機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)第7版孫靖民部分習(xí)題答案

第1題當(dāng)取初始點(diǎn)時(shí)，，。第2題取時(shí)，，。第3題，。第4題取時(shí)，，。第5題可參考表4-1。第1題時(shí)，。第2題。第3題提示：求解方法可參考第四節(jié)中的應(yīng)用實(shí)例。第4題提示：如果設(shè)分別以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五種下料方式所用鋼材的件數(shù)，則此問題的數(shù)學(xué)模型是：求一組的值，滿足下列限制條件使總的尾料達(dá)到最小。第1題第2題，。第3題第4題第5題當(dāng)時(shí)，，該問題的最優(yōu)解為：。第六章習(xí)題解答已知約束優(yōu)化問題：試從第k次的迭代點(diǎn)出發(fā)，沿由（-11）區(qū)間的隨機(jī)數(shù)0.562和-0.254所確定的方向進(jìn)行搜索，完成一次迭代，獲取一個(gè)新的迭代點(diǎn)。并作圖畫出目標(biāo)函數(shù)的等值線、可行域和本次迭代的搜索路線。[解]1）確定本次迭代的隨機(jī)方向：用公式：計(jì)算新的迭代點(diǎn)。步長α取為搜索到約束邊界上的最大步長。到第二個(gè)約束邊界上的步長可取為2，則：該約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)的等值線、可行域和本次迭代的搜索路線如下圖所示。已知約束優(yōu)化問題：試以為復(fù)合形的初始頂點(diǎn)，用復(fù)合形法進(jìn)行兩次迭代計(jì)算。[解]1）計(jì)算初始復(fù)合形頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并判斷各頂點(diǎn)是否為可行點(diǎn)：經(jīng)判斷，各頂點(diǎn)均為可行點(diǎn)，其中，2）計(jì)算去掉最壞點(diǎn)后的復(fù)合形的中心點(diǎn)：3）計(jì)算反射點(diǎn)（取反射系數(shù)）4）去掉最壞點(diǎn)構(gòu)成新的復(fù)合形，在新的復(fù)合形中，進(jìn)行新的一輪迭代。5）計(jì)算新的復(fù)合形中，去掉最壞點(diǎn)后的中心點(diǎn)得：6）計(jì)算新一輪迭代的反射點(diǎn)得：設(shè)已知在二維空間中的點(diǎn)，并已知該點(diǎn)的適時(shí)約束的梯度，目標(biāo)函數(shù)的梯度，試用簡化方法確定一個(gè)適用的可行方向。[解]按公式6-32點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度為：點(diǎn)處起作用約束的梯度G為一個(gè)階的矩陣，題中：n=2，J=1：梯度投影矩陣P為：則：適用可行方向?yàn)椋阂阎s束優(yōu)化問題：試求在點(diǎn)的梯度投影方向。[解]按公式6-32點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)梯度為：點(diǎn)處起作用約束的梯度G為一個(gè)階的矩陣，題中：n=3，J=1：梯度投影矩陣P為：則：適用可行方向?yàn)椋?．用內(nèi)點(diǎn)法求下列問題的最優(yōu)解：（提示：可構(gòu)造懲罰函數(shù)，然后用解析法求解。）[解]構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)：令懲罰函數(shù)對x的極值等于零：得：舍去負(fù)根后，得當(dāng)。用外點(diǎn)法求下列問題的最優(yōu)解：[解]將上述問題按規(guī)定寫成如下的數(shù)學(xué)模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用懲罰函數(shù)法計(jì)算，即可得到如下的最優(yōu)解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=2KH=0X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01PEN=.5000000E+01R=.1000000E+01C=.2000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=21ITE=54ILI=117NPE=3759NFX=0NGR=0R=.1048577E-13PEN=.4229850E-06X:.9493056E-07.7203758E-07FX:.1669681E-06GX:-.7203757E-07-.9493056E-077．用混合懲罰函數(shù)法求下列問題的最優(yōu)解：[解]將上述問題按規(guī)定寫成如下的數(shù)學(xué)模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(2)-x(1)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=-log(x(1))]gx(2)=-x(1)gx(3)=-x(2)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=x(1)+x(2)-1end然后，利用懲罰函數(shù)法計(jì)算，即可得到如下的最優(yōu)解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=3KH=1X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01HX:.2000000E+01PEN=.5942695E+01R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=29ITE=143ILI=143NPE=1190NFX=0NGR=172R=.7205765E-11PEN=-.9999720E+00X:.1000006E+01.3777877E-05FX:-.1000012E+01GX:-.5960447E-05-.1000006E+01.6222123E-05HX:-.2616589E-06有一汽門用彈簧，已知安裝高度H1=50.8mm,安裝（初始）載荷F1=272N，最大工作載荷F2=680N，工作行程h=10.16mm彈簧絲用油淬火的50CrVA鋼絲，進(jìn)行噴丸處理；工作溫度126°C；要求彈簧中徑為20mm≤D2≤50mm，彈簧總?cè)?shù)4≤n1≤50，支承圈數(shù)n2=1.75，旋繞比C≥6；安全系數(shù)為1.2；設(shè)計(jì)一個(gè)具有重量最輕的結(jié)構(gòu)方案。[解]1．設(shè)計(jì)變量：影響彈簧的重量的參數(shù)有彈簧鋼絲直徑：d，彈簧中徑D1和彈簧總?cè)?shù)n1，可取這三個(gè)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量：即：2．目標(biāo)函數(shù)：彈簧的重量為式中ρ――鋼絲材料的容重，目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為３．約束條件：１）彈簧的疲勞強(qiáng)度應(yīng)滿足式中S――彈簧的疲勞安全系數(shù)，由下式計(jì)算：式中初選彈簧鋼絲直徑：4mm≤d≤8mm，其抗拉強(qiáng)度，取彈簧的循環(huán)工作次數(shù)大于，則材料的脈動(dòng)循環(huán)疲勞極限為設(shè)可靠度為90％，可靠性系數(shù)；工作溫度為126°C，溫度修正系數(shù)再考慮到材料經(jīng)噴丸處理，可提高疲勞強(qiáng)度10％，則彈簧實(shí)際的脈動(dòng)循環(huán)疲勞極限為彈簧材料的剪切屈服極限，計(jì)算公式為彈簧的剪應(yīng)力幅，計(jì)算公式為式中k――曲度系數(shù)，彈簧承受變應(yīng)力時(shí)，計(jì)算公式為――載荷幅，其值為――彈簧的平均剪應(yīng)力，計(jì)算公式為式中――應(yīng)力修正系數(shù)，計(jì)算公式為――平均載荷，其值為由此，得到彈簧疲勞強(qiáng)度的約束條件為計(jì)算剪應(yīng)力幅：計(jì)算平均應(yīng)力幅：計(jì)算彈簧的實(shí)際疲勞安全系數(shù)：從而得到彈簧的疲勞強(qiáng)度約束條件為２）根據(jù)旋繞比的要求，得到約束條件３）根據(jù)對彈簧中徑的要求，得到約束條件４）根據(jù)壓縮彈簧的穩(wěn)定性條件，要求：式中――壓縮彈簧穩(wěn)定性的臨界載荷，可按下式計(jì)算：式中K――要求彈簧具有的剛度，按下式計(jì)算：――彈簧的自由高度，按下式計(jì)算：當(dāng)時(shí)，――長度折算系數(shù)，當(dāng)彈簧一端固定，一端鉸支時(shí)，??；則：于是得5）為了保證彈簧在最大載荷作用下不發(fā)生并圈現(xiàn)象，要求彈簧在最大載荷時(shí)的高度應(yīng)大于壓并高度，由于于是得到６）為了保證彈簧具有足夠的剛度，要求彈簧的剛度與設(shè)計(jì)要求的剛度的誤差小于1/100，其誤差值用下式計(jì)算：式中G――彈簧材料的剪切彈性模量，取G=80000Mpa。于是得到７）為了限制設(shè)計(jì)變量的取值范圍，得到４．從上面的分析，以重量最輕為目標(biāo)的汽門彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題共有3個(gè)設(shè)計(jì)變量，９個(gè)約束條件。按優(yōu)化方法程序的規(guī)定，編寫數(shù)學(xué)模型的程序如下：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=0.1925e-4*x(1)*x(1)*x(2)*x(3)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)taoa=830.3*x(2)**0.86/x(1)**2.86taom=1212.12*x(2)/x(1)**3+745.46/x(1)**2s=365.4/(1.506*taoa+0.494*taom)gx(1)=1.2/s-1.0gx(2)=6.0*x(1)/x(2)-1.0gx(3)=20.0/x(2)-1.0gx(4)=x(2)/50.0-1.0p=1.0-13.98*(x(2)/((x(3)-0.5)*x(1)+20.304))**2if(p.lt.0.0)goto10fc=3.268*((x(3)-0.5)*x(1)+20.304)*(1.0-sqrt(p))gx(5)=68.0/fc-1.0goto2010gx(5)=-1.020gx(6)=0.0246*x(1)*x(3)-0.0123*x(1)-1.0gx(7)=-x(1)gx(8)=6.0-x(3)sit=(8.0*x(2)**3*(x(3)-1.75))if(sit.le.0.0)thengx(9)=-1.0elsesita=abs(80000.0*x(1)**4/sit-40.2)-0.402gx(9)=sitaendifendsubroutinehhx(n,kh,x,hx)dimensionx(n),hx(kh)hx(1)=0.0end５．利用懲罰函數(shù)法（SUMT法）或約束方向法（RANDIR法）計(jì)算，得到的計(jì)算結(jié)果如下：==============PRIMARYDATA==============N=3KG=9KH=0X:.6000000E+01.4000000E+02.6787000E+01FX:.1881356E+00GX:-.1916168E-01-.1000000E+00-.5000000E+00-.2000000E+00.1000000E+01-.7203881E-01-.6000000E+01-.7870002E+00-.3994993E+00PEN=.3762713E+00R=.2137678E-02C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=22ITE=87ILI=320NPE=2179NFX=0NGR=0R=.9401609E-11PEN=.1774523E+00X:.5847336E+01.3758407E+02.7173420E+01FX:.1774504E+00GX:-.1420557E-04-.6651906E-01-.4678597E+00-2483186E+00.1000000E+01-.4006547E-01-.5847336E+01-.1173420E+01-.7406271E-05９．圖6-39所示為一對稱的兩桿支架，在支架的頂點(diǎn)承受一個(gè)載荷為2F=300000N，支架之間的水平距離2B=1520mm，若已選定壁厚T=2.5mm鋼管，密度，屈服極限Mpa，要求在滿足強(qiáng)度與穩(wěn)定性條件下設(shè)計(jì)最輕的支架尺寸。[解]1．建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：圓管桿件中的壓應(yīng)力應(yīng)小于或等于，即于是得圓管桿件中的壓應(yīng)力應(yīng)小于或等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力，由歐拉公式得鋼管的壓桿溫度應(yīng)力式中A――圓管的截面積；L――圓管的長度。于是得設(shè)計(jì)變量的值不得小于或等于0于是得2．從以上分析可知，該優(yōu)化設(shè)計(jì)問題具有2個(gè)設(shè)計(jì)變量，4個(gè)約束條件，按優(yōu)化方法程序的規(guī)定編寫數(shù)學(xué)模型的程序如下：subroutineffx(n,x,fx)

dimensionx(n)

fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-12.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2))gx(3)=-x(1)gx(4)=-x(2)end3．利用懲罰函數(shù)法（SUMT法）計(jì)算，得到的最優(yōu)解為：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=4KH=0X:.7200000E+02.7000000E+03FX:.9113241E+01GX:-.3084610E+03-.8724784E+03-.7200000E+02-.7000000E+03PEN=.9132947E+01R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=18ITE=39ILI=39NPE=229NFX=0NGR=57R=.1717988E-06PEN=.6157225E+01X:.4868305E+02.6988214E+03FX:.6157187E+01GX:-.1204029E+03-.1266042E-01-.4868305E+02-.6988207E+0310．圖6-40所示為一箱形蓋板，已知長度L=6000mm，寬度b=600mm，厚度承受最大單位載荷q=0.01Mpa，設(shè)箱形蓋板的材料為鋁合金，其彈性模量，泊松比，許用彎曲應(yīng)力，許用剪應(yīng)力，要求在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性條件下，設(shè)計(jì)重量最輕的結(jié)構(gòu)方案。［解］1．建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)變量：取結(jié)構(gòu)的翼板厚度和高度為設(shè)計(jì)變量，即目標(biāo)函數(shù)：取結(jié)構(gòu)的總重量最輕為目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算公式為不計(jì)材料密度和常數(shù)，不會(huì)影響目標(biāo)函數(shù)的極小化，于是得約束條件：設(shè)計(jì)變量不得小于或等于0，于是得結(jié)構(gòu)的剪應(yīng)力不得大于許用剪應(yīng)力：結(jié)構(gòu)的最大剪應(yīng)力用下式計(jì)算：式中Q――最大剪力，許用剪應(yīng)力：于是得結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)力不得大于許用彎曲應(yīng)力：結(jié)構(gòu)的最大彎曲應(yīng)力用下式計(jì)算：式中M――最大彎矩，I――截面慣性矩，于是得翼板中的屈曲臨界穩(wěn)定應(yīng)力不得大于或等于最大應(yīng)力：結(jié)構(gòu)的屈曲臨界穩(wěn)定應(yīng)力用下式計(jì)算：于是得結(jié)構(gòu)的最大撓度不得大于或等于許用撓度：結(jié)構(gòu)的最大撓度用下式計(jì)算：材料的許用撓度：于是得2．從以上分析可知，該優(yōu)化設(shè)計(jì)問題具有２個(gè)設(shè)計(jì)變量，６個(gè)約束條件，按優(yōu)化方法程序的規(guī)定編寫數(shù)學(xué)模型的程序如下：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=120.0*x(1)+x(2)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=-x(1)gx(2)=-x(2)gx(3)=1.0-x(2)/40.0gx(4)=1.0-70/45000.0*x(1)*x(2)gx(5)=1.0-7.0/45e4*x(1)*x(1)*x(1)*x(2)gx(6)=1.0-x(1)*x(2)*x(2)/3.2e5end３．利用懲罰函數(shù)法（SUMT法）計(jì)算，得到的最優(yōu)解為：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=6KH=0X:.1000000E+02.3000000E+03FX:.1500000E+04GX:-.1000000E+02-.3000000E+03-.6500000E+01-.3666667E+01-.3666667E+01-.1812500E+01PEN=.1501354E+04R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=22ITE=47ILI=109NPE=1206NFX=0NGR=0R=.4398049E-08PEN=.1013073E+04X:.6350543E+01.2510074E+03FX:.1013072E+04GX:-.6350543E+01-.2510074E+03-.5275184E+01-.1479607E+01-.1027619E-04-.2503562E+00９．圖6-39所示為一對稱的兩桿支架，在支架的頂點(diǎn)承受一個(gè)載荷為2F=300000N，支架之間的水平距離2B=1520mm，若已選定壁厚T=2.5mm鋼管，密度，屈服極限Mpa，要求在滿足強(qiáng)度與穩(wěn)定性條件下設(shè)計(jì)最輕的支架尺寸。[解]1．建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：圓管桿件中的壓應(yīng)力應(yīng)小于或等于，即于是得圓管桿件中的壓應(yīng)力應(yīng)小于或等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力，由歐拉公式得鋼管的壓桿溫度應(yīng)力式中A――圓管的截面積；L――圓管的長度。于是得設(shè)計(jì)變量的值不得小于或等于0于是得2．從以上分析可知，該優(yōu)化設(shè)計(jì)問題具有2個(gè)設(shè)計(jì)變量，4個(gè)約束條件，按優(yōu)化方法程序的規(guī)定編寫數(shù)學(xué)模型的程序如下：subroutineffx(n,x,fx)

dimensionx(n)

fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-12.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2))gx(3)=-x(1)gx(4)=-x(2)end3．利用懲罰函數(shù)法（SUMT法）計(jì)算，得到的最優(yōu)解為：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=4KH=0X:.7200000E+02.7000000E+03FX:.9113241E+01GX:-.3084610E+03-.8724784E+03-.7200000E+02-.7000000E+03PEN=.9132947E+01R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=18ITE=39ILI=39NPE=229NFX=0NGR=57R=.1717988E-06PEN=.6157225E+01X:.4868305E+02.6988214E+03FX:.6157187E+01GX:-.1204029E+03-.1266042E-01-.4868305E+02-.6988207E+0310．圖6-40所示為一箱形蓋板，已知長度L=6000mm，寬度b=600mm，厚度承受最大單位載荷q=0.01Mpa，設(shè)箱形蓋板的材料為鋁合金，其彈性模量，泊松比，許用彎曲應(yīng)力，許用剪應(yīng)力，要求在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性條件下，設(shè)計(jì)重量最輕的結(jié)構(gòu)方案。［解］1．建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)變量：取結(jié)構(gòu)的翼板厚度和高度為設(shè)計(jì)變量，即目標(biāo)函數(shù)：取結(jié)構(gòu)的總重量最輕為目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算公式為不計(jì)材料密度和常數(shù)，不會(huì)影響目標(biāo)函數(shù)的極小化，于是得約束條件：設(shè)計(jì)變量不得小于或等于0，于是得結(jié)構(gòu)的剪應(yīng)力不得大于許用剪應(yīng)力：結(jié)構(gòu)的最大剪應(yīng)力用下式計(jì)算：式中Q――最大剪力，許用剪應(yīng)力：于是得結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)力不得大于許用彎曲應(yīng)力：結(jié)構(gòu)的最大彎曲應(yīng)力用下式計(jì)算：式中M――最大彎矩，I――截面慣性矩，于是得翼板中的屈曲臨界穩(wěn)定應(yīng)力不得大于或等于最大應(yīng)力：結(jié)構(gòu)的屈曲臨界穩(wěn)定應(yīng)力用下式計(jì)算：于