2024-2025學年新教材高中數(shù)學滾動復習9空間直線平面的垂直含解析新人教A版必修第二冊

滾動復習9eq\o(\s\up7(),\s\do5())一、選擇題(每小題5分，共35分)1．若兩個平面相互垂直，第一個平面內(nèi)的一條直線a垂直于其次個平面內(nèi)的一條直線b，那么(C)A．直線a垂直于其次個平面B．直線b垂直于第一個平面C．直線a不肯定垂直于其次個平面D．a(chǎn)必定垂直于過b的平面解析：若b為兩個平面的交線，則直線a垂直于其次個平面；若b不是兩個平面的交線，則直線a不肯定垂直于其次個平面．2．從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是(C)A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定解析：若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且n?β，則下列敘述正確的是(C)A．若m∥n，m?α，則α∥βB．若α∥β，m?α，則m∥nC．若m∥n，m⊥α，則α⊥βD．若α∥β，m⊥n，則m⊥α解析：對于A，兩個平面內(nèi)各一條直線相互平行，不能保證兩個平面相互平行，A錯誤；對于B，分別在兩個相互平行的平面內(nèi)的兩條直線不能保證相互平行，B錯誤；對于C，兩條平行線中的一條垂直于一個平面，可得另一條也垂直于這個平面，于是β內(nèi)有一條直線垂直于α，故α⊥β，C正確；對于D，m垂直于β內(nèi)的一條直線，不能保證m垂直于β，故不能得到m垂直于α，D錯誤．4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F(xiàn)分別為線段A1D1，CC1的中點，則直線EF與平面ADD1AA.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)解析：取DD1的中點G，連接EG、FG、EC1，易知∠FEG為直線EF與平面ADD1A1所成的角，設AB＝a，則AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝eq\r(2)a，在△EFC1中可求出EF＝eq\r(3)a，所以在△EFG中，sin∠FEG＝eq\f(FG,EF)＝eq\f(\r(3),3)，故選C.5．如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是(B)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′-BCD的體積為eq\f(1,3)解析：因為平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因為CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.6．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，A1B1的中點，點P在正方體的表面上運動，則總能使MP⊥BN的點PA．4 B．2＋eq\r(2)C．3＋eq\r(5) D．2＋eq\r(5)解析：如圖，取CC1的中點G，連接DG，MG，則MG∥BC.設BN交AM于點E.∵BC⊥平面ABB1A1，NB?平面ABB1A1，∴NB⊥MG.∵正方體的棱長為1，M，N分別是BB1，A1B∴△ABM≌△BB1N，∴∠AMB＝∠BNB1，∴∠AMB＋∠EBM＝90°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB與MP垂直的點P所構(gòu)成的軌跡為矩形ADGM(不包括M點)．∵正方體的棱長為1，∴矩形ADGM的周長等于2＋eq\r(5).故選D.7．(多選)已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個不同平面，則下列命題中正確的是(BC)A.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))?n∥α B.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β))?m∥nC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β))?α∥β D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?β,α∥β))?m∥n解析：A中，n可能在α內(nèi)，D中，m，n可能異面．B、C正確．二、填空題(每小題5分，共20分)8．已知直線l⊥平面α，垂足為A，直線PA⊥l，則AP與平面α的位置關(guān)系是__AP?α__.解析：設AP與l確定的平面為β.假設AP?α，不妨設α∩β＝AM，AP與AM不重合，如圖所示．因為l⊥α，AM?α，所以l⊥AM.又AP⊥l，所以在平面β內(nèi)，過點A有兩條直線垂直于l，這與在同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直沖突，所以假設不成立．所以AP?α.9.如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為4，D為BC的中點，沿AD把△ADC折疊到△ADC′處，使二面角B-AD-C′為60°，則折疊后二面角A-BC′-D的正切值為__2__.解析：易知∠BDC′即二面角B-AD-C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′為等邊三角形．取BC′的中點M，連接DM，AM，則易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A-BC′-D的平面角即∠AMD.在等邊三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等邊三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2.10．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，則四棱錐的五個面PAB，PAD，PCD，PBC和ABCD中，相互垂直的有__5__對．解析：如圖，由面面垂直的推斷定理可知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB，共5對．11．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，則PC與BD的關(guān)系是__垂直__；M是PC上的一動點，當點M滿意__DM⊥PC(或BM⊥PC)__時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)解析：連接AC，因為四邊形ABCD各邊都相等，所以四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC，所以BD⊥PC.故當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.三、解答題(共45分)12．(15分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，PA＝AD＝a.(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥平面PCD.題圖答圖證明：(1)如圖，取CD的中點E，連接NE，ME.∵E，M，N分別是CD，AB，PC的中點，∴NE∥PD，EM∥DA，∴平面NEM∥平面PDA，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.∵底面ABCD是矩形，CD⊥AD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.∵PM＝eq\r(PA2＋AM2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\r(BC2＋MB2)＝MC，N是PC的中點，∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.13．(15分)如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BB1C1C是菱形，∠(1)求證：BC⊥AB1；(2)若AB＝a，AB1＝eq\f(\r(6),2)a，求三棱錐C-ABB1的體積．題圖答圖解：(1)證明：取BC的中點O，連接AO，B1O，如圖．∵側(cè)面BB1C1C是菱形，且∠B∴△B1BC為等邊三角形，∴B1O⊥BC.又△ABC是等邊三角形，∴AO⊥BC，又B1O∩AO＝O，B1O，AO?平面AOB1，∴BC⊥平面AOB1，而AB1?平面AOB1，∴BC⊥AB1.(2)由(1)知OA⊥BC，OB1⊥BC，△ABC和△BB1C是全等的等邊三角形，∴OA＝OB1∵AB＝a，∴OA＝OB1＝eq\f(\r(3),2)a，∵AB1＝eq\f(\r(6),2)a，∴ABeq\o\al(2,1)＝OA2＋OBeq\o\al(2,1)，∴OB1⊥OA，∵OB1⊥BC，又OA∩BC＝O，OA，BC?平面ABC，∴OB1⊥平面ABC，∴VC-ABB1＝VB1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·OB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(a3,8).14．(15分)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影為BC的中點，D是B1(1)證明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直線A1B和平面BB1C解：(1)證明：如圖，設E為BC的中點，連接A1E，AE.由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因為AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.連接DE，由D，E分別為B1C1，BC的中點，得DE∥B1B且DE＝B1B，從而DE∥A1A且DE＝A所以AA1DE為平行四邊形．于是A1D∥AE.因為AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足為F，連接BF因為A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E