《平面向量數(shù)量積》教案

2.4平面向量的數(shù)量積課題名稱2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及含義科目數(shù)學(xué)年級高一(1)教學(xué)時(shí)間7.24(一節(jié)課)授課者王斌一、教材內(nèi)容分析平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念，第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會(huì)類比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。二、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能：闡明平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.會(huì)算一個(gè)向量在另一個(gè)上投影的概念，運(yùn)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律和幾何意義.2過程與方法：以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)與形兩方面引導(dǎo)學(xué)生對向量數(shù)量積定義進(jìn)行探究，通過作圖分析，使學(xué)生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：由具體的功的概念到向量的數(shù)量積，再到共線、垂直時(shí)的數(shù)量積，使學(xué)生學(xué)習(xí)從特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，體驗(yàn)法則學(xué)習(xí)研究的過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。三、學(xué)習(xí)者特征分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實(shí)數(shù)的運(yùn)算體系，掌握了向量的概念及其線性運(yùn)算，具備了功等物理知識，并且初步體會(huì)了研究向量運(yùn)算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實(shí)數(shù)運(yùn)算類比的基礎(chǔ)上研究性質(zhì)和運(yùn)算律。這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學(xué)生倍感親切。但也正是這些干擾了學(xué)生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運(yùn)算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，兩個(gè)有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運(yùn)算后，形卻消失了，學(xué)生對這一點(diǎn)是很難接受的；另一方面，由于受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，也會(huì)造成學(xué)生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質(zhì)和運(yùn)算律的理解。因而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)數(shù)量積的概念。四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念.難點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念的理解五、教學(xué)資源實(shí)驗(yàn)（演示）教具計(jì)算機(jī)、黑板、粉筆教學(xué)支持資源制作高效實(shí)用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來節(jié)約課時(shí)，增加課堂容量。六、教學(xué)過程階段安排教學(xué)活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣問題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？問題2：我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用SFα問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移SFα（1）力F所做的功W=。（2）請同學(xué)們分析這個(gè)公式的特點(diǎn)：W（功）是量，F(xiàn)（力）是量，S（位移）是量，α是。問題1的設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的數(shù)學(xué)背景，讓學(xué)生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運(yùn)算，但與向量的線性運(yùn)算相比，數(shù)量積運(yùn)算又有其特殊性，那就是其結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化。問題2的設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生在與向量加法類比的基礎(chǔ)上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學(xué)活動(dòng)指明方向。問題3的設(shè)計(jì)意圖在于使學(xué)生了解數(shù)量積的物理背景，讓學(xué)生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學(xué)自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實(shí)意義的，從而產(chǎn)生了進(jìn)一步研究這種新運(yùn)算的愿望。同時(shí)，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。探究數(shù)量積的概念1、概念的抽象在分析“功”的計(jì)算公式的基礎(chǔ)上提出問題4問題4：你能用文字語言來表述功的計(jì)算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？2、概念的明晰已知兩個(gè)非零向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，它們的夾角為SKIPIF1<0，我們把數(shù)量︱SKIPIF1<0︱·︱SKIPIF1<0︱cosSKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=︱SKIPIF1<0︱·︱SKIPIF1<0︱cosSKIPIF1<0在強(qiáng)調(diào)記法和“規(guī)定”后，為了讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識這一概念，提出問題5問題5：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？3、探究數(shù)量積的幾何意義如圖，我們把│SKIPIF1<0│cosSKIPIF1<0（│SKIPIF1<0│cosSKIPIF1<0）叫做向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上）的投影，記做：OB1=│SKIPIF1<0│cosSKIPIF1<0問題6：數(shù)量積的幾何意義是什么？4、研究數(shù)量積的物理意義數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，學(xué)生就會(huì)明白功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積。問題7：(1)請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。（2）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運(yùn)動(dòng)：①、在水平面上位移為10米；②、豎直下降10米；③、豎直向上提升10米；④、沿傾角為30度的斜面向上運(yùn)動(dòng)10米；分別求重力做的功。學(xué)生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學(xué)生事實(shí)上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎(chǔ)上，我進(jìn)一步明晰數(shù)量積的概念。通過此環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)量積的結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認(rèn)識到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律做好準(zhǔn)備。這樣做不僅讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識數(shù)量積的概念，從中體會(huì)數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時(shí)也更符合知識的連貫性，而且也節(jié)約了課時(shí)。好鋪墊。我設(shè)計(jì)問題一方面使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時(shí)也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)教材中關(guān)于數(shù)量積的三條性質(zhì)是以探究的形式出現(xiàn)的，為了很好地完成這一探究活動(dòng)，在完成上述練習(xí)后，我不失時(shí)機(jī)地提出問題8：（1）將嘗試練習(xí)中的①②③的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？（2）比較︱SKIPIF1<0·SKIPIF1<0︱與︱SKIPIF1<0︱×︱SKIPIF1<0︱的大小，你有什么結(jié)論？在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，然后再由學(xué)生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動(dòng)。2、明晰數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是非零向量，則1、SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=02、當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向時(shí)，︱SKIPIF1<0·SKIPIF1<0︱=︱SKIPIF1<0︱︱SKIPIF1<0︱；當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向時(shí)，︱SKIPIF1<0·SKIPIF1<0︱=-︱SKIPIF1<0︱︱SKIPIF1<0︱，特別地，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=︱SKIPIF1<0︱2或︱SKIPIF1<0︱=SKIPIF1<03、性質(zhì)的證明這樣設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教師只是教學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的研究者，不斷地體驗(yàn)到成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的熱情，不僅使學(xué)生獲得了知識，更培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì).探究數(shù)量積的運(yùn)算律1、運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)關(guān)于運(yùn)算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出問題9問題9：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對向量是否也適用？學(xué)生可能會(huì)提出以下猜測：①SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0②（SKIPIF1<0·SKIPIF1<0）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0·SKIPIF1<0)③（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0+SKIPIF1<0·SKIPIF1<0猜測①的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜測②的正確性，我提示學(xué)生思考下面的問題：猜測②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？學(xué)生通過討論不難發(fā)現(xiàn)，猜測②是不正確的。這時(shí)教師在肯定猜測③的基礎(chǔ)上明晰數(shù)量積的運(yùn)算律：2、明晰數(shù)量積的運(yùn)算律3、證明運(yùn)算律學(xué)生獨(dú)立證明運(yùn)算律（2）師生共同證明運(yùn)算律（3）運(yùn)算律（3）的證明對學(xué)生來說是比較困難的，為了節(jié)約課時(shí)，這個(gè)證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想歸納，然后教師明晰結(jié)論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理論證的能力，同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機(jī)的結(jié)合在一起。通過此問題主要是想使學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上，猜測提出數(shù)量積的運(yùn)算律。我把運(yùn)算運(yùn)算律（2）的證明交給學(xué)生完成，在證明時(shí)，學(xué)生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學(xué)生完善證明，提出以下問題：當(dāng)λ<0時(shí)，向量SKIPIF1<0與λSKIPIF1<0，SKIPIF1<0與λSKIPIF1<0的方向的關(guān)系如何？此時(shí)，向量λSKIPIF1<0與SKIPIF1<0及SKIPIF1<0與λSKIPIF1<0的夾角與向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角相等嗎？應(yīng)用與提高例1、（師生共同完成）已知︱SKIPIF1<0︱=6，︱SKIPIF1<0︱=4,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°，求（SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0）·（SKIPIF1<0-3SKIPIF1<0），并思考此運(yùn)算過程類似于哪種運(yùn)算？例2、（學(xué)生獨(dú)立完成）對任意向量SKIPIF1<0，b是否有以下結(jié)論：（1）(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)2=SKIPIF1<02+2SKIPIF1<0·SKIPIF1<0+SKIPIF1<02（2）(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)·(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=SKIPIF1<02—SKIPIF1<02例3、（師生共同完成）已知︱SKIPIF1<0︱=3，︱SKIPIF1<0︱=4,且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，k為何值時(shí)，向量SKIPIF1<0+kSKIPIF1<0與SKIPIF1<0-kSKIPIF1<0互相垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？解決有關(guān)問題，再安排如下練習(xí)：下列兩個(gè)命題正確嗎？為什么？①、若SKIPIF1<0≠0，則對任一非零向量SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0·SKIPIF1<0≠0．=2\*GB3②、若SKIPIF1<0≠0，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．2、已知△ABC中，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0·SKIPIF1<0<0或SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0時(shí)，試判斷△ABC的形狀。安排練習(xí)1的主要目的是，使學(xué)生在與實(shí)數(shù)乘法比較的基礎(chǔ)上全面認(rèn)識數(shù)量積這一重要運(yùn)算，通過練習(xí)2使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)一步感受數(shù)量積的應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)教材共安排了四道例題，我根據(jù)學(xué)生實(shí)際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的綜合應(yīng)用，教學(xué)時(shí)，我重點(diǎn)從對運(yùn)算原理的分析和運(yùn)算過程的規(guī)范書寫兩個(gè)方面加強(qiáng)示范。完成計(jì)算后，進(jìn)一步提出問題：此運(yùn)算過程類似于哪種運(yùn)算？目的是想讓學(xué)生在類比多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上自己猜測提出例2給出的兩個(gè)公式，再由學(xué)生獨(dú)立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學(xué)生通過類比這一思維模式達(dá)到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質(zhì)和運(yùn)算律的同時(shí)，教給學(xué)生如何利用數(shù)量積來判斷兩個(gè)向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用之一，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)給學(xué)生分析數(shù)與形的轉(zhuǎn)化原理。為了使學(xué)生更好的理解數(shù)量積的含義，熟練掌握性質(zhì)及運(yùn)算律，并能夠應(yīng)用數(shù)量積小結(jié)提升與作業(yè)布置1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量數(shù)量積的兩個(gè)基本應(yīng)用是什么？3、我們是按照怎樣的思維模式進(jìn)行概念的歸納和性質(zhì)的探究？在運(yùn)算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學(xué)思想？4、類比向量的線性運(yùn)算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？布置作業(yè)：1、課本P108習(xí)題2.4A組1、2、3。2、拓展與提高：已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是非零向量，且SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0與7SKIPIF1<0-5SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0-4SKIPIF