數學優(yōu)化訓練：常見函數的導數函數的和、差、積、商的導數

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2導數的運算1.2.1常見函數的導數1.2。2函數的和、差、積、商的導數5分鐘訓練（預習類訓練,可用于課前）1。f（x)=0的導數是（)A.0B.1C.不存在答案：A解析：f（x)=0是常數，常數的導數是0。2。函數y=sinx的導數為（)A。sinxB.cosxC。-cosxD。-sinx答案:B解析：由常用函數的導數公式可知(sinx）′=cosx.3。函數y=3x-4的導數是(）A。3B.—4C。-1答案：A解析：由函數導數的運算法則知y′=3。4.函數y=x—(2x-1)2的導數是_____________.解析：y=x-4x2+4x—1=-4x2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分鐘訓練（強化類訓練，可用于課中）1.y=的導數是（）A.3x2B.13x2C。D.答案：D解析:∵y==，∴y′=（）′==.2.y=cosx在x=處切線的斜率為()A。B。C.-12D。12答案:C解析：y′=—sin=.3.函數y=sinxcosx的導數是(）A。sin2xB。cos2xC.sin2xD。cos2x答案:D解析:y′=（sinxcosx）′=(sinx)′cosx+sinx(cosx）′=cos2x—sin2x=cos2x。4.函數y=x2·cosx的導數為___________.解析:y′=（x2·cosx)′=（x2)′·cosx+x2·(cosx）′=2x·cosx—x2·sinx。答案：2x·cosx-x2·sinx5。過原點作曲線y=ex的切線，則切點的坐標為___________,切線的斜率為___________。解析：將ex求導知（ex）′=ex.設切點坐標為（x0，），則過該切點的直線的斜率為?！嘀本€方程為y-=（x-x0)?！鄖—=·x—x0·.∵直線過原點，∴（0，0）符合上述方程.∴x0·=.∴x0=1?！嗲悬c為(1,e），斜率為e。答案:（1，e）e6.求下列函數的導數.(1)y=x4-3x2-5x+6;(2)y=x·tanx;（3）y=;(4）y=(x+1）（x+2）（x+3)。解：（1）y′=(x4—3x2—5x+6)′=（x4）′—3(x2)′-5x′+6′=4x3—6x-5。（2）y′=(x·tanx)′=（）′=====。(3）解法一：y′=(）′===。解法二:y=1,y′=（1)′=(）′==.（4）解法一：y′=［(x+1)(x+2）］′(x+3)+（x+1)(x+2）(x+3）′=［（x+1）′(x+2）+(x+1)（x+2）′］(x+3)+（x+1）(x+2)=(x+2+x+1)（x+3)+（x+1)（x+2)=（2x+3）(x+3)+（x+1）(x+2）=3x2+12x+11.解法二：y=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11。30分鐘訓練（鞏固類訓練，可用于課后)1.若y=sint，則y′｜t=6π等于（）A。1B?！?C.0答案:A解析：y′｜t=6π=cos6π=1。2.曲線y=2x3—6x上切線平行于x軸的點的坐標是…（）A。（—1，4）B.(1,-4）C.（-1，-4)或（1,4）D.（—1，4)或(1，-4）答案：D解析：y′=（2x3-6x)′=6x2—6,由y′=0，得x=1或x=—1。代入y=2x3-6x,得y=—4或y=4.即所求點的坐標為(1，-4)或（-1,4）.3。曲線f（x)=x3+x-2在P0點處的切線平行于直線y=4x—1，則P0點的坐標為（）A。（1,0）或（—1，—4)B。（0，1）C.(-1，0)D.(1,4)答案：A4。設y=-2exsinx,則y′等于（）A.—2excosxB。-2exsinxC.2exsinxD。-2ex(sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(exsinx+excosx）=-2ex（sinx+cosx).5.設f（x)=x(x—1)(x-2)…（x-100），則f′(0）等于…（)A.100B.0C。100×99×98×…×3×2×1D.1答案:C解析：∵f（x）=x(x—1）（x-2）…(x—100)，∴f′（x）=（x—1)(x-2)…(x—100）+x·［(x-1）·(x—2）…(x—100)］′.∴f′(0）=(—1）（—2）…（-100)=100×99×98×…×3×2×1。6。曲線y=x3在點（a,a3）（a≠0）處的切線與x軸、直線x=a所圍成的三角形的面積為，則a=_______________。解析：∵y=x3，∴y′=3x2?！鄖=x3在（a，a3)點的切線斜率k為3a2。∴切線方程為y-a3=3a2(x-a)，y=3a2x-2a3。令3a2x-2a3=0，得x=a,即y=3a2x—2a3與x軸交點橫坐標為a.令x=a,得y=3a2×a—2a3=a3,即y=3a2x—2a3與x=a交點縱坐標為a3?！郤△=×（aa）×a3=?！郺=±1.答案：±17.已知直線l是曲線y=x3+x的切線中傾斜角最小的切線,則l的方程是_______________.解析：∵y′=x2+1≥1，∴過點（0，0）且斜率為1的切線傾斜角最小.∴直線l的方程是y=x.答案：y=x8。已知f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d，又f（2x+1)=4g(x),且f′（x)=g′（x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1）=4g(x)，得4x2+2（a+2）x+(a+b+1）=4x2+4cx+4d。于是有由f′（x)=g′（x),得2x+a=2x+c，∴a=c。③由f(5）=30，得25+5a+b=30。④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=。∴g(x)=x2+2x。故g（4）=16+8=.9。設直線l1與曲線y=相切于P，直線l2過P且垂直于l1,若l2交x軸于Q點，又作PK垂直于x軸于K，求KQ的長。解:先確定l2的斜率,再寫出方程，設P（x0,y0），則=y′|x=x0=。由l2和l1垂直，故=—2,于是l2:y-y0=-2(x-x0)，令y=0，則-y0=—2(xQ-x0),即—=-2（xQ—x0)。解得xQ=+x0。易得xK=x0.∴｜KQ|=|xQ—xK｜=。10。已知拋物線C1:y=x2+2x和C2：y=—x2+a。如果直線l同時是C1和C2的切線,稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段.(1)a取什么值時,C1和C2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程。（2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分。答案:(1)解:函數y=x2+2x的導數y′=2x+2,曲線C1在點P（x1,x12+2x1)的切線方程是y-（x12+2x1)=（2x1+2)(x-x1),即y=（2x1+2)x-x12.①函數y=—x2+a的導數y′=-2x，曲線C2在點Q（x2，—x22+a）的切線方程是y-（—x22+a)=-2x2(x—x2）,即y=-2x2x+x22+a.②如果直線l是過P和Q的公切線,則①式和②式都是l的方程,消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0，此方程Δ=4—4×2(1+a）。由Δ=0,得a=,解得x1=,此時P與Q重合，即當a=時，C1和C2有且僅有一條公切線。由①得公切線