重難點(diǎn)14 導(dǎo)數(shù)壓軸小題十四大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題14導(dǎo)數(shù)壓軸小題十四大題型匯總題型1恒成立問(wèn)題之直接求導(dǎo)型 1題型2恒成立問(wèn)題之分離參數(shù)型 7題型3恒成立問(wèn)題之隱零點(diǎn)型 13題型4恒成立問(wèn)題之洛必達(dá)法則 19題型5恒成立問(wèn)題之兩個(gè)函數(shù)問(wèn)題 25◆類型1同變量型 25◆類型2不同變量型 31◆類型3函數(shù)相等型 35題型6恒成立問(wèn)題之構(gòu)造函數(shù) 41題型7零點(diǎn)問(wèn)題 46題型8同構(gòu)問(wèn)題 53題型9整數(shù)解問(wèn)題 59題型10函數(shù)凹凸性問(wèn)題 67題型11倍函數(shù)問(wèn)題 71題型12二次型函數(shù)問(wèn)題 79題型13嵌套函數(shù)問(wèn)題 90題型14切線放縮法 97題型1恒成立問(wèn)題之直接求導(dǎo)型無(wú)論大題小題，分類討論求參是導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)，也是復(fù)習(xí)訓(xùn)練重點(diǎn)之一：1.移項(xiàng)含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點(diǎn).2.討論點(diǎn)的尋找是關(guān)鍵.3.一些題型，可以適當(dāng)?shù)慕柚它c(diǎn)值來(lái)"壓縮"參數(shù)的討論范圍【例題1】（2023春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知a∈R，設(shè)函數(shù)fx=x2-3x+2a,x≤1x-alnx,x>1A．[0,1] B．1,2 C．0,e D．【答案】D【分析】由函數(shù)解析式，在x≤1時(shí)應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)及恒成立有f(x)min=2(a-1)≥0得a≥1，再利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)在x>1【詳解】當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)的開口向上且對(duì)稱軸x=32>1要使f(x)≥0，則a≥1；當(dāng)x>1時(shí)f'(x)=x-ax，顯然a=1時(shí)f'所以f(x)若a>1，則(1,a)上f'(x)<0，即f(x)遞減，(a,+∞)上所以f(x)min=f(a)=a-alna，要使f(x)≥0所以a≤e綜上，a的取值范圍為1,e故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)研究不同定義域下最小值，由不等式恒成立，保證最小值都非負(fù)即可.【變式1-1】1.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)正實(shí)數(shù)a有fxA．0,1 B．1,e2 C．0,【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)單調(diào)性，得極小值f(x0)=a(1x【詳解】由題設(shè)f'(x)=ex+1-ax所以g(x)=f'(x)在(0,+∞)上遞增，顯然x趨向0時(shí)f故?x0∈(0,+∞)使f所以，在(0,x0)上f'(x)<0，f(x)遞減；在(故f(x)≥f(x要f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，則1x令y=1x+x且x∈(0,+∞)，則y'=1-1x所以x∈(0,1)上y遞減，x∈(1,+∞)上y遞增，則且當(dāng)x0=1時(shí)，綜上，2lna-2≤y故選：C【變式1-1】2.（2022秋·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考階段練習(xí)）若不等式ex-1-mx-2n-3?0對(duì)?x∈R恒成立，其中m≠0，則A．-ln3e2 B．-【答案】A【分析】先求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)參數(shù)不同的取值，分類討論，求得函數(shù)的最小值，再利用分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求最值，可得答案.【詳解】令fx=e當(dāng)m<0時(shí)，易知函數(shù)fx當(dāng)m>0時(shí)，令f'x=0x-lnlnf-0+f↙極小值↗則fx可得nm令gx=-1令g'm=0x0,333,+g+0-g↗極大值↙則gmmax=g故選：A.【變式1-1】3.（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一般地，對(duì)于函數(shù)y=ft和t=gx復(fù)合而成的函數(shù)y=fgx，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=ft，t=gx的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yA．12 B．1 C．e2【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)fx=eax-x-b【詳解】依題意eax≥x+b恒成立，即設(shè)fx=e設(shè)gx=aeax-1，則g當(dāng)a≤0時(shí)，f'x=a當(dāng)a>0時(shí)，由f'x=a所以fx在區(qū)間-在區(qū)間-ln所以fx的最小值是f依題意可知1+ln即b≤1+lna設(shè)hxh'所以hx在區(qū)間0,在區(qū)間e-所以hx的最大值為h所以ba的最大值為e故選：C【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問(wèn)題，首先將不等式轉(zhuǎn)化為一邊為0的形式，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.【變式1-1】4.（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)fx=mex-x-n-1m,n∈R，若A．e-2 B．-e-2 C．【答案】B【分析】討論m≤0，m>0，利用導(dǎo)數(shù)得出mlnm+1≥mn，構(gòu)造函數(shù)hm=m【詳解】fx=me當(dāng)m≤0時(shí)，f'x<0恒成立，則fx單調(diào)遞減，當(dāng)m>0時(shí)，x∈-∞,-lnmx∈-lnm,+∞時(shí)，∴fx∵fx≥-1恒成立，∴l(xiāng)nm-n+1≥0令hm=mlnm+1，m∈0,e-2時(shí)，h'mhm在區(qū)間0,e-2∴hmmin=he-2故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于，將不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題得出mlnm+1≥mn，再由導(dǎo)數(shù)得出h【變式1-1】5.（2022春·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x-a-1ex+b，若存在b∈R，對(duì)于任意【答案】1,【分析】設(shè)g(x)=(x-a-1)ex，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意x∈1,2，都有g(shù)(x)max【詳解】設(shè)g(x)=(x-a-1)e由b的任意性，結(jié)合題意可知，對(duì)于任意x∈1,2即g(x)又g'(x)=(x-a)ex，易知函數(shù)g(x)在①當(dāng)a≤1時(shí)，g(x)在1,2上單調(diào)遞增，則g故g(x)max-g②當(dāng)a≥2時(shí)，g(x)在1,2上單調(diào)遞減，則g故g(x)maxmin③當(dāng)1<a<2時(shí)，g(x)在上單調(diào)遞減，在(a,2]上單調(diào)遞增，則g(x)故只需g(1)-g(a)=ea記函數(shù)m(a)=ea-ae-e，則m'(a)=則m(a)<m(2)=e記函數(shù)n(a)=ea+(1-a)函數(shù)n(a)在(1,2)上遞減，則n(a)<n(1)=故當(dāng)1<a<2時(shí)，g(1)-g(a)<e且g(2)-g(a)<e綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,e+1故答案為：1,【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值，查了不等式的恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.題型2恒成立問(wèn)題之分離參數(shù)型分離參數(shù)是屬于“暴力計(jì)算”型方法，分離參數(shù)：將參數(shù)提取到單獨(dú)的一側(cè)，然后通過(guò)求解函數(shù)的最值來(lái)求解參數(shù)的取值范圍.1.分離參數(shù)思維簡(jiǎn)單，不需過(guò)多思考；2.參變分離原則是容易分離且構(gòu)造的新函數(shù)不能太過(guò)復(fù)雜3.缺點(diǎn)是，首先得能分參，其次求導(dǎo)計(jì)算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階..等等求導(dǎo).【例題2】（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式ex3k-x<2x+3對(duì)任意的x∈A．-1 B．0 C．1 D．3【答案】B【分析】參變分離將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】因?yàn)閑x(3k-x)<2x+3對(duì)于任意等價(jià)于3k<2x+3ex令f(x)=2x+3ex+x，令g(x)=ex-2x-1，x∈當(dāng)x∈(0,ln2)時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)所以gx在(0,ln2)又g(0)=0，g(1)=e-3<0，所以gx在1,2有且僅有一個(gè)根x0，滿足ex當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g(x)<0，即fx∈(x0,+∞)時(shí)，g(x)>0所以f(x)由對(duì)勾函數(shù)可知1+1+23<因?yàn)?k<f(x0)，即k<f(x0)當(dāng)k=1時(shí)，不等式為ex3-x所以整數(shù)k的最大值為0.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若f(x)在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：?x∈D,fx>0?fx（2）能成立：?x∈D,fx>0?fx【變式2-1】1.（2022秋·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知不等式xex+1-x≥lnx+2m+3A．m≤-12 B．m≥-12【答案】A【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xex+1-x-lnx≥2m+3【詳解】不等式xex+1-x≥lnx+2m+3對(duì)?x∈0,+∞恒成立，即xex+1-x-lnx≥2m+3對(duì)?x∈0,+∞恒成立，令fx則x∈0,x0時(shí)，gx<0?f'x<0，根據(jù)gx所以fxmin=1-故選：A.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題的策略為：構(gòu)造新函數(shù)或者進(jìn)行參變分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求得參數(shù)的取值范圍.【變式2-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)，g(x)分別為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=ex，若關(guān)于x的不等式A．-∞,409 B．40【答案】C【分析】由奇偶性求得f(x),g(x)，化簡(jiǎn)不等式，并用分離參數(shù)法變形為a≤4(ex+e【詳解】因?yàn)閒(x),g(x)分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)，f(x)+g(x)=e所以f(-x)+g(-x)=e-x，即①②聯(lián)立可解得f(x)=ex+不等式2f(x)-ag2(x)≥0x∈(0,ln2)，則ex設(shè)ex+et=ex+e-x，x∈(0,ln2)，t又y=t-4t在t∈(2,52)a≤4(ex+e故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題不等式恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的奇偶性，解題方法是利用奇偶性求得函數(shù)f(x),g(x)的表達(dá)式，然后化簡(jiǎn)不等式，用分離參數(shù)法變形轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或取值范圍，從而得結(jié)論．【變式2-1】3.（2022秋·山西運(yùn)城·高三校考階段練習(xí)）已知x1，x2是函數(shù)f(x)=x2-2ax+2lnxA．-98C．-98【答案】B【分析】先求導(dǎo)由x1，x2是極值點(diǎn)，得x1+x2=a,x1【詳解】由題意得，x>0，f'(x)=2x-2a+2x=2x所以Δ=a2-4>0,x又fx1x則m≤-x13-2x1令gx=-x所以gx在0,12上單調(diào)遞減，所以g故選：B.【點(diǎn)睛】解決極值點(diǎn)問(wèn)題，通常求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)根的問(wèn)題，結(jié)合韋達(dá)定理可將雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題；而恒成立問(wèn)題，通常采用參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)加以解決.【變式2-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式m+2x+lnx+1A．-∞,0C．-∞,【答案】A【分析】分離參數(shù)得到m+2≤e2x-lnx+1【詳解】依題意，m+2≤e2x-lnx+1令hx=2x故hx=2x2e2x+所以存在x0∈1e,1當(dāng)x∈0,x0時(shí)，g'x<0，gx單調(diào)遞減，當(dāng)x∈由2x02e2x0+lnx0=0，得2x02e2x0故選:A．題型3恒成立問(wèn)題之隱零點(diǎn)型解題框架（主要的）：（1）導(dǎo)函數(shù)（主要是一階導(dǎo)函數(shù)）等零這一步，有根x0但不可解.但得到參數(shù)和x（2）知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)處，可代入虛根x（3）利用x0與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出x0不等式，求得（4）再代入?yún)?shù)和x0【例題3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1x+lnx【答案】0,+【分析】先分離參數(shù)可得m≥lnx+x+1xex-1【詳解】由題意可得函數(shù)fx=1不等式fx≤gx等價(jià)于1+令Gx=ln令hx=lnx+x，則因?yàn)閔1e=所以存在x0∈1當(dāng)x∈0,x0時(shí)，hx<0當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，hx所以Gx由于x0+lnx0所以Gx又m≥lnx+x+1xex所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,+∞【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2．利用分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3．根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與有解問(wèn)題的區(qū)別．【變式3-1】1.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式ex-a≥lnx+a對(duì)一切正實(shí)數(shù)A．-∞,1e B．-∞,e C．-∞,1【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-a-lnx-a(x>0)，將原不等式轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)f(x)【詳解】解：設(shè)f(x)=ex-a-lnx-a(x>0)，則f(x)?0對(duì)一切正實(shí)數(shù)x由f'(x)=ex-a-1x所以h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，h(x)→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h(x)→+∞，則在(0,+∞)上，存在x0使得h(當(dāng)0<x<x0時(shí)，h(x)<0，當(dāng)x>x故函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(所以函數(shù)f(x)在x=x0處取得最小值為因?yàn)閑x0-a所以1x0+又x0+1x0故2a?2，所以a?1．故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題常見方法：①分離參數(shù)a≤f(x)恒成立(a≤f(x)min即可)或a≥f(x)恒成立（a≥f(x)max即可）；②數(shù)形結(jié)合(y=fx圖象在y=g【變式3-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=exx-1x-1，對(duì)任意x>0【答案】-【分析】由fx>alnx+1恒成立得出ex-x-1-axlnx+1>0，構(gòu)造函數(shù)g【詳解】已知fx=exx即exx-令gx=ex-x-1-axg'x=ex當(dāng)a≤0時(shí)，h'x>0，所以h于是hx>h0=0，即g'于是gx當(dāng)a>0時(shí)，觀察易知h'x在0,+∞若0<a≤12，則h'x≥0hx>h0=0，即g'x>0，所以g若a>12時(shí)，令mx=ex-x-1，則當(dāng)x>0所以mx>m0=0，即又h'0=1-2a<0，h'x使得h'x0=0，當(dāng)x∈0,x0當(dāng)x∈0,x0時(shí)，hx<h0=0，即g這與gx>0矛盾.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：-∞【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于含參不等式的恒成立問(wèn)題，往往采用參變分離或構(gòu)造含參函數(shù)兩種方法，參變分離在使用時(shí)，一定保證分離出的函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)清晰的研究出其單調(diào)性；構(gòu)造含參函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性時(shí)，利用分類討論的方法，可得答案.【變式3-1】3.（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式ex(2k-x)<x+3對(duì)任意的x∈0,+【答案】1【分析】參變分離將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】因?yàn)閑x(2k-x)<x+3對(duì)于任意x∈0,+∞恒成立，等價(jià)于令f(x)=x+3ex+x，令g(x)=ex-x-2，x∈所以gx在(0,+∞)所以gx在1,2有且僅有一個(gè)根x0，滿足ex當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g(x)<0，即fx∈(x0,+∞)時(shí)，g(x)>0所以f(x)由對(duì)勾函數(shù)可知3+13-1<因?yàn)?k<f(x0)，即k<f(x所以k≤1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若f(x)在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：?x∈D,fx>0?fx（2）能成立：?x∈D,fx>0?fx若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：a>fx（或a<f（1）恒成立：a>fx?a>fx（2）能成立：a>fx?a>fx【變式3-1】4.（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知不等式ax-lnxxA．14 B．13 C．【答案】C【分析】將不等式ax-lnxx2≥【詳解】解：由題意得：不等式ax-lnxx2≥ax設(shè)g(x)=ax3-ln當(dāng)a≤0時(shí)，g'(x)<0，則g(x)在∴g(x)≤g(1)=0與題意矛盾∴a>0．令h(x)=3ax3∴h(x)在[1,+∞∴h(x)≥h(1)=2a-1，當(dāng)2a-1≥0，即a≥12時(shí)，g'(x)≥0∴g(x)≥g(1)=0，符合題意；當(dāng)2a-1<0，即0<a<12時(shí)，由h(1)=2a-1<0,h1a=3a2-2>0，得存在x0∈1,1a，使h故選：C題型4恒成立問(wèn)題之洛必達(dá)法則如果最值恰好在“斷點(diǎn)處”，則可以通過(guò)洛必達(dá)法則求出“最值”.【例題4】(多選)已知函數(shù)f(x)=e|x|sinA．f(x)是周期為2π的奇函數(shù) B．f(x)在(-πC．f(x)在(-10π,10π)內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn) D．f(x)?ax在[0,π4【答案】BD【解析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)航的符號(hào)判斷選項(xiàng)B正確；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)判定選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)恒成立以及對(duì)應(yīng)函數(shù)最值確定選項(xiàng)D正確.【詳解】∵f(x)的定義域?yàn)镽，f(-x)=e∴f(x)是奇函數(shù)，但是f(x+2π)=e∴f(x)不是周期為2π的函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)x∈(-π4,0)f'(x)=e當(dāng)x∈(0,3π4)f'(x)=e且f(x)在(-π4,3π4故選項(xiàng)B正確；當(dāng)x∈[0,10π)時(shí)，f(x)=exsin令f'(x)=0得，當(dāng)x∈(-10π,0)時(shí)，f(x)=e-xsin令f'(x)=0得，因此，f(x)在(-10π,10π)內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0≥0=ax，則a∈R，當(dāng)x∈(0,π4]設(shè)g(x)=exsin令h(x)=xsinx+xcos∴h'(x)=∴h(x)>h(0)=0∴g'(x)>0，g(x)又由洛必達(dá)法則知：當(dāng)x→0時(shí)，g(x)=∴a≤1，故答案D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)、周期函數(shù)定義，三角函數(shù)的幾何性質(zhì)，函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，考查綜合分析求解與論證能力，屬較難題.【變式4-1】1.（2020春·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=x2lnA．［24,+∞） B．[12,+∞)【答案】B【分析】首先將式子化簡(jiǎn)，將參數(shù)a化為關(guān)于x的函數(shù)，之后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題來(lái)解決，之后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，在求解的過(guò)程中，注意對(duì)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，最后用洛必達(dá)法則，通過(guò)極限求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，有x2lnx-a(x2-1)≥0,(x∈(0,1])恒成立，當(dāng)a≠1時(shí)，將其變形為a≥x2lnxx2-1恒成立，即a≥(x2lnxx2-1)max，令g(x)=x2lnxx2-1，利用求得法則及求導(dǎo)公式可求得g'(x)=x3-x-2xlnx(x2-1)2，令h(x)=x3-x-2xlnx，可得h'(x)=3x2-1-2lnx-2=3x2-2點(diǎn)睛：該題屬于應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的綜合問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意構(gòu)造新函數(shù)，并且反復(fù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而確定出函數(shù)值的符號(hào)，從而確定出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)在哪個(gè)點(diǎn)處取得最值，還有需要應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限來(lái)達(dá)到求最值的目的.【變式4-1】2.（2020·江西九江·統(tǒng)考三模）若對(duì)任意x∈0,π，不等式ex-A．-2,2 B．-∞,e C．【答案】C【分析】由題意參變分離，構(gòu)造f(x)=e【詳解】將ex-e-x>a令f(x)=ex-e-x則g'(x)=2(ex-e-x)sin即g(x)=ex(sinx-所以在(0,π)恒成立，則f(x)=ex-e-x由洛必達(dá)法則，得limx→0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞故選：C【變式4-1】3.（2020春·河北唐山·期中）若12(a-1)x2+1<A．(-∞,2] B．(-∞,2) C．(-∞,1] D．(-∞,3]【答案】A【解析】將條件12(a-1)x2+1<ex-x對(duì)?x>0恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)?x>0有12(a-1)<ex-x-1x2恒成立，令fx=【詳解】將條件12(a-1)x2+1<ex令fx=令gx=exx-2+x+2，則g'x=ex則g'x>g'則gx>g0=e00-2+0+2=0由洛必達(dá)法則可知limx→0ex所以12(a-1)≤故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立的情況下求參數(shù)的取值范圍，多見于參變分離，還考查了對(duì)零比零型函數(shù)利用洛必達(dá)法則求極限值，屬于難題【變式4-1】4.(多選)（2023春·河南許昌·）已知函數(shù)f(x)=eA．f(x)是周期為2π的奇函數(shù) B．f(x)在(-πC．f(x)在(-10π,10π)內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn) D．f(x)?ax在[0,π4【答案】BD【解析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)導(dǎo)航的符號(hào)判斷選項(xiàng)B正確；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)判定選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)恒成立以及對(duì)應(yīng)函數(shù)最值確定選項(xiàng)D正確.【詳解】∵f(x)的定義域?yàn)镽，f(-x)=e∴f(x)是奇函數(shù)，但是f(x+2π)=e∴f(x)不是周期為2π的函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)x∈(-π4,0)f'(x)=e當(dāng)x∈(0,3π4)f'(x)=e且f(x)在(-π4,3π4故選項(xiàng)B正確；當(dāng)x∈[0,10π)時(shí)，f(x)=exsin令f'(x)=0得，當(dāng)x∈(-10π,0)時(shí)，f(x)=e-xsin令f'(x)=0得，因此，f(x)在(-10π,10π)內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0≥0=ax，則a∈R，當(dāng)x∈(0,π4]設(shè)g(x)=exsin令h(x)=xsinx+xcos∴h'(x)=∴h(x)>h(0)=0∴g'(x)>0，g(x)又由洛必達(dá)法則知：當(dāng)x→0時(shí)，g(x)=∴a≤1，故答案D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)、周期函數(shù)定義，三角函數(shù)的幾何性質(zhì)，函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，考查綜合分析求解與論證能力，屬較難題.題型5恒成立問(wèn)題之兩個(gè)函數(shù)問(wèn)題此類函數(shù)，多采用兩函數(shù)“取最值法”.一般地，已知函數(shù)y=fx,x∈（1）若?x1∈a,b，?x（2）若?x1∈a,b，?x（3）若?x1∈a,b，?x（4）若?x1∈a,b，?x2∈◆類型1同變量型【例題5-1】（2023秋·廣東陽(yáng)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=ex-lnx，gA．e B．1 C．-1 D．-【答案】A【分析】令hx=fx-gx=ex-lnx-ax-b，其中x∈0,+∞，分析可知，存在x0∈0,+∞，使得q【詳解】令hx=fx-gx令px=ex-故函數(shù)h'x=①當(dāng)a<0時(shí)，p1=e-1-a>0，所以，p1所以，存在x0∈1②當(dāng)a=0時(shí)，px=ex-所以，存在x0∈1③當(dāng)a>0時(shí)，令qx=xe令mx=e當(dāng)x<0時(shí)，m'x<0當(dāng)x>0時(shí)，m'x>0所以，mx≥m0=0，即所以，qe所以存在x0∈0,ea由上可知，對(duì)任意的a∈R，存在x0∈0,+當(dāng)0<x<x0時(shí)，h'當(dāng)x>x0時(shí)，h'所以，h=1-x0所以，a+b≤e令nx=2-x所以，n'當(dāng)0<x<1時(shí)，n'x>0當(dāng)x>1時(shí)，n'x<0所以，nxmax=n1=故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)fx在區(qū)間a,b（1）若函數(shù)fx在區(qū)間a,b上單調(diào)，則fa與（2）若函數(shù)fx在區(qū)間a,b內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)fx在區(qū)間a,b上的極值，再與fa（3）若函數(shù)fx在區(qū)間a,b【變式5-1】1.（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=-x2+m2x+2(m>0),g(x)=eA．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】將不等式整理為ex-mx+8>0,(m>0)，由此構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-mx+8，將不等【詳解】由題意不等式g(x)>2f(x)-x2-11即ex-mx+8>0,(m>0)對(duì)一切令h(x)=ex-mx+8當(dāng)x<lnm時(shí)，h'(x)<0；當(dāng)即h(x)=ex-mx+8在(-故hxmin=h令φ(m)=m-mln當(dāng)0<m<1時(shí)，φ'(m)>0，當(dāng)m>1時(shí)，則φ(m)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞且φ(m)max=φ(1)=9>0，當(dāng)m>0,m→0取m=e2∈取m=8,即φ(m)在(1,+∞)存在唯一的零點(diǎn)m0故m∈0,m0時(shí)，φ(m)>0，故正整數(shù)m的最大值為7，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于不等式恒成立求參數(shù)的范圍問(wèn)題，一般解決方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，即將不等式整理，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值；另外有時(shí)也可以參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決.【變式5-1】2.（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知fx=mx+n，gx=lnx，對(duì)于A．-ln2 B．－1 C．【答案】C【分析】等價(jià)于對(duì)于?x∈0,+∞，n≥lnx-mx恒成立，設(shè)h(x)=lnx-mx,(x>0)，求出函數(shù)h(x)最大值，得到【詳解】因?yàn)閷?duì)于?x∈0,+∞，所以對(duì)于?x∈0,+∞，設(shè)h(x)=lnx-mx,(x>0)，所以當(dāng)m≤0時(shí)，h'(x)>0，函數(shù)所以函數(shù)h(x)沒(méi)有最大值，所以這種情況不滿足已知；當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)x∈(0,1m)時(shí)，h當(dāng)x∈(1m,+∞)所以h(x)所以n≥-1-ln所以m+2n≥m-2-2ln設(shè)p(m)=m-2-2ln所以p'當(dāng)0<m<2時(shí)，p'(m)<0，函數(shù)當(dāng)m>2時(shí)，p'(m)>0，函數(shù)所以p(m)所以m+2n的最小值為-ln故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問(wèn)題的求解，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接法；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.【變式5-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x-lnx+1，gx=e【答案】k≤1【分析】將不等式gx≥kfx展開并變形，即ex-x-1≥k【詳解】由題意得：ex-x-1≥kx-即e即ex-x-1≥ke設(shè)φ(x)=x-ln故φ(x)=x-ln(x+1)在x∈0即x≥ln(x+1)，當(dāng)且僅當(dāng)又設(shè)h(x)=e故h(x)=ex-x-1,(x≥0)而ln(x+1)≥0,(x≥0)，故e因?yàn)閤≥lnx+1，故ex故要使ex-x-1≥kx-當(dāng)x=0時(shí)，上式顯然成立；x>0時(shí)，只需ex-x-1x-所以只需k≤1，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≤1.【變式5-1】4.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)三次函數(shù)f(x)=13ax3+12bx2+cx，（a,b,c為實(shí)數(shù)且a≠0【答案】2【分析】先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，求出g(x)，不等式f'(x)?g(x)恒成立問(wèn)題即二次不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)圖像可得Δ?0且a>0，可得出ca?1，分ca【詳解】因?yàn)閒(x)=13ax3因?yàn)閷?duì)任意x∈R，不等式f'(x)?g(x)恒成立，所以ax2+bx+c?2ax+b恒成立，即ax2+(b-2a)x+c-b?0恒成立，所以Δ=(b-2a)2-4a(c-b)?0且a>0，即b2?4ac-4a2，所以4ac-4a2?0，所以c?a>0，所以故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查多變量的最值的問(wèn)題，根據(jù)變量之間的關(guān)系，進(jìn)行代換，換元，利用基本不等式求最值，是道難度比較大的題目◆類型2不同變量型【例題5-2】（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=x-1ex-e，gx=A．0 B．1 C．1e【答案】C【分析】根據(jù)不等式fx1≥gx2恒成立的等價(jià)形式fminx1≥g【詳解】依題意，當(dāng)x1>0,x2>0對(duì)于fx，當(dāng)0<x<1時(shí)，x-1<0，ex-當(dāng)x≥1時(shí)，x-1≥0，ex-e當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，fmin當(dāng)x>0時(shí)，gx=ln令hx=ln當(dāng)0<x<e時(shí)，h'x當(dāng)x>e時(shí)，h'x∴h∴a≥1e，∴a的最小值為故選：C.【例題5-2】1.（多選）（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知fx=xex，gx=xlnA．當(dāng)t>0時(shí)，x1x2=tC．不存在t，使得f'x1=g【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化同構(gòu)形式x1ex1=x2lnx2=lnx2eln【詳解】選項(xiàng)A，∵fx1=g則x1>0,x由fx=xe當(dāng)x>0時(shí)，f'x>0，則f所以當(dāng)t>0時(shí)，fx=t有唯一解，故∴x選項(xiàng)B，由A正確，得lnt設(shè)φt=ln令φ't易知φt在0,e上單調(diào)遞增，在∴φt≤φe=1選項(xiàng)C，由f'x=得f'-1=故存在t=-1e，使得選項(xiàng)D，由x>0，fx>gx令rx=e由r'x在0,+∞上遞增，又r∴存在x0∈1∴rx在0,x0上遞減，在x0,+∞上遞增（其中∴rx要使m<ex-lnx故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合題型中，在題干條件中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，通?？梢钥紤]借助冪函數(shù)作為橋梁，通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為相同結(jié)構(gòu)的式子，再構(gòu)造函數(shù)研究問(wèn)題，即指對(duì)同構(gòu)思想的應(yīng)用.【變式5-2】2.（2022秋·四川綿陽(yáng)·高三四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=lnxx，g(x)=-ex2+ax(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，對(duì)任意的x【答案】2,+【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤g【詳解】對(duì)任意的x1∈R，存在x2∈f'x=1-lnxx2，x>0，令故fx在0，e遞增，在e故g(x)=-ex21ex+ex≥21ex故答案為：2,+【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題，將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.【變式5-2】3.（2022秋·四川·高三棠湖中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ax2+1，當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x1、x【答案】a<-【詳解】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)題中所給的大的范圍，可以確定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍.詳解：g'(x)=2ax，依題意，x∈[1,e]時(shí)，fmin已知a≤0，則g'(x)<0，所以g(x)在[1,e]上單調(diào)遞減，而f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，所以fmin(x)=f(1)=-a，所以有-a>a+1，得a<-12，故a的取值范圍是點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)恒成立問(wèn)題對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要根據(jù)題意向最值靠攏，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)相應(yīng)的最值，求得結(jié)果.【變式5-2】4.（2021秋·湖北襄陽(yáng)·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=lnx-14x+34x【答案】[【詳解】試題分析：f'(x)=1x-14-34x2=-34(1x-23由-12≥1-m得m≥32，即P={x|m≥32}，由考點(diǎn)：含有量詞的命題的真假，集合的運(yùn)算．【名師點(diǎn)睛】設(shè)在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的最大值為M，最小值為m，函數(shù)g(x)的最大值為N，最小值為n，含有量詞的不等式恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化：（1）?x1,x2（2）?x1∈I,?x2（3）?x1,x2（4）?x1∈I,?x2◆類型3函數(shù)相等型【例題5-3】（2021秋·江西·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=(12)x-14,x<1log2A．0,54 B．0,54【答案】A【分析】探討函數(shù)f(x)的性質(zhì)并求出其值域，再把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)的值域包含于g(x)在(0,+∞)上的值域，然后分類討論g(x)在(0,+∞)上的值域即可得解.【詳解】依題意，當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，f(x)=(12)x當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí)，f(x)=log2(x+3)是增函數(shù)，?x≥1，f(x)≥f(1)=log2“對(duì)任意的x1∈R，總存在實(shí)數(shù)x2∈(0,+∞)，使得fx1=g①當(dāng)a=0時(shí)，gx=2x-1，此時(shí)gx在區(qū)間(0,+∞)上值域?yàn)?1,+∞，有(②當(dāng)a<0時(shí)，gx=ax2+2x+a-1圖象對(duì)稱軸x=-1a，在x>0時(shí)，當(dāng)x=-顯然(14,+∞)③當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)gx=ax2+2x+a-1在(0,+∞)單調(diào)遞增，gx在于是得a-1≤14，解得a≤5綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,5故選：A【變式5-3】1.（2022·天津和平·耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2x-2，g(x)=asinx+2,x≥0x2A．-∞,12C．-∞,12【答案】B【解析】求出兩個(gè)函數(shù)的值域，結(jié)合對(duì)任意x1∈1,+∞，總存在x2∈R，使f(【詳解】對(duì)任意x∈1,+∞，則f(x)=2x-2≥2若對(duì)任意的x1∈1,+∞，總存在x設(shè)函數(shù)g(x)的值域?yàn)锳，則滿足[1當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)g(x)=x2+2a當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=asin（1）當(dāng)2a<12，即a<1（2）當(dāng)a≥14時(shí)，此時(shí)2a≥12，要使[12,+∞)?A成立，則此時(shí)當(dāng)x≥0綜上所述：a<14或故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為f(x)的值域是g(x)值域的子集，若懂得借助函數(shù)圖象進(jìn)行分析，則更容易看出問(wèn)題的本質(zhì).【變式5-3】2.（2023·新疆烏魯木齊·烏市一中?？既＃┮阎瘮?shù)fx=e2x-2x+1,gA．fx1C．ln2x【答案】D【分析】構(gòu)造φx=fx-gx(x>1)，對(duì)φx求導(dǎo)，得出φx的單調(diào)性即可判斷A；由fx1=gx2可得e2x1-2【詳解】令φx則φ'x=2e2xφx>φ1由題意得e2所以e2因?yàn)閤1,x令hx=ex-x-1(x>0)，則h所以hx在0,+∞上單調(diào)遞增，故所以h2x1故2x又e2所以e2x1-2x所以x1故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式fx>gx（或fx<gx）轉(zhuǎn)化為證明（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).【變式5-3】3.（2021·河南·統(tǒng)考一模）定義：[ln(g(x))]'=1g(x)?g'(x).設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2x+a，g(x)=8A．(16ln2-15,0)C．(0,8ln2-3)【答案】C【解析】由題意原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為p(x)=x2+2x+a-8ln(x+1)，x∈(0,3)在x∈(0,3)【詳解】根據(jù)題意，令x2+2x+a=8ln(x+1)，得x2+2x+a-8ln(x+1)=0.構(gòu)造p(x)=x2+2x+a-8ln(x+1)，x∈(0,3)，題目條件可轉(zhuǎn)化為函數(shù)p(x)在(0,3)上有兩個(gè)零點(diǎn).p'(x)=2x+2-8x+1=2?(x-1)(x+3)x+1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的思想與方法，屬于難題.【變式5-3】4.（2021春·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?e-x，gx=-A．4e2<c<43 B．【答案】B【分析】因?yàn)閤1為任意，先通過(guò)f'x研究fx在x∈0,+∞上的單調(diào)性，極值，并求出其值域，對(duì)?x1∈0,+∞，?x2∈1,3【詳解】若對(duì)?x1∈0,+∞，?x2∈1,3，使fxfx=x2·e-x，fx∈2,+∞，f'x所以x=2時(shí)，取極大值，為f2=4e2，且所以fx在0,+∞上的值域?yàn)?，gx=-1所以x∈1,3，g'x所以gx在1,3上的值域?yàn)橐筭x在x∈1,3上的值域范圍比f(wàn)x則需滿足4e2故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極值和值域，對(duì)量詞的理解和轉(zhuǎn)化，屬于難題.題型6恒成立問(wèn)題之構(gòu)造函數(shù)-些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，需要先構(gòu)造合理的函數(shù)形式再求導(dǎo)研究，以達(dá)到"化繁為簡(jiǎn)"的目的【例題6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知ε>0，x,y∈-π4A．cosx≤cosy B．cosx≥【答案】A【分析】構(gòu)造fx=sin【詳解】構(gòu)造fx=sin則f'當(dāng)x∈-π4,π所以fx=sin因?yàn)?<當(dāng)sinxex+ε=sinyeyy=cosx，x∈0,當(dāng)sinxex+ε=sinyey<0y=cosx,x∈-故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，構(gòu)造函數(shù)，本題中構(gòu)造fx【變式6-1】1.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2+1exA．-∞,1C．-∞,3【答案】D【分析】導(dǎo)數(shù)研究fx單調(diào)性，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為x12+1e【詳解】當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，故fx故fx令gx=x令g'x≤0令hx=(x+1)故當(dāng)x∈0,1時(shí)，h當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，即函數(shù)hx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+故2λ≥h1=4故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為2e故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，將問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為2λ≥(x+1)【變式6-1】2.（2022秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=alnx+1+x2，在區(qū)間3,4內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，A．-9,+∞ B．-7,+∞ C．9,+【答案】A【分析】化簡(jiǎn)題目所給不等式，構(gòu)造函數(shù)gx=fx-1-x，由g'x≥0【詳解】不妨設(shè)3<x則fx即fx令g=aln則gx∴gx在3,4g'x=而a≥x?3-2x令hx=x3-2x則hx在3,4∴hx∴a≥-9，a的取值范圍是-9,+∞故選：A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，可以利用分離常數(shù)法，然后通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)求得參數(shù)的取值范圍【變式6-1】3.（2022秋·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=aex+4x，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,xA．2e,+∞ B．2e【答案】B【分析】不妨設(shè)x1>x2，則由題意可得fx1-x12>fx2-x22【詳解】不妨設(shè)x1>x2，由即fx令g(x)=f(x)-x2，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1即g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，所以即a≥2x-4ex令h(x)=2x-4ex令h'(x)>0，解得x<3，令h'所以h(x)在(-∞,3)上單調(diào)遞增，在所以h(x)max=h(即實(shí)數(shù)a的取值范圍是2e故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是設(shè)x1>x2，然后將原不等式化為fx1-x12>f【變式6-1】4.（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知2021lna=a+m，2021lnb=b+m，其中a≠b，若A．2021e2,+∞ B．2021【答案】C【分析】令f(x)=lnx-12021x，則f'(x)=1x-12021=2021-x2021x【詳解】解：令f(x)=lnx-1∴當(dāng)x∈(0,2021)時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x∈(2021,+∞∵f(2021)>0，∴設(shè)0<a<2021<b，則ba兩式相減，得2021lnba=b-a，則2021ln∴ab=2021令g(t)=t(lnt)令h(t)=(lnt)令m(t)=lnt+1-t，則∴函數(shù)m(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，∴m(t)<m(1)=0,即h'(t)<0,∴g'(t)<0，∴函數(shù)g(t)在(1,+∞)∴t(lnt)2-(t-1)2∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為20212故選：C．【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別題型7零點(diǎn)問(wèn)題1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；2.方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理，可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法、把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.【例題7】（2022秋·江西撫州·高三臨川一中?？计谥校┤艉瘮?shù)fx=ex+aA．4e5 B．e2 C．【答案】A【分析】設(shè)t為函數(shù)fx的零點(diǎn)，則et+at-1+b=0，轉(zhuǎn)化為a,b在直線t-1x+y+et=0【詳解】由題意，函數(shù)fx設(shè)t為函數(shù)fx在12,1即t-1a+b+et=0，即點(diǎn)又a2+b2表示點(diǎn)a,b到原點(diǎn)的距離的平方，則令gt=e因?yàn)閑2t>0,t2-3t+3>0，所以g所以gt最小值為g(故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)零點(diǎn)t∈[12,1]有et+at-1+b=0，換主元化為點(diǎn)a,b【變式7-1】1.（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex,x≤1A．0,14C．0,1515【答案】C【分析】作出函數(shù)y=fx與函數(shù)y=kx+2的圖像，討論曲線y=kx+2k>0與曲線y=exx≤1，y=【詳解】作出fx=e如圖所示，

由y=-整理得x-22當(dāng)直線y=kx+2k>0與圓則4kk2+1再考慮直線y=kx+2與曲線y=設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為t,et，對(duì)函數(shù)y=e則所求切線的斜率為et所求切線即直線y=kx+2方程為y-直線y=kx+2過(guò)定點(diǎn)-2,0將-2,0代入切線方程得-et=所以切點(diǎn)坐標(biāo)為-1,1所以k=1當(dāng)直線y=kx+2過(guò)點(diǎn)1,e時(shí)，則解得k=e由于函數(shù)gx由圖可知，實(shí)數(shù)k的范圍為0,15故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，主要從以下幾個(gè)角度分析：（1）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化；（2）注意各段函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的定義域；（3）導(dǎo)數(shù)即為切線斜率的幾何應(yīng)用；（4）數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.【變式7-1】2.（2021秋·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期末）已知函數(shù)fx=aA．1,e2e B．e1【答案】D【分析】分析可知函數(shù)fx在-∞,0上有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)fx在0,+∞上沒(méi)有零點(diǎn)，由fx≠0可得出lna≠2lnx【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，y=axa>1為增函數(shù)，y=因?yàn)閒-1=1由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)fx在-1,0故函數(shù)fx在-由題意可知，函數(shù)fx在0,+當(dāng)x>0時(shí)，由fx=a即xlna≠2ln設(shè)hx=2lnx當(dāng)0<x<e時(shí)，h'x>0，函數(shù)當(dāng)x>e時(shí)，h'x<0，函數(shù)所以，hx極大值=h

因?yàn)閍>1，則lna>0，故當(dāng)lna>2直線y=lna與函數(shù)綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是e2故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理【變式7-1】3.（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)a>0，b∈R，已知函數(shù)fx=xexA．e26 B．e25【答案】B【分析】設(shè)函數(shù)fx的零點(diǎn)為t，可得t-3a+b+tet=0，由此可得點(diǎn)a,b【詳解】函數(shù)fx=xe則1≤t≤3，且tet+a所以點(diǎn)a,b在直線t-3x+y+t又a2+b故a2所以a2設(shè)gt則g'故g'設(shè)ht則h'因?yàn)?≤t≤3，所以h'所以函數(shù)ht=t所以當(dāng)1≤t≤3時(shí)，ht故當(dāng)1≤t≤3時(shí)，g't>0，函數(shù)g所以gt所以當(dāng)-2a+b+e=0，a=-2b時(shí)，a2所以當(dāng)a=2e5,b=-e故選：B.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，直線方程的定義，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.【變式7-1】4.（2023·四川廣元·?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=2lnA．ln22,1e B．【答案】B【分析】參變分離得到即g(x)=2lnxx2與y=3a的圖象在2,e上有2個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得到g(x)=2ln【詳解】函數(shù)fx=2ln即3a=2lnx即g(x)=2lnxx2g'當(dāng)2<x<e時(shí)，g'當(dāng)e<x<e時(shí)，g'故g(x)=2lnx所以g(x)max=g(e構(gòu)造φ(x)=lnxx，求導(dǎo)得φ'所以：φ(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(即：g(作出y=g(x),y=3a圖象，如圖，

由圖象可知，當(dāng)ln2即ln故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對(duì)待含參的不等式問(wèn)題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.題型8同構(gòu)問(wèn)題同構(gòu)法的三種基本模式：①乘積型，如aea≤blnb②比商型，如eaa<bln③和差型，如ea±a>b±lnb，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)【例題8】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)x∈0,+∞，不等式A．0<m≤1 B．m≤1 C．0<m≤e D．【答案】C【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為x≥ln(mx)恒成立，即m≤e【詳解】已知x∈0,+∞，由mx>0知由ex-ln構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+x，f(x)則由f(x)≥f(ln(mx))得x≥ln令g(x)=eg'(x)=(x-1)e當(dāng)x∈(0,1),g'(x)<0當(dāng)x∈(1,+∞),g∴g(x)則m≤e，又m>0，則0<m≤故選：C.【變式8-1】1.（2021秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)k>0，若存在正實(shí)數(shù)x，使得不等式log27x-k?3A．1eln3 B．ln3【答案】A【分析】化簡(jiǎn)log27x-k?3從而xlog3x≥kx?構(gòu)造函數(shù)fx=x?3x，有單調(diào)性得再構(gòu)造函數(shù)gx=log【詳解】解：因?yàn)閘og33x≥k因?yàn)閤>0，所以xlog即3log設(shè)函數(shù)fx=x?3f'所以函數(shù)fx=x?3所以log3x≥kx>0所以設(shè)函數(shù)gxg'所以函數(shù)gx=log3x所以gx所以k的最大值為1e故選：A.【變式8-1】2.（2023秋·廣東中山·高三?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意x∈0,+∞，keA．-1 B．13 C．1e【答案】D【分析】將恒成立的不等式化為ekx+1lnekx>x+1lnx，構(gòu)造函數(shù)fx=x+1lnx，利用導(dǎo)數(shù)可求得【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，由kekx+1∴e令fx=x+1令gx=f∴當(dāng)x∈0,1時(shí)，g'x<0；當(dāng)∴f'x在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∴fx在0,+由ekx+1lnekx>x+1令hx=ln∴當(dāng)x∈0,e時(shí)，h'x>0∴hx在0,e上單調(diào)遞增，在e,+∴當(dāng)x>0時(shí)，k>lnxx∴實(shí)數(shù)k的可能取值為2e故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)τ诤愠闪⒌牟坏仁竭M(jìn)行同構(gòu)變化，將其轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值之間的大小關(guān)系的問(wèn)題，從而利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)進(jìn)行求解【變式8-1】3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已如函數(shù)fx=aex+lna+1A．0,1e2 B．0,1【答案】D【分析】將所求不等式變形為et+lna+t+lna≥elnt-1+ln【詳解】當(dāng)t>1時(shí)，由ft>ln所以et+構(gòu)造函數(shù)gx=ex+x，其中x∈R，則g由et+lna所以t+lna≥lnt-1，即令hx=lnx-1-x當(dāng)1<x<2時(shí)，h'x>0當(dāng)x>2時(shí)，h'x<0所以lna≥hxmax=h2=-2，所以故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是將所求不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.【變式8-1】4.（2022秋·福建莆田·高三莆田二中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意x>0，若不等式ax2≤A．(0，2e] B．(0,e]【答案】B【分析】將ax2≤ex+axlnx(a>0)變形為exx-alne【詳解】對(duì)任意x>0，若不等式ax即exx-a(x-設(shè)f(x)=exx當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)<0，f(x)在當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，f(x)在故當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極小值也是最小值，即f(x)≥f(1)=e令t=exx,(t≥e設(shè)g(t)=t故g(t)=tlnt所以a≤e，又因?yàn)閍>0所以a的取值范圍為(0,e故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的恒成立成立問(wèn)題，解答時(shí)要注意對(duì)不等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪?，從而分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決.【變式8-1】5.（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）定義：設(shè)函數(shù)y=fx在a,b上的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若f'x在a,b上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函數(shù)y=fx在a,b上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)記為y=f″x．若在區(qū)間a,b上f″x【答案】1【分析】對(duì)函數(shù)fx求導(dǎo)兩次得到f″x，再由f″x>0得到2xe從而得到2x>lnxa，變式得：a>xe【詳解】函數(shù)fx=1則f'x=a由題意得，f″x=2a所以2a則2e2x>當(dāng)lnxa≤0令g(x)=xex（x>0），則x>0時(shí)，g'x>0，所以g由2xe2x>所以2x>lnxa即x>0時(shí)，a>x設(shè)hx=xe2x當(dāng)0<x<12時(shí)，h'x>0當(dāng)x>12時(shí)，h'x<0所以hx≤h1故實(shí)數(shù)a的取值范圍為12故答案為：12題型9整數(shù)解問(wèn)題1.通過(guò)函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來(lái)切入2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題【例題9】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式x(x-mex)>mexA．(165e4,9【答案】D【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m(x+1)<x2ex（x>0）有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，討論m≤0、m>0并構(gòu)造【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，由x2-mxex-m顯然當(dāng)m≤0時(shí)，不等式m(x+1)<x2e當(dāng)m>0時(shí)，令f(x)=m(x+1)，則f(x)在(0,+∞令g(x)=x2ex，則g'(x)=x(2-x)ex∴g(x)在(0,2)上遞增，在(2,+∞又f(0)=m>g(0)=0且x趨向正無(wú)窮時(shí)g(x)趨向0，故g(x)∈(0,4綜上，f(x),g(x)圖象如下：由圖知：要使f(x)<g(x)有兩個(gè)正整數(shù)解，則{f(1)<g(1)f(2)<g(2)f(3)≥g(3)，即{故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為m(x+1)<x2e【變式9-1】1.（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知偶函數(shù)fx滿足f4+x=f4-x，f0=-1，且當(dāng)x∈0,4時(shí)，fx=lnxA．-1,0 B．0,ln22 C．【答案】B【分析】分析可知，函數(shù)fx是周期為8的周期函數(shù)，由題意可得關(guān)于x的不等式fx>a在0,8上有且只有5【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)fx滿足f4+x=f4-x，則所以，函數(shù)fx是周期為8當(dāng)x∈0,4時(shí)，f'x=1-由f'x>0可得0<x<e，由所以，函數(shù)fx在0,e上單調(diào)遞增，在因?yàn)殛P(guān)于x的不等式fx>a在-48,48上有且只有則關(guān)于x的不等式fx>a在0,8上有且只有

因?yàn)閒4=ln又因?yàn)閒3>f4，所以，要使得不等式fx>a則這五個(gè)整數(shù)解分別為3、5、2、4、6，所以，f2>a≥f1故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)的圖象，明確整數(shù)解是哪些整數(shù)，再結(jié)合圖形求解.【變式9-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-ax-1(a∈R)，若不等式f(x)<0最多只有一個(gè)整數(shù)解，則A．-∞,C．-∞,【答案】D【分析】參變分離后構(gòu)造新函數(shù)再求導(dǎo)，得出其單調(diào)性與趨向，即可做出草圖，由草圖得出答案.【詳解】解法1（全分離）：f(x)<0，則(x-1)ln令g(x)=(x-1)lnx-1令h(x)=x+lnx(x>0)，顯然h(x)在(0,+∞)上遞增，且故h(x)在(0,+∞)有唯一的零點(diǎn)x0當(dāng)0<x<x0時(shí)，h(x)<0，所以當(dāng)x>x0時(shí)，h(x)>0，所以注意到x→0+時(shí)，g(x)→+∞；x→+且g(1)=-1,g(2)=ln據(jù)此可作出g(x)的圖象的草圖如圖1，由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)a≤g(2)=ln2-12時(shí)，不等式g(x)<a故選D.解法2（半分離）：f(x)<0，則(x-1)ln令g(x)=(x-1)lnx(x>0)，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，lnx<0,1-1x當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，lnx>0,1-從而g(x)在(0,1)上遞減，在(1,+∞又g(1)=0，故可作出g(x)圖象的草圖如圖2，由圖可知臨界狀態(tài)為直線y=ax+1恰過(guò)點(diǎn)(2,ln2)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a≤ln2-12故選D【變式9-1】3.（2023春·湖北武漢·高三武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ax+lna，g(x)=x+ex-A．(e,e2] B．【答案】D【分析】將f(x)>g(x)化為elnax+lnax>ex+x，再根據(jù)函數(shù)y=ex【詳解】顯然a>0，由f(x)>g(x)，得ax+lna>x+e得eln令y=ex+x，x>0，則y所以函數(shù)y=ex+x所以elnax+lnax>e所以關(guān)于x的不等式a>exx令g(x)=exx(x>0)，則g令g'(x)>0，得x>1，令g'所以g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+∞因?yàn)殛P(guān)于x的不等式a>exx結(jié)合圖形可知，滿足題意的整數(shù)解只能是1和2，所以g(2)<a≤g(3)，即e2故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)y=ex+x的單調(diào)性，將f(x)>g(x)化為a>exx，再構(gòu)造函數(shù)【變式9-1】4.（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┮阎猣x=ax+1exA．32eC．32e【答案】A【分析】計(jì)算可得f-1=2>0，分x<-1、x>-1兩種情況討論，令gx=2x【詳解】因?yàn)閒-1①當(dāng)x<-1時(shí)，由fx<0可得a>2x則g'x=-2x2+x-1當(dāng)x<-5+12時(shí)，g當(dāng)-5+12<x<-1時(shí)，且g-2=4e②當(dāng)x>-1時(shí)，由fx<0可得令gx=2x由g'x=0，可得x=-當(dāng)-1<x<5-12時(shí)，g當(dāng)x>5-12時(shí)，g因?yàn)?<5-12<1，因?yàn)間1因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)整數(shù)解使fx所以，g3≤a<g2綜上所述，32故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)，解題的關(guān)鍵在于利用參變量分離法以及數(shù)形結(jié)合思想可得出參數(shù)的取值范圍.【變式9-1】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=kx(x+1)-lnx，若A．(ln5C．(ln2【答案】C【分析】將問(wèn)題化為k(x+1)≤lnxx有且只有兩個(gè)整數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)=lnx【詳解】由題設(shè)，f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，則f(x)≤0可得令g(x)=lnxx所以0<x<e時(shí)g'(x)>0，即g(x)x>e時(shí)g'(x)<0，即g(x)而y=k(x+1)恒過(guò)(-1,0)，函數(shù)圖象如下：要使k(x+1)≤lnxx有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則y=k(x+1)若交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1<x所以{3k≤ln2故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先轉(zhuǎn)化為k(x+1)≤lnxx有且只有兩個(gè)整數(shù)解，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷g(x)=題型10函數(shù)凹凸性問(wèn)題凹凸函數(shù)常見的圖形【例題10】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ln【答案】3【分析】利用公切線與隱零點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m關(guān)于公切點(diǎn)x0【詳解】原不等式等價(jià)于lnx+m<ex+1，由若滿足題意，則只要m小于y=lnx+m與y=e設(shè)公切點(diǎn)為x0,y0，則有所以m=-x令gx=ex+x而g-故?x0+1∈-3由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得m=-x故最大整數(shù)m取3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)問(wèn)題，屬于壓軸題.常見的方法為：（1）分離參數(shù)為m≥fx恒成立（m≥fxmax）或m≤f（2）數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)誰(shuí)在上方問(wèn)題即可；（3）討論最值y=fxmin≥0（4）有些小題可以直接利用常見的函數(shù)放縮（ex【變式10-1】1.（2021春·湖北鄂州·高二統(tǒng)考期末）已知大于1的正數(shù)a，b滿足ln2beA．7 B．8 C．9 D．11【答案】C【解析】ln2be2a<bnan等價(jià)于ln2bbn<e2aan，令fx=ln2xxn，gx=【詳解】解：由題干條件可知：ln2be令fx=ln2xf'x=0，當(dāng)f'x>0時(shí)，x∈1,e所以fx在1,e2n上單調(diào)遞增，在fe令gx=e2xxn，x>1，則則g'x=0,x=n2，當(dāng)所以gx在1,n2上單調(diào)遞減，在n2,+∞若ln2bbn<e2a兩邊取對(duì)數(shù)可得：n+2≥(n-2)lnn2.n=2時(shí)，等式成立，當(dāng)n≥3令φx=x+2φ'x=-4(x-2)2φ8=53-所以φx故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)法解決恒成立問(wèn)題.方法點(diǎn)睛：雙變?cè)暮愠闪?wèn)題，經(jīng)常采用構(gòu)造成兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為fx1<g【變式10-1】2.（2023秋·江蘇南京·高三南京市中華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足ln(4x+3y-6)-ex+y-2A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【分析】設(shè)m=4x+3y-6，n=x+y-2，得【詳解】設(shè)m=4x+3ylnm-e令f(m)=lnm-m，f'(m)=1m-1,∴0<m<1,f'(m)>0,;m>1,f令h(n)=en-n-2由題意f(m)≥h(n)∴m=1故選A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值問(wèn)題，換元思想，將題目轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題是關(guān)鍵，是難題【變式10-1】3.（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ex(|A．(-e,+∞) B．(-1e,+∞) C．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，令f(x)=0，可得xex+m=|lnx|，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xex+m【詳解】令f(x)=0，可化為xe令g(x)=xex+m，g'(x)=1-x當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g'(x)<0，所以g(x)g(x)先增后減，即從負(fù)無(wú)窮增大到1e+m，然后遞減到m，而函數(shù)y=|lnx|是(所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的綜合應(yīng)用，注意函數(shù)的極限值情況，屬于難題．題型11倍函數(shù)問(wèn)題1.保值函數(shù)，包括“倍增函數(shù)”，“倍縮函數(shù)”，“K倍函數(shù)”，等等新定義2.應(yīng)用函數(shù)思想和方程思想.【例題11】（2023春·北京海淀·高二校考階段練習(xí)）若存在x1,x2∈a,b且x1≠x2，使gx1-gx2>Lfx1A．-∞,e9C．-∞,e D．-∞,e【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)可證得gx在e,e上單調(diào)遞增，設(shè)e≤x2<x1≤e，可將不等式化為gx1-Lfx1>g【詳解】∵g'x=2lnx-12lnx+1由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知：fx在e不妨設(shè)e≤由gx1-g∴gx令hx=gx-Lfx，則hx1即h'x=即L<x2lnx-12令lnx=t，則t∈令Ft=e∵F't=et2t-1∴Ftmax=F1=e9，∴故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是理解新定義并結(jié)合題中函數(shù)的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)；二是合理對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題，利用分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的關(guān)系，從而利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解【變式11-1】1.（2020秋·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)的值域?yàn)閇ka，kb](k>0)，則稱y=f(x)為k倍值函數(shù).若f(x)=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A．(e+1e，+∞) B．(e+2C．(e+2，+∞) D．(e+3，+∞)【答案】D【解析】根據(jù)f(x)=ex+3x是定義域R上的增函數(shù)，易得fa=kafb=kb，即a,b是方程e【詳解】因?yàn)閒(x)=ex+3x是定義域R上的增函數(shù)，所以fa=kaf所以a,b是方程ex顯然x=0不是方程的根，所以k=e令gx=e當(dāng)x<0,0<x<1時(shí)，g'x<0，當(dāng)x>1所以當(dāng)x=1時(shí)，gx取得極小值e+3當(dāng)x→0時(shí)，gx→+∞，當(dāng)x→-∞時(shí)，畫出函數(shù)g(x)圖象，如下圖所示：所以k>e+3所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(e+3，+∞)，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．【變式11-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果存在x1，x2∈a,b且x1≠x2，使gx1-gx2>Lfx1-fx2成立，則在區(qū)間【答案】-∞,【分析】求導(dǎo)g'x=2lnx-12lnx+12，易知函數(shù)gx在e,e上單調(diào)遞增，fx在e,e上單調(diào)遞增，不妨設(shè)e≤【詳解】由題可知g'x=2lnx-12lnx+12，在e,e不妨設(shè)e≤x2所以gx1-g令hx=gx-Lfx，則h則h'x=2lnx-12所以L<x令lnx=t，則t∈12,1，令又F't=所以Ftmax=F所以實(shí)數(shù)L的取值范圍為-∞,故答案為：-∞,【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵：一是理解新定義并結(jié)合題中函數(shù)的性質(zhì)去絕對(duì)值符號(hào)；二是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，并構(gòu)造函數(shù)，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題，進(jìn)行分析求解【變式11-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)fx的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間a,b?D，使得函數(shù)fx滿足：①fx在a,b內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②fx在a,b上的值域?yàn)?a,2b①fx=x③fx=4x【答案】①③．【分析】根據(jù)新定義，先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷方程組f(a)=2af(b)=2b（增函數(shù)）或f(a)=2b【詳解】①函數(shù)fx=x2x≥0為增函數(shù)，若函數(shù)fx=x2x≥0存在“倍值區(qū)間”②函數(shù)fx=3xx∈R為增函數(shù)，若函數(shù)f當(dāng)x≤0時(shí)，y=3x>0，y=2x≤0當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)gx=3令h'x=故當(dāng)0<x<ln2時(shí)，h'x<0，hx單調(diào)遞減；當(dāng)所以hxmin=hln2所以此時(shí)3x綜上所述，3x=2x無(wú)解，故函數(shù)③當(dāng)x=0時(shí)，fx當(dāng)x>0時(shí)，fx=4x+1由復(fù)合函數(shù)可得函數(shù)fx在區(qū)間0,1若函數(shù)fx=4x1+x2在區(qū)間0,1存在“倍值區(qū)間”所以函數(shù)fx=4x④若函數(shù)fx=x=x,x≥0-x,x<0，所以若fx在0,+∞存在“倍值區(qū)間”所以則fa=a=2afb=b=2b若fx在-∞,0所以則fa=-a=2bfb=-b=2a故fx故答案為：①③．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.【變式11-1】4.(2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買房，若小王看中的高層住宅總共有n層（20≤n≤30，n∈N*），設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k-1層的“環(huán)境滿意度”多出3k2-3k+1；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k-1層的“高層恐懼度”高出13倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為（參考公式及數(shù)據(jù)：12+22+32【答案】10【分析】由題意可得a1=1，且ak-ak-1=3k2-3k+1，(k≥2)；b1=1，【詳解】依題意，a1=1，且ak所以a=1+(3×2由題意得b1=1，所以bk是以1為首項(xiàng)，43為公比的等比數(shù)列，所以故小王對(duì)第k層住宅的購(gòu)買滿意度ck方法一：由ck+1ck=(k+1)所以c1同理有c10方法二：設(shè)f(x)=x343x-1故1≤x≤3ln43時(shí)f'x≥3ln43時(shí)f'由于3ln43故f10故答案為：10【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得ak-ak-1=3k2-3k+1，【變式11-1】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)K，對(duì)任意x∈I,gx≥Kfx成立，則稱gx是fx在區(qū)間I上的“K倍函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=-x2-2x-4,x?0lnx+12【答案】1【分析】由題意分析可得x∈R,g(x)≥Kf(x)恒成立即為，當(dāng)x<0時(shí)，1K≤f(x)g(x)恒成立，當(dāng)【詳解】由題意可知f(x)g(x)={-x-2-4x,x≤0lnxx+1當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=x<0，f(x)=-x2-2x-4=-f(x)g(x)=-2-x-4x≥-2+2當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，g(x)≥Kf(x)?1設(shè)T(x)=f(x)g(x)=當(dāng)x=e時(shí)，T(x)取最大值，此時(shí)，f(x)g(x)=T綜上所述：K∈[1故答案為：[1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，通過(guò)分離常量將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x<0時(shí)，1K≤f(x)g(x)恒成立，當(dāng)題型12二次型函數(shù)問(wèn)題換元為主要切入點(diǎn).注意借助于雙坐標(biāo)系來(lái)轉(zhuǎn)換【例題12】（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=-x2+x+2,x<02x【答案】4,5【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出fx在0,+∞上的單調(diào)性與極大值，即可畫出函數(shù)fx的圖象，依題意可得關(guān)于x的方程2ef2x-afx+2e=0恰有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令fx=t，則關(guān)于t的【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)fx=2xex，則f當(dāng)x>1時(shí)f'所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+則fx在x=1處取得極大值，f1=2e，且x>0時(shí)f當(dāng)x<0時(shí)fx=-x2+x+2所以fx

對(duì)于函數(shù)gx=2ef2令fx=t，則要使2ef2即關(guān)于t的2et2-at+2e=0令gt=2et2所以Δ=a2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,5.故答案為：4,5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的大致圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題【變式12-1】1.（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=1-xex，若關(guān)于x【答案】a∣a<-22或a=【分析】借助導(dǎo)數(shù)求得fx【詳解】因?yàn)閒x=1-xex當(dāng)x<0時(shí)，f'x>0，當(dāng)x>0所以在-∞,0上單調(diào)遞增，在fx設(shè)t=fx，則2顯然t=0不是方程2t則4a=2t+1t（t≤1且如下圖所示，（1）當(dāng)-22<4a<22時(shí)，直線y=4a與曲線y=2t+1t則方程2f（2）當(dāng)4a=-22時(shí)，直線y=4a與曲線y=2t+1t（t≤1且t≠0此時(shí)直線t=-22與曲線fx（3）當(dāng)4a=22時(shí)，直線y=4a與曲線y=2t+1t（t≤1且t≠0此時(shí)