大學(xué)物理上冊課后習(xí)題答案

習(xí)題解答

習(xí)題一

di，

1-1IArI與4“有無不同？和—有無不同？和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明.

drd7

解：⑴是位移的模，是位矢的模的增量，即加|=,一訃4=同一同;

口、上士八小nndrIIds

是速度的模，即丁=V=—.

Sdr11dr

上只是速度在徑向上的分量.

（1/

YWr=rr（式中另叫做單位矢），^—=—r+r—

d/d/dr

式中上就是速度徑向上的分量，

d/

t與累不同如題一圖所示.

（3）黑表示加速度的模，即時二

???有p=vf叵表軌道節(jié)線方向亙位矢），所以

式中匚就是加速度的切向分量.

dt

AA

（???匕與形的運(yùn)算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論）

drdr

1-2設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為x=x（f）,y=y（r）,在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時，有人先求出r=

J/+），2,然后根據(jù)口=蟲，及。=5;而求得結(jié)果；又有人先計(jì)算速度和加速度的分量：再合成求

、山dr2

得結(jié)果，即

便+（崇）及T［富你認(rèn)為兩種方法哪.種正確？為什么？兩者差異何

在？

解：后一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有尸二方+行，

故它們的模即為

而前一種方法的錯誤可能有兩點(diǎn)，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作

其二可能是吟與零誤作速度與加速度的模。在一題中已說畔不是速度的樵而只是速度

在徑向上的分量，同樣，u二也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一局部

dr

d2r（

。徑=r—?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢了在徑向（即量值）方面隨時間

的變化率，而沒有考慮位矢尸及速度/的方向隨間的變化率對速度、加速度的奉獻(xiàn)。

1-3一質(zhì)點(diǎn)在工0），平面上運(yùn)動，運(yùn)動方程為

x=3f+5,y=-r2+3r-4.

2

式中，以s計(jì)，X,），以m計(jì).（1）以時間/為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出r=ls時刻和，=

2s時刻的位置矢量，計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；（3）計(jì)算，=0s時刻到，=4s時刻內(nèi)的平均速度；（4）求

出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算1=4s時質(zhì)點(diǎn)的速度；（5）計(jì)算，=0s到/=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）

求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算f=4s時質(zhì)點(diǎn)的加速度（請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、

平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量式）.

解：（1）7=（3/+5）:+（3產(chǎn)+3,-4）Jm

⑵將/=1,，=2代入上式即有

⑶??飛=5了-47，弓=17：+167

⑵+20;

=37+57m-s-1

△t4-0~1~

(4)v=——=37+(r+3)jm-s-1

dr

那么v4=3T+1Jm-s-'

⑸???。0=37+3工%=3：+7了

（6）a=—=\jms-2

d/

這說明該點(diǎn)只有y方向的加速度，且為恒量。

1-4在離水面高h(yuǎn)米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示.當(dāng)人以h（ni-sT）

的速率收繩時，試求船運(yùn)動的速度和加速度的大小.

圖『4

解；設(shè)人到船之間繩的長度為：，此時繩與水面成。角，由圖可知

I1=h2+Y

根據(jù)速度的定義，并注意到/,s是隨，減少的,

d/

L,v山

即

d/sdzscos。

/%(/+$2嚴(yán)％

或Vm=T=—

將U船再對?/求導(dǎo)，即得船的加速度

1-5質(zhì)點(diǎn)沿A?軸運(yùn)動，其加速度和位置的關(guān)系為。=2+6工2,〃的單位為m?s-2,X的單位為m.質(zhì)點(diǎn)

在x=0處，速度為10m?s",試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值.

..dudvdvdv

drdvdrdv

別離變量：udu=adx=(2+6.r2)d\

兩邊積分得

由題知，工=0時，%=10,???<?=50

v=2J/+x+25m-s-1

1-6—質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，其加速度為。=4+3fm-s”,開始運(yùn)動時，x=5m,v=0,求該質(zhì)點(diǎn)在f

=10s時的速度和位置.

加速度與半徑的夾角為

（2）由題意應(yīng)有

24

即=b+？)，=>(v0-bt)=0

，當(dāng)，二衛(wèi)時，a=b

b

1-9半徑為R的輪子，以勻速力沿水平線向前滾動：（1）證明死緣上任意點(diǎn)8的運(yùn)動方程為尤=

R-sin①1）,y=R（l-cos初），式中。=%/R是輪子滾動的角速度，當(dāng)8與水平線接觸的瞬

間開始計(jì)時.此時B所在的位置為原點(diǎn)，輪子前進(jìn)方向?yàn)閤軸正方向：（2）求B點(diǎn)速度和加速度的分量

表示式.

解：依題意作出以下圖，由圖可知

題1-9圖

⑴cn?夕夕

⑵x=v0r-27?sin-cos-

1-10以初速度%==vot-RsmO20m拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60°的

=R（cot-Rsincot）

夾角，

求：（1）球軌道最高點(diǎn)的曲率半徑M：（2）落地處的曲率半徑R2.

（遑示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系）

能：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示.

題1-10圖

⑴在最高點(diǎn)，

又.??瑪.

P^

v)2(20xcos600)2

p,=—=-----------------

A11()

an\

=10m

⑵在落地點(diǎn)，

-1

v2=v0=20m?s,

而4”、=gxcos60"

?**Pi==

a?n2

1-11飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動，其角加速度為￡:rad?S-2,求/=2s時邊緣上各點(diǎn)的速度、

法向加速度、切向加速度和合加速度.

解：當(dāng)f=2s時，==0.2x2=0.4rad-s-1

那么v=R(o=0.4x0.4=0.16m-s-1

1-12如題1T2圖，物體A以相對8的速度i，=J而沿斜面滑動，y為縱坐標(biāo)，開始時A在斜面頂

端高為人處，8物體以〃勻速向右運(yùn)動，求A物滑到地面時的速度.

解：當(dāng)滑至斜面底時，y=h,那么以麗，A物運(yùn)動過程中又受到8的牽連運(yùn)動影響，因此，A

對地的速度為

題1-12圖

1-13一船以速率匕=30km-K沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率匕=4()km-hT

沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何？

解：(1)大船看小艇，那么有%=%-可，依題意作速度矢量圖如題「13圖(a)

(a)(b)

題1-13圖

1

由圖可知v21=Jy；+u；=50km-h

方向北偏西0=arctan—=arctan—=36.87°

嶺4

⑵小船看大船，那么有％2=%-弓，依題意作出速度矢量圖如題1T3圖(b),同上法，得

方向南偏東36.87"

1-14當(dāng)一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但當(dāng)輪船停航時,

甲板上干濕兩局部的分界線卻在篷前3m,如雨滴的速度大小為8m-s',求輪船的速率.

解：依題意作出矢量圖如題1-14所示.

題1-14圖

":"南船="陽一"船

,,,"雨=久H船+”船

由圖中比例關(guān)系可知

習(xí)題二

2-1因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為a”其對于那么為牽連加速度，又知m,寸繩子的相

對加速度為a',故叱對地加速度，由圖(b)可知，為

a2=ai-a/①

又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力「在數(shù)值上等于繩的張力T,由牛頓定律，有

mig-T=miai(2)

T-nbg=m2a2@

聯(lián)立①、②、③式，得

討論(1)假設(shè)a'=0,那么ai=a?表示柱體與繩之間無相對滑動.

(2)假設(shè)a'=2g,那么T:40,表示柱體與繩之間無任何作用力，此時叫，叱均作自由落體運(yùn)動.

題2-1圖

2-2以梯子為對象，其受力圖如圖(b)所示，那么在豎直方向上，

N『mg=0①

又因梯無轉(zhuǎn)動，以B點(diǎn)為轉(zhuǎn)動點(diǎn)，設(shè)梯子長為1,那么

N.dsin0-mg—cos0=0②

一2

在水平方向因其有加速度a,故有

f+NA=ma(3)

題2-2圖

式中f為梯子受到的摩擦力，其方向有兩種可能，

即f=±Uomg?

聯(lián)立①、②、③、④式得

2-3^=-=—=-m-5-2

(1)

于是質(zhì)點(diǎn)在2s時的速度

(2)

mat

別離變量，得

v=voe

(2)x=J

vdt=^vQe~^dt=

⑶質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動時速度為零，即t-8,

故有/==

K

H1

(4)當(dāng)1=一時，其速度為

k

即速度減至V。的

e

2-5分別以mi,ni2為研究對象，其受力圖如圖⑹所示.

⑴設(shè)m相對滑輪(即升降機(jī))的加速度為a',那么叱對地力1I速度az=a'-a；因繩不可伸長，故m對滑

輪的加速度亦為a',又m在水平方向上沒有受牽連運(yùn)動的影響，所以叫在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁閍',

由牛頓定律，有

m2g-T=ni2（a'-a）

T=iniaf

題2-5圖

聯(lián)立，解得a'=8方向向下

⑵叱對地加速度為

az=a'-a=&方向向上

2

m1在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即a矮=a/+a辛

0=arctan一=arctan一°,左偏上.

a2

2-6依題意作出示意圖如題2-6圖

題2-6圖

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向F

,而拋物線具有對y軸對稱性，故末速度與x軸夾角亦為30°,那么動量的增量為

△p=mv-mvo

由矢量圖知，動量增量大小為ImvoI,方向豎直向下.

2-7由題知，小球落地時間為0.5s.囚小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為v=gt=O.5g,

小球上跳速度的大小亦為V2=0.5g.設(shè)向上為y軸正向，那么動量的增量

△P=mv2-mv】方向豎直向上，

大小|Ap|=mv2-(-mvi)=mg

碰撞過程中動量不守恒.這是因?yàn)樵谂鲎策^程中，小球受到地面給予的沖力作用.另外，碰撞前初動量

方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒.

2-8(1)假設(shè)物體原來靜止，那么

AP>=Fdt=￡(10+2t)idt=56ikg?m?s)沿x軸正向，

假設(shè)物體原來具有-6m?s,初速,那么

Po=-mi'。，P=加(一匕)+f—=~mvo+(Fdt于是

J()"?Jo

即2=p-Pq=[Fdt=M\，

同理，Av2=AVi,I2=Ii

這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，那么不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體

獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理.

⑵同上理，兩種情況中的作用時間相同，即

亦即t2+10t-200=0

解得t=l()s,(t'=-20s舍去)

2-9質(zhì)點(diǎn)的動量為

p=mv=mw(-asinwti+bcoswtj)

將1=0和1=三分別代入上式，得

2a)

pFm3bj,p2=-m3ai,

那么動量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為

1=Ap=p2-pi=-rn3(ai+bj)

2-10(1)由題意，子彈到槍口時，有

F=(a-bt)=O,得t=—

b

⑵子彈所受的沖量

將代入，得

b

⑶由動量定理可求得子彈的質(zhì)量

2-11設(shè)一塊為叫，那么另一塊為則

niFknh及mi+m2=ni

p口/口kmmd

于是得"4=-------,相1=-------①

上十1~k+\

又設(shè)m的速度為m2的速度為外，那么有

T12)

T=~^v+~m--rnv2②

}2-2

mv=mNi+m2V2③

聯(lián)立①、③解得

v2=(k+l)v-kvi@

將④代入②，并整理得

于是有匕=v±

將其代入④式，有

又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取

證畢.

2-12(1)由題知,F合為恒力,

AA產(chǎn)F?廠(7i—6j)?(-3i+4j+16k)

=-21-24=-45J

(2)^=—=—=75w

Az0.6

⑶由動能定理，AEk=A=-45J

2T3以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為y坐標(biāo)正向，如題2T3圖，那么鐵釘所受阻力為

題2-13圖

f=-ky

第一錘外力的功為由

4=[fdy=\-fdy=￡kydy=g(D

式中「是鐵錘作用于釘上的力，f是木板作用于釘上的力，在dl-0時，f;=-f.

設(shè)第二錘外力的功為A2,那么同理，有

A?-專②

由題意，有

A,=A,=A(—wv2)=—@

~22

即」行：一&=&

2-22

所以，

y2=V2

于是釘子第一次能進(jìn)入的深度為

△y-y2~yi=V2cm

W、dE(r)nk

2-14F(r)=--------=------r

drrn+,

方向與位矢r的方向相反，即指向力心.

2-15彈簧A、B及重物C受力如題2T5圖所示平衡時，有

題2-15圖

FkFu=Mg

又F「kjAXi

FE=k2AX2

所以靜止時兩彈簧伸長最之比為

彈性勢能之比為

2-16(1)設(shè)在距月球中心為r處F朋尸F(xiàn)地引,由萬有引力定律,有

"1M地

經(jīng)整理，得

R

JM地+JM月

,7.35x1()22

x3.48x10s

A/5.98X1024+V7.35xlO22

xlO6m

那么p點(diǎn)處至月球外表的距離為

7

h=r-rn=(38.32-1.74)X10'=3.66X10m

⑵質(zhì)量為】kg的物體在p點(diǎn)的引力勢能為

,,,in”7.35x10"][5.98xlO24

=-6.67x10x-----------6.67x10X-----------------

3.83xlO7(38.4-3.83)x107

2-17取B點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，那么由功

能原理，有

JJ

-Mm2gh=-(mi+m2)v-[migh+—k(A1)]

22

式中A1為彈簧在A點(diǎn)時比原長的伸長量，那么

A1=AC-BC=(V2-l)h

聯(lián)立上述兩式，得

j)g〃+kG(41-1T

叫+m2

題2-17圖

2-18取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原

長處為彈性勢能零點(diǎn)那么由功能原理，有

2

rnv+〃zgssin37O-frs

12

-7rs=；kx一(gmv+mgssin37°k=—

-kx~

2

式中s=4.8+0.2=5m,再代入有關(guān)數(shù)據(jù),解得

k=1390N-m'

題2-18圖

再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度目

-Rs'=mgs'sin370--kx3

2

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得s'm,

那么木塊彈回高度

h'=s'sin37°m

題2T9圖

2T9m從V上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以m,M地球?yàn)橄到y(tǒng)

,以最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，那么有

11

mgR=—wv9+—MV~7

22

又下滑過程，動量守恒，以m,M為系統(tǒng)那么在m脫離M瞬間，水平方向有

mv-MV=()

聯(lián)立，以上兩式，得

2MgR

(in+M)

2-20兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有

即詔=片+》①

題2-20圖(a)題2-20圖(b)

乂碰撞過程中，動量守恒，即有

mvo=mvi+mv2

亦即Vo=Vi+v2②

由②可作出矢量三角形如圖(b),又由①式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以V。為斜邊，故知0與V2

是互相垂直的.

2-21由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為

r=X]i+yij

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為

f=-fi

所以，質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動量為

U=rXmv

=(xii+yij)Xm(vxi+vyj)

=(ximvy-yimvx)k

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為

Mc=rXf=(xii+yij)X(-fi)=yifk

2-22哈雷彗星繞太陽運(yùn)動時受到太陽的引力一一即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在

近H點(diǎn)及遠(yuǎn)H點(diǎn)時的速度都與軌道半徑垂直，故有

rimv1=r2mv2

3.75x10隈5.46x*.26xl(嚴(yán)m(xù)

2

-v29.08xlO

2-23(1)A/?=jfidt=￡5jdt=15jkg7n,s"

⑵解(―)x=xo+v<)xt=4+3=7

即ri=4i,r2

V、=Vux=l

BPvi=ii+6j,V2=i+llj

Li=riXmvi=4iX3(i+6j)=72k

LFr2Xmv2=(7i+25.5j)Xk

:.AL=Lz-L】kkg-m'?s1

z/r

解(二),:M=與

dt

：,\L=^Mdt=^(rxF)dt

題2-24圖

2-24在只掛重物川時,小球作圓周運(yùn)動的向心力為Mig,即

Mig=mro3)①

掛上此后，那么有

(M1+M2)g=mrz3''②

重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒.

即r()mvo=r'mv'

=>娉0()=③

聯(lián)立①、②、③得

2-25(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)).圖中N、N'是正壓力，匕、F'.是摩擦刀，E和Fy

是桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力，R是輪的重力，P是輪在。軸處所受支承力.

題2-25圖(a)

題2-25圖(b)

桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對A點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì)，那么有

對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有B=-F,R/I,式中負(fù)號表示B與角速度&方向相反.

VK=uNN=N'

.?.F,=時S”

又?；I=LnR'

2

刖二3j

IniRl.

以F=100N等代入上式,得

由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時間為

這段時間內(nèi)飛輪的角位移為

可知在這段時間里，飛輪轉(zhuǎn)了53.1轉(zhuǎn).

(2)o=9OOX(2n)/60rad?s',要求飛輪轉(zhuǎn)速在t=2s內(nèi)減少一半,可知

用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動力為

2-26設(shè)a.a?和B分別為圓叱和柱體的加速度及角加速度,方向如圖(如圖b).

題2-26(a)圖題2-26(b)圖

(1)m,,nh和柱體的運(yùn)動方程如心：

式中T/=Ti,T2'=T2,akrB,a產(chǎn)RB

而I=(l/2)MR2+(l/2)mr2

由上式求得

⑵由①式

L=ni2r3+ni2g=2X0.10X6.13+2X9.8=20.8N

由②式

Ti=mig-miR3=2X9.8-2X0.20X6.13=17.IN

2-27分別以m”滑輪為研究對象，受力圖如圖⑹所示.對如,m?運(yùn)用牛頓定律，有

nhg-Tkm2a①

T產(chǎn)nna②

對滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律，有

2

T2r-Tir=(l/2Mr)B③

又，a=rB④

聯(lián)立以上4個方程，得

題2-27(a)圖題2-27(b)圖

題2-28圖

2-28(1)由轉(zhuǎn)動定律，有

mg(1/2)=[(1/3)ml2]B

⑵由機(jī)械能守恒定律，有

mg(l/2)sin0=(1/2)[(1/3)ml2](02

題2-29圖

2-29(1)設(shè)小球的初速度為V。，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為s,而小球的速度變?yōu)関,按題意,

小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時遵從角動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式：

mvol=I3+mvl①

(1/2)mv2o=(1/2)TG)2+(1/2)mv2@

上兩式中I=1/3MF,碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最

大角度0=30。，按機(jī)械能守恒定律可列式：

h(02=Mgg(l-cos30。)③

由③式得

由①式

由②式

m

所以

求得

⑵相碰時小球受到的沖量為

fFdt=Amv=mv-mv0

由①式求得

fFdt=mv-mv()=-(Iw)/1=(-1/3)Mlw

_)6(2-6)M.

6

負(fù)號說明所受沖量的方向與初速度方向相反.

題2-30圖

2-30(1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度

vc=R<*)

設(shè)碎片上升高度h時的速度為v,那么有

i=2

vv0-2gh

令v=0,可求出上升最大高度為

⑵圓盤的轉(zhuǎn)動慣量I=(1/2)MR2,碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量r=(l/2)MR2-mR2,碎片脫離前,盤的角動

量為13,碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱?，但為力不影響系統(tǒng)的總角動量，碎片與破盤

的總角動量應(yīng)守恒，即

[3=1'w'+mv(iR

式中3,為破盤的角速度.于是

(l/2)MR2w=[(l/2)MR2-mR2]w'+mvoR

[(l/2)MR2-mR2]<o=[(l/2)MR2-mR;]G>'

得3'=3(角速度不變)

圓盤余下局部的角動量為

[(l/2)MRJ-mR2]3

轉(zhuǎn)動動能為

題2-31圖

E..=(l/2)[(l/2)MR2-mR2]w2

2-31(1)射入的過程對。軸的角動量守恒

Rsin0moVo=(m+rno)R*3

/n（）v0sin6?

（m+，n0）R

如〃，［產(chǎn)的2

加osin2

EFk_2（〃？+m0）A0

~E7~1r"?十〃?o

%”0%

2-32以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)?系統(tǒng)，重物下落的過程中，機(jī)械能守恒，以最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn),

彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)，那么有

mgh=(1/2)mv2+(l/2)I<o2+(1/2)kh2

又3=v/R

故有叵口巫

VmR2+1

題2-32圖題2-33圖

2-33(1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當(dāng)小球滑至B點(diǎn)時，有

Io3o=(Io+mR~)3①

該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為VB,以B點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，那么有

2222

(l/2)Iowo+nigR=(l/2)(L+mR)w+(l/2)rrvR(2)

聯(lián)立①、②兩式，得

⑵當(dāng)小球滑至C點(diǎn)時，VIc=Io.\3c=3。

故由機(jī)械能守恒，有

2

mg(2R)=(l/2)mvc

：.Vc=2y[gR

請讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣?

習(xí)題三

3-1慣性系S'相對慣性系S以速度〃運(yùn)動.當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)。與O'重合時，/=「=(),發(fā)出一光波,

此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何?用直角義標(biāo)系寫出各自觀測的波陣面的方程.

解：由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為球面波.波陣面方程為：

題3-1圖

3-2設(shè)圖3-4中車廂上觀測者測得前后門距離為2/.試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測者測到同一光信

號到達(dá)前、后門的時間差.

解：設(shè)光訊號到達(dá)前門為事件1,在車廂(S')系時空坐標(biāo)為“；/)=(/'),在車站(S)系：

c

光信號到達(dá)后門為事件2,那么在車廂(S')系坐標(biāo)為(乂工)=(-/,)，在車站(S)系：

c

于是f2Tl=-2當(dāng)

C

或者△/=0,△/=4—G，&'=匯；—X=21

3-3慣性系S，相對另一慣性系S沿x軸作勻速直線運(yùn)動，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時刻作為計(jì)時起點(diǎn).在S

系中測得兩事件的時空坐標(biāo)分另為再=6X10%〃產(chǎn)2Xl（Ts,以及X2=12X"m,72=1乂10飛.在S'系中

測得該兩事件同時發(fā)生.試問：（l）S'系相對S系的速度是多少？（2）S'系中測得的兩事件的空間間隔是

多少？

解:設(shè)（S'）相對S的速度為y,

V

⑴/：二/&一一rxi）

C

由題意4一/：=0

V

那么t、一4=—（X,-X]）

c~

v=c2———=--=-1.5x10sms-1

2

⑵由洛侖茲變換x[=/（Xj-vr,）,X2=y（x2-v/2）

代入數(shù)值，后—x；=5.2xl04m

3-4長度/°=1m的米尺靜止于S，系中，與/軸的夾角夕=30。，S'系相對S系沿/軸運(yùn)動，在S系

中觀測者測得米尺與龍軸夾角為。=45°.試求：（1）S，系和S系的相對運(yùn)動速度.（2）S系中測得的米尺

長度.

解：（1）米尺相對S'靜止，它在軸上的投影分別為:

L'x=L°cos*0.866m,L\=L。sin7=0.5m

米尺相對S沿x方向運(yùn)動，設(shè)速度為八對S系中的觀察者測得米尺在x方向收縮，而y方向的長度不

變，即

L

故tan夕二」

Lx

把8=45。及〃，;代入

().5

0.866

故u=0.816c

L

⑵在S系中測得米尺長度為J.v=0.707m

3-5一門寬為。，今有一固有長度/。(%＞。)的水平細(xì)桿，在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運(yùn)

動.假設(shè)站在門外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時被拉進(jìn)此門，那么該桿相對于門的運(yùn)動速率〃至少為

多少？

解：門外觀測者測得桿長為運(yùn)動長度，/=/1-(-)2,當(dāng)時，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門，那么

解得桿的運(yùn)動速率至少為:

題3-6圖

3-6兩個慣性系中的觀察者。和。'以0.6c(c表示真空中光速)的相對速度相互接近，如果。測得兩者的

初始距離是20m,那么。'測得兩者經(jīng)過多少時間相遇？

解：。測得相遇時間為

。'測得的是固有時4'

工”=”=端亙_

Yv

=8.89x10M,

P=—=0.6,

c

1

Y-，

0.8

或者，O'測得長度收縮，

3-7觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系S和S'中，甲測得在同?地點(diǎn)發(fā)生的兩事件的時間間隔為

4s,而乙測得這兩個事件的時I五間隔為5s.求：

(1)S'相對于S的運(yùn)動速度.

(2)乙測得這兩個事件發(fā)生的地點(diǎn)間的距離.

解：甲測得4=4s,4V=0,乙測得4=5s,坐標(biāo)差為Ar'二只—x；'

⑴，△「二/(A/+;A.r)=M一(1Z

負(fù)號表示石-X1<0.

3-8一宇航員要到離地球?yàn)?光仝的星球去旅行.如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，那么他所乘的

火箭相對于地球的速度是多少？

儺：廠=3=/。仇一爐=51"爐，則:=仇一戶

255

3-9論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不司地點(diǎn)，在有相對運(yùn)動的其他慣性系中,

這兩個事件一定不同時.

證:設(shè)在S系A(chǔ)、8事件在處同時發(fā)生，那么&=在S'系中測得

???4=O,AYWO,

?*"*0

即不同時發(fā)生.

3-10試證明：

(1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，那么而一切慣性系來說這兩個事件的時間間隔，

只有在此慣性系中最短.

(2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，那么對一切慣性關(guān)系來說這兩個事件的空間間隔，只

有在此慣性系中最短.

解：(1)如果在S'系中，兩事件A、8在同一地點(diǎn)發(fā)生，那么Ar'=O,在S系中，△，二加)△/',

僅當(dāng)u=0時，等式成立，???△/'最短.

⑵假設(shè)在S'系中同時發(fā)生，即△/=(),那么在S系中，=僅當(dāng)u=0時等式成立，

??.S'系中Ar'最短.

3-11根據(jù)天文觀測和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠(yuǎn)離我們而去.假定地球上觀察到一顆脈

沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為，且這顆星正沿觀察方向以速度離我們而去.問這顆星的

固有周期為多少？

解：以脈沖星為S'系，以'=0,固有周期加'=%?地球?yàn)镾系，那么有運(yùn)動時△"二%V'，這里△"不

是地球上某點(diǎn)觀測到的周期，而是以地球?yàn)閰⒖枷档膬僧惖冂娮x數(shù)之差.還要考慮因飛行遠(yuǎn)離信號的傳

遞時間，—

:,Ar=劣+=y\t'+

w/A，20.5

那:小

3-126000m的高空大氣層中產(chǎn)生了一個乃介子以速度u飛向地球.假定該加介子在其自身靜止系中的壽

命等于其平均壽命2X10%.試分別從下面兩個角度,即地球上的觀測者和乃介子靜止系中觀測者來判

斷〃介子能否到達(dá)地球.

解：江介子在其自身靜止系中的壽命=2xl()YS是固有(本征)時間，對地球觀測者，由于時間膨

脹效應(yīng)，其壽命延長了.衰變前經(jīng)歷的時間為

這段時間飛行距離為d=vJ/=9470m

因d>600()m,故該不介子能到達(dá)地球.

或在乃介子靜止系中，乃介子是靜止的.地球那么以速度好接近介子，在Af。時間內(nèi)，地球接近的距離

為d，=vAt[}=599m

4)=6000m經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：

/>或，故乃介子能到達(dá)地球.

3-13設(shè)物體相對S，系沿f軸正向以運(yùn)動，如果S，系相對S系沿x軸正向的速度也是，問物體相對S系的

速度是多少？

解：根據(jù)速度合成定理，〃=0.8c,吸=0.8。

.0.8c+0.8cnQQ

,u\\,0.8cx0.8c

l+-r1+———

c~c

3-14飛船A以c的速度相對地球向正東飛行，飛船8以的速度相對地球向正西方向飛行.當(dāng)兩飛船即將

相遇時A飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號彈.在B飛船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間

隔為多少？

解：取B為S系，地球?yàn)?'系，自西向東為x(f)軸正向，那么A對S'系的速度X=0.8c,S'系對

5系的速度為〃=0.6c,那么A對S系(B船)的速度為

發(fā)射彈是從A的同一點(diǎn)發(fā)出，其時間間隔為固有時=2s,

題3-14圖

??.B中測得的時間間隔為:

2

At=6.17s

Vl-0.9462

1-------

3-15(1)火箭A和8分別以和的速度相對地球向+x和-犬方向飛行.試求由火箭8測得A的速度.(2)

假設(shè)火箭A相對地球以的速度向+)，方向運(yùn)動，火箭3的速度不變，求A相對3的速度.

解：(1)如圖。，取地球?yàn)镾系，B為S'系,那么S'相對S的速度〃=0.6c,火箭A相對S的速度

vr=0.8c,那么A相對3”(%)的速度為:

或者取A為S'系，那么〃=0.8c,8相對5系的速度匕=-0.6c,于是8相對4的速度為：

⑵如圖6,取地球?yàn)镾系，火箭3為S'系，S'系相對S系沿—x方向運(yùn)動，速度〃=-0.6c,A對S

系的速度為，叭=0,暝=0.8c,由洛侖茲變換式A相對3的速度為：

A相對B的速度大小為

速度與X’軸的夾角夕為

題3T5圖

3-16靜止在S系中的觀測者測得一光子沿與x軸成60。角的方向飛行.另一觀測者靜止于S'系，S'系

的f軸與x軸一致，并以的速度沿x方向運(yùn)動.試問S'系中的觀測者觀測到的光子運(yùn)動方向如何？

解：S系中光子運(yùn)動速度的分量為

由速度變換公式，光子在S'系中的速度分量為

光子運(yùn)動方向與/軸的夾角,滿足

夕在第二象限為夕=98.2°

在S'系中，光子的運(yùn)動速度為

M="2+寸=c正是光速不變?

3-17(1)如果將電子由靜止加速到速率為，須對它作多少功？⑵如果將電子由速率為加速到，又須對它

作多少功？

解：(1)對電子作的功，等于電子動能的增量，得

=4.12x10“2.57x103eV

2222

⑵AE；=Ek「Ekf=(m2c-m^c)~(m}c-moc)

=9.1x10-31X32X10l6(.1--.1)=5.14x10-14J

Vl-0.92Vl-0.82

=3.21x10’eV

3-18〃子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時的平均壽命r0=2X10%，假設(shè)它在實(shí)驗(yàn)室參考系

中的平均壽命r=7X106s,試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍？

解：設(shè)〃子靜止質(zhì)量為機(jī)。,相對實(shí)驗(yàn)室參考系的速度為u=&、，相應(yīng)質(zhì)量為〃2,電子靜止質(zhì)量為〃限，

因工二一^,即二=:￡二工

-伊/一伊%2

由質(zhì)速關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)室參考系中質(zhì)量為：

故旦=207=207X-=725

〃限/_伊2

3-19一物體的速度使其質(zhì)量增加了10隨試問此物體在運(yùn)動方向上縮短了百分之幾？

解：設(shè)靜止質(zhì)量為"%,運(yùn)動質(zhì)量為〃7，

由題設(shè)絲二也=0.10

由此二式得一7^=-1=0.10

?*-―力2=—^―

x1.10

在運(yùn)動方向上的長度和靜長分雙為/和/。，那么相對收縮量為：

3-20一電子在電場中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電勢差才能使其質(zhì)量增加0.4%?比時電子速

度是多少？電子的靜止質(zhì)量為X10句kg.

3,82

解：由質(zhì)能關(guān)系也=上3=".??==o.4x9.1xlO-x(3xlO)/IOO

mi)m()c~100100

3

=3.28x1(尸6j==39*1()：eV=2.0xl0eV

I.6xl0_,9

所需電勢差為2.0x103伏特

由質(zhì)速公式有：

22

??.=(-)=1-(-^)=7.95x10-3

c1.004

故電子速度為u=為=2.7xl()7m-s"

3-21一正負(fù)電子對撞機(jī)可以把電子加速到動能七8=X10%V.這種電子速率比光速差多少？這樣的一

個電子動量是多大？(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為6)=X10bV)

所以、1-=――二二空二

Vc~14-Ek/mQc~Ek+/n()c~

由上式，

由動量能量關(guān)系6=p2c2+欣/可得

3-22氫原子的同位素笊（；H）和旅（：H）在高溫條件下發(fā)生聚變反響，產(chǎn)生氮（；He）原子核和一個中子

（；n）,并釋放出大量能量，其反響方程為；H+：Hf；He+；n笊核的靜止質(zhì)量為原子質(zhì)量單位（1原

子質(zhì)量單位=X10"kg）,汽核和氮核及中子的質(zhì)晟分別為，，原子質(zhì)量單位.求上述聚變反響釋放出來

的能量.

解:反響前總質(zhì)量為量0135+3.0155=5.0290amu

反響后總質(zhì)量為4.0015+1.0087=5.0102amu

質(zhì)量虧損Am=5.0290-5.0102=0.0188amu

由質(zhì)能關(guān)系得AE=Amc2=3.12X10-29X（3X108）2

3-23一靜止質(zhì)量為〃％的粒子，裂變成兩個粒子，速度分別為和.求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的

動能.

解：孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動能，引起靜能減少，相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少，即靜質(zhì)量虧損.

設(shè)裂變產(chǎn)生兩個粒子的靜質(zhì)量分別為叫°和"/，其相應(yīng)的速度X=0.6c,v2=0.8c

由F孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同時遵守動量守恒定律和能（質(zhì)）審守恒定律，所以有

注意外和叫必沿相反方向運(yùn)動，動量守恒的矢量方程可以簡化為一維標(biāo)量方程，再以

V）=0.6c,v2=0.8c代入，將上二方程化為：

68"房團(tuán)找

81060.80.6°

上二式聯(lián)立求解可得：

go=0.459mo,fn2（）=0.257m。

故靜質(zhì)量虧損△，〃=根0-（叫。+w，0）=0.284m0由靜質(zhì)量虧殞引起靜能減少，即轉(zhuǎn)化為動能，故放出

22

的動能為\mc=0.284/?oc

3-24有A,B兩個靜止質(zhì)量都是〃％的粒子，分別以匕=叭的速度相向運(yùn)動，在發(fā)生完全非彈性

碰撞后合并為一個粒子.求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量.

解：在實(shí)驗(yàn)室參考系中，設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別〃6和〃馬，碰撞后粒子的質(zhì)量為M、速度為V,

于是，根據(jù)動量守恒和質(zhì)量守恒定律可得：

V]+m2v2-MV①

町+ni2=M②

ITm0V(一U)八

由于w,Vj+m2v2=/。.+,0==0

代入①式得V=0

2%__

M=g+〃?2-I-，即為碰撞后■靜止質(zhì)量.

3-25試估計(jì)地球、太陽的史瓦西半徑.

解：史瓦西半徑4二組巴

地球:M?6xl024kg

2x6.7xl(r"x6x1024

那么:=8.9x10-3m

(3x1("產(chǎn)

太陽:M?2xlO30kg

2x6.7xlO-,,x2xlO30

那么:=3x10'm

(3x1Ob?

3-26典型中子星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量M0=2Xl（Tkg同數(shù)量級，半徑約為10km.假設(shè)進(jìn)一步坍縮為黑

洞，其史瓦西半徑為多少?一個質(zhì)子那么大小的微黑洞（10質(zhì)量是什么數(shù)量級？

3

解：（1）史瓦西半徑與太陽的相同，rv=3xl0m

15-17

（2）rs=10_cm=10m

2G2x6.7x10-"

3-27簡述廣義相對論的根本原理和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

解：廣義相對論的根本原理是等效原理和廣義相對性原理.

等效原理又分為弱等