山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章統(tǒng)計統(tǒng)計案例第一講隨機抽樣學(xué)案含解析

PAGE1-第十章統(tǒng)計、統(tǒng)計案例第一講隨機抽樣ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問梳理·雙基自測學(xué)問梳理學(xué)問點一總體、個體、樣本、樣本容量的概念統(tǒng)計中所考察對象的全體構(gòu)成的集合看做總體，構(gòu)成總體的每個元素作為個體，從總體中抽取的__一部分個體__所組成的集合叫做樣本，樣本中個體的__數(shù)目__叫做樣本容量．學(xué)問點二簡潔隨機抽樣一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個__不放回__地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的__機會都相等__，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機抽樣．最常用的簡潔隨機抽樣的方法有兩種：__抽簽法__和__隨機數(shù)表法__.學(xué)問點三系統(tǒng)抽樣當(dāng)總體中的個體比較多且均衡時，首先把總體分成均衡的若干部分，然后__依據(jù)預(yù)先定出的規(guī)則__，從每一部分中抽取一個個體，得到所須要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣．系統(tǒng)抽樣的步驟一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個個體__編號__；(2)確定__分段間隔k__，對編號進行__分段__.當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用__簡潔隨機抽樣__確定第一個個體編號l(k≤k)；(4)依據(jù)肯定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號__(l＋k)__，再加k得到第3個個體編號__(l＋2k)__，依次進行下去，直到獲得整個樣本．學(xué)問點四分層抽樣一般地，在抽樣時將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)__肯定的比例__，從各層獨立地抽取肯定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由__差異明顯的幾個部分__組成時，往往選用分層抽樣的方法．重要結(jié)論1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．2．系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個體的編號相差分段時間隔k的整數(shù)倍．3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘抽樣比．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是(AB)A．簡潔隨機抽樣是從總體中逐個不放回的抽取樣本B．系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采納簡潔隨機抽樣C．要從1002個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，須要剔除2個學(xué)生，這樣對被剔除者不公允D．抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大題組二走進教材2．(P100AA．33,34,33 B．25,56,19C．30,40,30 D．30,50,20[解析]因為12528095＝255619，所以抽取人數(shù)分別為25,56,19.3．(P59T2)某班共有52人，現(xiàn)依據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號，29號，42號學(xué)生在樣本中，那么樣本中還有一個學(xué)生的學(xué)號是(D)A．10 B．11C．12 D．16[解析]從被抽中的3名學(xué)生的學(xué)號中可以看出學(xué)號間距為13，所以樣本中還有一個學(xué)生的學(xué)號是16，故選D．題組三考題再現(xiàn)4．(2024·課標全國Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司打算進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是__分層抽樣__.[解析]因為不同年齡段客戶對其服務(wù)的評價有較大差異，所以依據(jù)三種抽樣方法的特點可知最合適的抽樣方法是分層抽樣．5．(2024·課標全國Ⅰ)某學(xué)校為了解1000名新生的身體素養(yǎng)，將這些學(xué)生編號為1,2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗．若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是(C)A．8號學(xué)生 B．200號學(xué)生C．616號學(xué)生 D．815號學(xué)生[解析]將1000名學(xué)生分成100組，每組10人，則每組抽取的號碼構(gòu)成公差為10的等差數(shù)列{an}，由題意知a5＝46，則an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C選項滿意題意．故選C．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一簡潔隨機抽樣——自主練透例1(1)(2024·陜西模擬)某班級有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，其中一次抽樣結(jié)果是：抽到了4名男生、6名女生，則下列命題正確的是(A)A．這次抽樣可能采納的是簡潔隨機抽樣B．這次抽樣肯定沒有采納系統(tǒng)抽樣C．這次抽樣中每個女生被抽到的概率大于每個男生被抽到的概率D．這次抽樣中每個女生被抽到的概率小于每個男生被抽到的概率(2)(2024·山西大同)用簡潔隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性與“其次次被抽到”的可能性分別是(A)A．eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)(3)(2024·山西高校附中診斷)某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001,002，…，599,600從中抽取60個樣本，如下供應(yīng)隨機數(shù)表的第4行到第6行：32211834297864540732524206443812234356773578905642；84421253313457860736253007328623457889072368960804；32567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列起先向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號(D)A．522 B．324C．535 D．578[解析](1)利用解除法求解．這次抽樣可能采納的是簡潔隨機抽樣，A正確；這次抽樣可能采納系統(tǒng)抽樣，男生編號為1～20，女生編號為21～50，間隔為5，依次抽取1號，6號，…，46號便可，B錯誤；這次抽樣中每個女生被抽到的概率等于每個男生被抽到的概率，C和D均錯誤，故選A．(2)在抽樣過程中，個體a每一次被抽中的概率是相等的，因為總體容量為10，故個體a“第一次被抽到”的可能性與“其次次被抽到”的可能性均為eq\f(1,10).故選A．(3)從第6行第6列起先向右依次讀取3個數(shù)，依次得到的樣本為436,535,577,348,522,578，故選D．名師點撥?(1)簡潔隨機抽樣滿意：①抽取的個體數(shù)有限；②逐個抽取；③不放回抽取；④等可能抽?。?2)抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的狀況，隨機數(shù)表法適用于總體中個體數(shù)較多的狀況．考點二系統(tǒng)抽樣——師生共研例2(1)(2024·甘肅張掖診斷)某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學(xué)生高考前的心理狀況，將學(xué)生按1至48的學(xué)號用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進行調(diào)查若抽到的最高校號為48，則抽到的最小學(xué)號為__6__.(2)(2024·湖北模擬)將參與數(shù)學(xué)競賽決賽的500名學(xué)生編號為：001,002，…，500，采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，分組后，在第一組采納簡潔隨機抽樣抽得的號碼為003.這500名學(xué)生分別在三個考點考試，從001到200在第一考點，從201到355在其次考點，從356到500在第三考點，則第三考點被抽中的人數(shù)為(A)A．14 B．15C．16 D．21[解析](1)系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為eq\f(48,8)＝6，則48－6×7＝6，則抽到的最小學(xué)號為6，故答案為6。(2)由題意可知，將500名學(xué)生平均分成50組，每組10人，第k(k∈N*)組抽到的號碼為10(k－1)＋3.令356≤10(k－1)＋3≤500(k∈N*)，解得37≤k≤50，則滿意37≤k≤50的正整數(shù)k有14個，故第三考點被抽中的學(xué)生人數(shù)為14人．故選A．名師點撥?系統(tǒng)抽樣的特點(1)適用于元素個數(shù)許多且均衡的總體．(2)各個個體被抽到的機會均等．(3)總體分組后，在起始部分抽樣時采納的是簡潔隨機抽樣．(4)假如總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k＝eq\f(N,n).假如總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣．〔變式訓(xùn)練1〕(2024·安徽黃山質(zhì)檢)某校高三(1)班共有48人，學(xué)號依次為1,2,3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本．已知學(xué)號為3,11,19,35,43的同學(xué)在樣本中，那么還有一個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為(A)A．27 B．26C．25 D．24[解析]依據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)則——“等距離”時抽取，也就抽取的號碼差相等，依據(jù)抽出的序號可知學(xué)號之間的差為8，所以在19與35之間還有27，故選A．考點三分層抽樣——多維探究角度1求某層入樣的個體數(shù)例3(1)(2024·廣西南寧、玉林、貴港等市聯(lián)考)某學(xué)校共有老師300人，其中中級老師有120人，高級老師與初級老師的人數(shù)比為5：4.為了解老師專業(yè)發(fā)展要求，現(xiàn)采納分層抽樣的方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有中級老師72人，則該樣本中的高級老師人數(shù)為__60__.(2)(2024·寧波一模)調(diào)查某中學(xué)1000名學(xué)生的身高狀況得下表，已知從這批學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，抽到偏矮男生的概率為0.12，若用分層抽樣的方法，從這些學(xué)生中隨機抽取50名，問應(yīng)在偏高學(xué)生中抽取__11__名.偏矮正常偏高女生/人100273y男生/人x287z[解析](1)學(xué)校共有老師300人，其中中級老師有120人，∴高級老師與初級老師的人數(shù)為300－120＝180人，∵抽取的樣本中有中級老師72人，∴設(shè)樣本人數(shù)為n，則eq\f(120,300)＝eq\f(72,n)，解得n＝180，則抽取的高級老師與初級老師的人數(shù)為180－72＝108，∵高級老師與初級老師的人數(shù)比為54，∴該樣本中的高級老師人數(shù)為eq\f(5,5＋4)×108＝60.故答案為60.(2)由題意可知x＝1000×0.12＝120，所以y＋z＝220.所以偏高學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的比例為eq\f(220,1000)＝eq\f(11,50)，所以抽50名應(yīng)抽偏高學(xué)生50×eq\f(11,50)＝11(人)．角度2求總體或樣本容量例4(1)(2024·湖南模擬)某工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝(D)A．9 B．10C．12 D．13(2)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉狀況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為__808__.[解析](1)由分層抽樣可得，eq\f(3,60)＝eq\f(n,260)，解得n＝13.故選D．(2)由題意知抽樣比為eq\f(12,96)，而四個社區(qū)一共抽取的駕駛員人數(shù)為12＋21＋25＋43＝101，故有eq\f(12,96)＝eq\f(101,N)，解得N＝808.故填808.名師點撥?進行分層抽樣的相關(guān)計算時，常用到的兩個關(guān)系：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層所抽取的個體數(shù)之比__.〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·廣東廣州模擬)某公司生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的轎車，產(chǎn)量之比依次為234，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，若樣本中A種型號的轎車比B種型號的轎車少8輛，則n＝(B)A．96 B．72C．48 D．36(2)(角度2)某中學(xué)安排從全校學(xué)生中按年級采納分層抽樣方法抽取20名學(xué)生進行心理測試，其中高三有學(xué)生900人，已知高一與高二共抽取了14人，則全校學(xué)生的人數(shù)為(C)A．2400 B．2700C．3000 D．3600[解析](1)由題意得eq\f(2,9)n－eq\f(3,9)n＝－8，∴n＝72，故選B．(2)設(shè)全校學(xué)生人數(shù)為n，由題意可知eq\f(20,n)＝eq\f(20－14,900)，解得n＝3000，故選C．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升分層抽樣與概率相結(jié)合例5(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻愛心活動．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．[解析](1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為322，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種，所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21).名師點撥?分層抽樣與概