

設方程的兩個根%x,則XI+X,=--?xx=-O

2a}2a

韋達定理用途比較廣泛，運用時，常需要作下列變形：

2

(I)X：+=(X]+X2)-2xtx2；

x_X)+x_(陽+%)2-2七工2.

(2)22

X]X?中2

3:

(3)x/+x2=(%1+x2+x2)-3XjX2

(4)(X]-％)2=(司+)2-4芭馬；

2X+X2

(5)1^-X2\yj(x}-X2)=7(12)-4x^2O

【例題精講】

【例1］求下列方程的兩根之和，兩根之積。

(1)f—2r+l=o；(2)—10=0；

解：X,+x2=,內占=------解：x}+x2=X%2=--------

(3)Zx2—9x+5=0；(4)4X2-7X+1=0；

解：X+/=百/=------解：x}+x2=司”----

(5)2?-5x=0；(6)x2—1=0

解：xx+x2=g=------解：xx+x2=書=------

【例2】設X2是方程2?+以-3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的

值：

(1)(xi+1)(X2+1)=；(2)X|2X2+X1X22=;(3)三十%=

Mx2

(4)(XI+X2)2=(5)(XI-X2)2=；(6)X|3+X23=

【例3】解答下列問題：

(1)設關于x的一元二次方程/-4工-2(&-1)=0有兩個實數(shù)根2、/，問是否存在

%1+X2<%1的情況?

(2)己知：樸々是關于X的方程/+(2。-1卜+/=0的；兩個實數(shù)根，且

(A,+2XX2+2)=11,求〃的值。

【鞏固】

1、已知關于文的方程/+?+〃=()有兩個實數(shù)根，且物-％=7,則

a=o

2、己知a、夕是方程爐一冗_1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式/+。仿2_2)的值為

【例4】己知關于x的方程：x2-(m-2)x--=0

4o

(1)求證：無論加取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根；

(2)若這個方程的兩個實根樸々滿足同=聞+2,求〃?的值及相應的樸聲。

【鞏固】已知關于x的方程，一（2%-3）冗+公+1=0。

（1）當2為何值時，此方程有實數(shù)根；

（2）若此方程的兩個實數(shù)根和芍滿足㈤+同=3,求欠的值。

【例4】。。是斜邊上的高線，AD.8。是方程——6x+4=0的兩根，WJAABC

的面積是多少？

【鞏固】已知△ABC的兩邊AB.AC的長是關于x二次方程--（24+3,+公+3%+2=0

的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5。

（1）2為何值時，△A8C是以3c為斜邊的直角三角形；

（2）Z為何值時，△A8C是等腰三角形，并求△ABC的周長。

第九講：一元二次方程的應用

【知識梳理】

方程是刻畫現(xiàn)實問題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多

實際問題可轉化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質而獲解。

列一元二次方程解應用題的一般步驟與列一元一次方程解應用題的一般步驟基本

相同，解題的關鍵是恰當設未知數(shù)、分析數(shù)量關系，將實際問題中內在、本質的聯(lián)系抽

象為數(shù)學問題，建立二次方程模型解決問題。

【例題精講】

【例1】要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)省材料，雞場的一邊靠著原有

的一條墻，墻長am,另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長為35m。

（1）求雞場的長和寬各為多少？

（2）題中墻的長度〃m對題目的解起著怎樣的作用？

【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過多，對館中的珍貴文物會

產生不利影響；但同時考慮文物的修繕和保存費用問題，還要保證一定的門票收入，因

此博物館采用了漲浮門票的價格來控制參觀人數(shù)，在該方法實施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀

人數(shù)與票價之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬

【例3】將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個，已知這種商品每

個漲價1元，其銷售量就減少10個，問為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這

時應進貨多少個？

【例4】甲、乙二人同時從同一地點相背而行，1小時后分別到達各自的終點A與

若讓他們仍從原地出發(fā)，互換彼此到達的目的地，則甲將在乙到達A之后35分鐘到

達B,求甲與乙的速度之比。

【例5】一支士兵隊伍長1200米，在行軍途中，隊伍正中間的某士兵接受任務，追趕隊

伍的排頭兵，并在到達排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任

務時，隊伍已經(jīng)前進了1200米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位

士兵共走了多少路程？

【例6】象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記

。分，如果平局，兩個選手各記1分，今有4個同學統(tǒng)計了比賽中全部選手的得分總數(shù),

分別是1980、1981、1993、1994,經(jīng)核實確實有一位同學統(tǒng)計無誤，試計算這次比賽中

共有多少名選手參加。

【鞏固】

1、在青島市開展的創(chuàng)城活動中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長15m）的空地上修建

一個矩形花園A8C。，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成（如圖所示）,

若設花園的邊長為xm,花園的面積為yn?。

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）滿足條件的花園面積能達到200m2嗎？若能，求出此時x的值；若不能，說明理

由；

（3）當x取何值時，花園的面積最大？最大面積為多大///////

AD

BC

2、某水果批發(fā)商場有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)

市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克,

現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少

元？

3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一

岸700米處，然后繼續(xù)前進，都到達對岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米

處，如果認為船到岸調轉方向時不耽誤時間，問河有多寬？

4、一支士兵隊伍長10()米，在行軍途中，隊伍正中間的某士兵接受任務，追趕隊伍排

頭，并在到達排頭后立即回到隊伍的末尾，然后再立即返回隊伍正中間，在他完成任務

時，隊伍已前進了100米，如果行軍途中隊伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共

走了多少路程？

5、象棋比賽共有奇數(shù)個選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一

盤得1分，和一盤各得0.5分，負一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的

平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？

第十講：專題復習：因式分解、分式和根式

【知識梳理】

一、因式分解：

1、常用的公式：

平方差公式：cr-b2=(a+b\a-b)；

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±bf

a1-\-b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：

a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca=(?+Z?-c)2；

a2+b2+c2-lab+2bc-2ca=(?-/?-1?)2；

立方和(差)公式：a3+h3=(a-￥b^a2-ah+b2)；

a3-h3=(a-h^a2+ab+b2)；

2、許多多項式分解因式后的結果在解題中經(jīng)常用到，我們應熟悉以下的常用結果：

(1)ab±b±a+\=(a±lX^il);

(2)ab±a+b-l=[a^i1);

(3)〃4+4=(/+2〃+2儲-2〃+2)；

(4)4/+1=(2/+2。+1)(2/-24+1)；

(5)a2+b2+c2+lab+2bc+2ac=(a+b+cf；

(6)a3+by+c3-3abc=(?+/7+c^a2+Z?2+c2-ab-bc-ac)^

二、分式：

1、分式的意義

形如捺(A、B為整式),其中8中含有字母的式子叫分式。

當分子為零且分母不為零時，分式的值為零，而當分母為零時，分式?jīng)]有意義。

2、分式的性質

(1)分式的基本性質：

2=（其中M是不為零的整式）。

BBxMB^M

（2）分式的符號法則：

分子、分母與分式本身的符號，改變其中的任何兩個，分式的值不變。

（3）倒數(shù)的性質：

a--=\(a=\(a>0)；若〃」=1,貝=1(awO,〃是整數(shù));

ay/aa\a)

a^-->2(a>0)o

a

3、分式的運算

八13、一田、4.mi*a,ba+ba,cad±bc

分式的運算法則有：一士一=----,-±-=-------;

cccbdbd

acaca啜胡號"是正整數(shù)）。

—?,—

bdbdbd

4、分式的變形

分式的基本性質是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設參法（主

要用于連比式或連等式），拆項法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。

三、二次根式：

1、當時，稱右為二次根式，顯然右20。

2、二次根式具有如下性質：

(1)(V^)2=a(a>0)；(2)\[a^=時=?當aNOB寸，

當"Ofl寸;

(3)4ab=4a-4b(a>0,Z?>0)；(4)>0,/?>0)o

3、二次根式的運算法則如下：

(1)ajc±b4c=(a±b)Jc(c>0)；

(2)(Va)f=\[a"{a>0)o

4、設a,b,c,d,meQt且〃z不是完全平方數(shù)，則當?shù)﹥H當〃=c,6=d時,

a+b\[m=c-\-d4rn。

【例題精講】

【例1】分解因式：X2+xy-6y2+x+13^-6

【鞏固】分解因式：

1>x2-xy-2y2-x+5y-2；2、3爐+5盯一2y?+%+9y-4；

【例2】已知〃、b、C是一個三角形的三邊，貝1」/+//+04-242加—2/02一2。2〃2的值是

()

A.恒正A恒負C.可正可負D非負

3、2為何值時，多項式/一2孫十62+3x-5y+2能分解成兩個一次因式的積?

【例3】已知以人是實數(shù)，且+/+@=1,問。、8之間有怎樣的關系？

請推導。

【專題訓練】

1、己知ab+a+b+l=13,求a+b的值為

2、多項式爐+ar），+by2-5x+y+6的一個因式是x+y-2,試確定a+b的值為

3、設36=a+2c,求”2一96+4^+4。。的值。

4、若加0,且設工"￡=*,則好遜也皿=___________

cababc

5、已知1=q，2=*,3=上，則x=______________

x+yy+zz+x

6、已知。+/=I991,^+x2=1992,c+x2=1993,且"c=24,則

abc111

---d-----+-------------------______________________

becaababc

7、當x變化時，分式3：+6x+5的最小值為

-X2+X+1

2

8、設一心一二］,則6:3

x-/nx+1x-mx+\

9、已知實數(shù)〃滿足|1992—4+，々-1993=々,則。一19922=

2n

10＞化簡

V2+V3+V5

11、己知五=則"x+x?=

Na

12、設J39-質的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為8,則二+U,

a+ba+^-b

13、設等式宰(x-4)+=Jx-a-Ja-y在實數(shù)范圍內成立,其中a,x,y兩

c22

兩不同，則31+盯_；

14、使等式6+6=回成立的整數(shù)對(x,)，)的個數(shù)為

15、設正整數(shù)a,m,〃滿足Ja?一4后=-G,則這樣的小機，〃的取值有

組；

12722"

16、求和：S=——1+X+1+/+1+/+…+1+/

17、己知。+力+c=0,化簡^~\~~-+^~~\+\-7

b-+c--a-c-+a--b~a-+b--c

甘,八八工行（1—從人一^）（1—。5―c?）（1—QU"〃）1Vl代

18、若a+Z?+c=ahcwO,計算---------Z+A----△----/+1----△----的值。

beacab

計儻：.—!—+_____1___+_____1____1

19、+???+

丁舁.3+V3573+3757V5+5V749747+47749

20、設M=（4+26],它的小數(shù)部分為P,求〃（1-尸）的值。

第十一講：專題復習：代數(shù)式的恒等變形

【知識梳理】

1、恒等式的意義

兩個代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩

個代數(shù)式恒等。

2、代數(shù)式的恒等變形

把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證

明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等。

3、基本思路

（1）由繁到簡，即從比較復雜的一邊入手進行恒等變形推到另一邊；

（2）兩邊同時變形為同一代數(shù)式；

中左邊?

（3）證明：左邊-右邊=0或此時右邊￥0。

4、基本方法

在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項法、綜合法、分析法、比

較法、換元法、待定系數(shù)法、設參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法。

【例題精講】

【例1】己知求證：--—+—-—+—-—=lo

ab+a+\bc+b+lac+c+1

思路點撥：由繁到簡，化簡左邊，使左邊等于右邊。

222

【鞏固】已知x、y、z為三個不相等的實數(shù)，且x+,=y+,=z+L,求證：xyz=l0

yzx

【拓展】若x+y+zwO,a=——,b=——,c=---,求證：—^―+—^―+—^―

y+zx+zx+ya+\h+\c+1

【例2】證明：」^+-2L^+^^T=_L+_^+-L+3。

ax-aay-aaz-ax-ay-az-aa

思路點撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進行證明。

【鞏固】1＞求證tz+—+[Z?+-1+ab+—

ka)\b)\ab)

bb+c+d

2、求證:

a[a+b)(a+b^a+Z?+c)(a+b+c\a+b+c+d)a(a+b+c+d)

24620111111

【拓展】求證:?4-??|>?4-■?■4"?=，4>4>?■??U

x2-1x2-4x2-9x2-100(x-lX^+10)(x-2^x4-9)(x-10)(x+l)

［例3］已知x=^~-,y=-~~-?z=-―求證：（1+或1+“1+z）=（1—戈）（1-戒1-z）

a+bb+cc+a

思路點撥：左邊和右邊，變形為同一個代數(shù)式。

_(a+0)2+(c+d)2

I、、一「