2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng) 第四單元 三角函數(shù)與解三角形

第四單元三角函數(shù)與解三角形

第1節(jié)任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念

目標(biāo)任務(wù)

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.象限角與終邊

1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)相同的角

行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度

2.扇形的弧長(zhǎng)及數(shù)學(xué)抽象

制的必要性.

面積公式的應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算

2.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余

3.三角函數(shù)的定邏輯推理

弦、正切)的定義

義及其應(yīng)用

知識(shí)必記課前預(yù)案

知識(shí)必記〕夯基礎(chǔ)構(gòu)體系

1.角的概念的推廣

(1)按旋轉(zhuǎn)方向分

(2)按角的終邊位置分

_角的終邊在第幾象限，則此角稱(chēng)為

一第幾

［任意角］_______________________________.

［_角的終邊在______上，則此角不屬

于任何一個(gè)象限

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S

［注意］(1)相等的角的終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同

的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們之間相差360。的整數(shù)倍.

(2)終邊在一條直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍；終邊在互相垂直的兩條直線上

的角之間相差90。的整數(shù)倍.

2.象限角的集合

第一象限角：｛al2Gir<a<2*TT+號(hào)"KCZ)

董—?!第二象限角：｛al2*ir+［<a<2*ir+ir#eZ｝］

華卜｛第三象限用：｛al2AF+k<a<%IT+要&eZ｝］

合/

VT''''->｛第四象限角：｛al2*ir+岳<a<2*TT+2ir*eZ｝］

3.軸線角的集合

終邊落在x軸上的角:⑷aMir,A￡Z｝

軸

線

角T終邊落在?軸上的角:｛ala=￥+*TT&eZ｝

的

集

合

、［終邊落在坐標(biāo)軸上的角:｛ala=*r*eZ｝

［注意］已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上

的情況.

4.弧度制的定義和公式

(1)定義：長(zhǎng)度等于的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，弧度記作rad.

(2)公式

汝弧長(zhǎng)用1表示)

角a的弧度數(shù)公式1=((

71

角度與弧度的換算1°一〔SOrad;1rad—________

弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)1=________

扇形面積公式s=_________________

5.任意角的三角函數(shù)

任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)時(shí)，則sina=,cosa=

tana=~(x/0).

三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：

三角函第一象限第二象限第三象限第四象限

定義域

數(shù)符號(hào)符號(hào)符號(hào)符號(hào)

sinaR+4-——

cosaR+——+

tana—+一+—

［思考］如何來(lái)記憶三角函數(shù)值符號(hào)，你能否編個(gè)記憶口訣來(lái)記憶呢？

點(diǎn)撥：三角函數(shù)值符號(hào)的記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正，

二正弦，三正切，四余弦.

［注意］要判定三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,

再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果角不能確定所在象限,

那就要進(jìn)行分類(lèi)討論求解.

7E

甘杲究］當(dāng)ae(0,2)5tana,a,sina它們之間的大小如何呢？

TT

點(diǎn)撥：結(jié)合三角函數(shù)線可得，當(dāng)aW(0,2)?tana>a>sina.

必記答案：1.(1)逆時(shí)針順時(shí)針沒(méi)有做任何(2)象限角坐標(biāo)軸(3){￡IW=a

+k?360°,kRZ}

4.⑴半徑長(zhǎng)(2)(岑)。\a\rg「=如產(chǎn)

兀

5.yx{a|a#7t+],kGZ]

拓展鏤接:拓知能聯(lián)高考

1.［概念辨析］三角函數(shù)的一些概念區(qū)別

(1)象限角與軸線角的區(qū)別

象限角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊

在第幾象限，就認(rèn)為這個(gè)角是第幾象限角

軸線角若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限

(2)角度制與弧度制的區(qū)別

弧度制角度值

弧度制是以“弧度”為單位來(lái)度角度制是以“度”為單位來(lái)度量角的單

量角的單位制位制；1弧度#1。

區(qū)別1弧度是弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的圓弧

1度是圓周的與所對(duì)的圓心角的大小

所對(duì)的圓心角的大小

弧度制是十進(jìn)制角度制是六十進(jìn)制

角度制與弧度制可利用180。=兀rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的

聯(lián)系

度量制度必須一致，不可混用

⑶象限角、銳角、小于90。的角的區(qū)別

象限角、銳角、小于90。的角是概念不同的三類(lèi)角.第一類(lèi)是象限角，第二、第

三類(lèi)是區(qū)間角.銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；小于90。的角可

能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；銳角是小于90。的正角.第一象限角可以

是360。到450。之間的角，也可以是一360。到一270。之間的角.

2.［思想方法］四種角的終邊關(guān)系轉(zhuǎn)化

(1)或，a終邊相同印=a+2E,

(2川，a終邊關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱(chēng)可=-a+2E,k^Z.

(3)或，a終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)＜=^=兀一a+2E,4ez.

(4)或，a終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)呼=;r+a+2E,k^Z.

3.［思想方法］討論思想

1.求“8(〃eN*)所在象限的方法

(1)將。的范圍用不等式(含有七,且攵ez)表示；

⑵兩邊同乘〃；

(3)對(duì)左進(jìn)行討論，得到〃8(〃eN*)所在的象限.

［注意］注意“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加''的應(yīng)用，如角a的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180?？傻媒莂

+180°的終邊，類(lèi)推可知a+依180°(AGZ)表示終邊落在角a的終邊所在直線上

的角.

2.確定，N2,且〃GN*)的終邊位置的方法

(1)討論法

①用終邊相同角的形式表示出角a的范圍；

②寫(xiě)出2的范圍；

③根據(jù)k的可能取值討論確定，的終邊所在的位置.

⑵等分象限角的方法

已知角a是第根(加=1,2,3,4)象限角，求，是第幾象限角.

①等分：將每個(gè)象限分成〃等份；

②標(biāo)注：從x軸正半軸開(kāi)始，按照逆時(shí)針?lè)较蝽槾窝h(huán)標(biāo)上1,2,3,4,直至回

到x軸正半軸；

③選答：出現(xiàn)數(shù)字〃?的區(qū)域，即為彳的終邊所在的象限.

【例】若角a是第二象限角，則l是第象限角.

答案：一或三

7TjrClTI

解析：因?yàn)閍是第二象限角，所以］+2Eva<7i+2Z兀，所以1+%兀<］<］+%兀,

攵ez.當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，今是第一象限角；當(dāng)攵為奇數(shù)時(shí)，方是第三象限角.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練...............練基礎(chǔ)固知識(shí)

1.［易錯(cuò)診斷］若sina<0,且tana>0,則a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案：C

解析：由sina<0知a的終邊在第三或第四象限或y軸的非正半軸上；由tana〉0

知a的終邊在第一或第三象限，故a是第三象限角.故選C.

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】三角函數(shù)符號(hào)記憶不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤，要熟練記住口訣：一全正，二正

弦，三正切，四余弦.

.12

2.已知角。的終邊過(guò)點(diǎn)P(—12,m),cos6=一百，則根的值為()

A.-5B.5

C.±5D.+8

答案：C

—12I7

解析：由三角函數(shù)的定義可知cos>=-廣廠一y=一二，解得m=±5.

q（-12）2+m213

3.［模擬演練］（2022?遼寧省模擬）“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇

的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷

袖雅物”的別號(hào).如圖是折扇的示意圖，其中。4=20cm,N4QB=120。，M為

0A的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）

A.50ncm2B.IOOTIcm2

C.15071cm2D.200TTcm2

答案：B

ii332兀

解析：扇環(huán)的面積5=于戶一于傷r）2=嚴(yán),=於"*<400=100兀（（：012）.

777T

4.［真題體驗(yàn)］（2021?北京卷）若點(diǎn)尸（cos4sin。）與點(diǎn)Q（cos（8+不）,sin（8+石））

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的。值：.

答案：招（滿足。=招+也，YZ即可）

JiJIJI

解析：VP（cos0,sin。）與。（cos（8+,）,sin析+不））關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即仇不關(guān)

于y軸對(duì)稱(chēng)，

JT5兀

。+1+。=兀+2也，Z6Z,則e=E+7，zez,當(dāng)％=0時(shí)，可取。的一個(gè)值

以5兀

為五.

④陽(yáng)力圈硼..............>核心突破課堂學(xué)案

特訓(xùn)點(diǎn)1象限角與終邊相同的角【自主沖關(guān)類(lèi)】

「題組?沖關(guān)］

1.（多選題）下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.一亍是第二象限角B.才是第三象限角

C.—400。是第四象限角D.一315。是第一象限角

答案：BCD

37r4冗jr4JT

解析：一手是第三象限角，故A錯(cuò)誤；芋=兀+?從而學(xué)是第三象限角，故B正

確；-400°=-360°-40°,是第四象限角，故C正確；一315°=—360°+45°,

是第一象限角，故D正確.

答案：C

解析：當(dāng)女=2〃(九WZ)時(shí)，2〃兀+公。二2〃兀+g(〃￡Z),此時(shí)a的終邊在a?1內(nèi)；當(dāng)

兀兀兀

攵=2〃+1(〃￡Z)時(shí)，2〃兀+71+40132〃兀+兀+］(〃￡Z),此時(shí)。的終邊在兀?兀+

7T

］內(nèi)，結(jié)合選項(xiàng)知選C.

3.(2020>全國(guó)H卷)若a為第四象限角，則()

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2a>0D.sin2a<0

答案：D

jr

解析：?.'a是第四象限角，：.一工+2kn<a<2kn,kWZ,

一兀+4EV2aV4E,ZeZ.；.角2a的終邊在第三或第四象限或y軸非正半軸上,

/.sin2a<0,cos2a可正、可負(fù)、可為零.

［錦囊?妙法］

1.終邊在某直線上角的求法4步驟

①數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該直線；

②按逆時(shí)針?lè)较驅(qū)懗觯?,2兀］內(nèi)的??；

③再由終邊相同角的表示方法寫(xiě)出滿足條件角的集合；

④求并集化簡(jiǎn)集合.

2.判斷象限角的2種方法

①圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知

角是第幾象限角；

②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為h360o+a（0o<a<360°,左ez）的形式，即找出與已知

角終邊相同的角a,再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.

3.確定左a,夫AGN*）的終邊位置3步驟

①用終邊相同角的形式表示出角a的范圍；

②再寫(xiě)出履或多勺范圍；

③然后根據(jù)k的可能取值討論確定左a或3的終邊所在的位置.

［提醒］終邊在一條直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍；終邊在互相垂直的兩條

直線上的角之間相差90。的整數(shù)倍.

特訓(xùn)點(diǎn)2扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用【師生共研類(lèi)】

方法

典例1已知一扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長(zhǎng)為/,若a=^7?=10cm,求

扇形的面積.

［解題指導(dǎo)］

根據(jù)所給的數(shù)據(jù)一代入求扇形的面積公式一求出結(jié)果.

兀

解：由已知得a=1,R=10cm,

.".S=^ax??2=2X3X102=^3^（cm2）?

◎思維發(fā)散◎

1.（變結(jié)論）若例題條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積.

兀10兀

解：/=0?/?=2x10=_^~（cm）,

s弓身=s府彩一S三角彩

_17D1D2?兀

=2*/?R_,RrSI”

=gx與^x10-gx1。2X坐

50兀一75小,

=-----Hem2）.

2.（變條件）若例題條件改為：“若扇形周長(zhǎng)為20cm”，當(dāng)扇形的圓心角a為多少

弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？

解：由已知得/+2R=20,即/=20-2E（0<R<10）,

所以S4H=/20—27?*=10/?—7?2=一（7?-5）2+25,

所以當(dāng)R=5cm時(shí)，S取得最大值25cm2,

此時(shí)/=10cm,a=2rad.

規(guī)律

破解有關(guān)弧長(zhǎng)及扇形面積問(wèn)題

（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

（2）除利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法解得最值問(wèn)題外，還可以結(jié)合基本不

等式處理最值問(wèn)題.

|0一R+R

（10-/?）7?<（——---）2=25,當(dāng)且僅當(dāng)10-7?=/?,即R=5時(shí)取等號(hào)，其余相同.

（3）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

能力

1.（2022.遼寧省模擬）裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為竽，并在

扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線將小燈泡串連（弧的

兩端各一個(gè)燈泡，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)），已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線

大致需要的長(zhǎng)度約為（）

A.55厘米B.63厘米

C.69厘米D.76厘米

答案：B

解析：因?yàn)樵诨￠L(zhǎng)比較短的情況下分成6等份，每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，

2兀

所以可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，所以導(dǎo)線的長(zhǎng)度為q-x30=20?！?3（厘米）.

2.（2022*貴州省畢節(jié)市模擬）中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).按如下方法

剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為一的圓面中剪下扇形0A8,使剪下扇形OAB

后所剩扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的比值為嚀」，再?gòu)纳刃蜲AB中剪下扇環(huán)形ABDC

,\/5—1

制作扇面，使扇環(huán)形ABDC的面積與扇形0A5的面積比值為，一.則一個(gè)按上

述方法制作的扇環(huán)形裝飾品(如圖)的面積與圓面積的比值為()

答案：D

解析：記扇形OAB的圓心角為a,扇形OAB的面積為Si,扇環(huán)形ABDC的面積

為S2,圓的面積為S.由題意可得1,S=Tt4,

N01乙

小一］$

所以尚

:戶a因?yàn)榧粝律刃蜲AB后所剩扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)

3

的比值為與工，所以當(dāng)鏟=寫(xiě)二則a=(3—小加

所以供=（#—1）a（小—1）（3—?。┴?/p>

=鄧一2.

34兀4兀

特訓(xùn)點(diǎn)3三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用【多維考向類(lèi)】

方法研典例導(dǎo)解法

考向1三角函數(shù)的定義

典例2(1)(2022?永州祁陽(yáng)二模)已知點(diǎn)M在角。終邊的反向延長(zhǎng)線上，且QM

=2,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()

A.(2cos仇sin0)

B.(―2cos0,2sin9)

C.(―2cos0,—2sin0

D.(2cos仇—2sin0)

答案：C

解析：由任意角的三角函數(shù)定義，可知角。的終邊上的點(diǎn)M'的坐標(biāo)為(2cos&2sin3),

其中|0M，|=2.因?yàn)镼M=2,所以點(diǎn)M和點(diǎn)AT關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)

為(-2cos6,—2sinO').

4

(2)(2022*深圳模擬)已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)P(-8/n,-6sin30。)，且cosa=一§,

則m的值為()

B--2

C.±2

答案：A

一^4

解析：因?yàn)榻莂的終邊過(guò)點(diǎn)P(一8%—6sin30°)=(-8m,—3),cosa=—^<0,

所以角a的終邊在第三象限，則相>0,|OP|=^64m2+9.

麗

三角函數(shù)定義的應(yīng)用策略

(1)已知角a終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離廠，然后用三角函

數(shù)的定義求解.

(2)已知前a的終邊所在的直線方程(注意分為兩條射線)，可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的

坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解.

(3)已知角a的某個(gè)三角函數(shù)值，求角a終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)

定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值.

考向2三角函數(shù)值符號(hào)的判定

典例3(1)(2022?北師大附中模擬)sin2?cos3?tan4的值()

A.小于0B.大于0

C.等于0D.大于等于0

答案：A

一兀3兀

解析：因?yàn)?V2V3V兀V4V工~,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,

所以sin2?cos3*tan4Vo.故選A.

COSCL

（2）（2022*荊門(mén)模擬）若sinatana<0,且;<0,則角〃是（）

lancc

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案：C

cosa

解析：由可知異號(hào)，則為第二或第三象限角：由

sinatanaV0sina,tanaatana

V0可知cosa,tana異號(hào)，則a為第三或第四象限角.綜上可知，a為第三象限

角.

點(diǎn)撥朝

三角函數(shù)值符號(hào)及角的終邊位置判斷

已知角的三角函數(shù)值（sina,cosa,tana）中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角的

終邊所在的位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊

情況.

訓(xùn)訓(xùn)練分層鞏固提升

A級(jí)（基礎(chǔ)應(yīng)用練）

1.（2022?陜西省模擬）若點(diǎn)M（一小，-1）在角a的終邊上，則cos2a=（）

1

A.2B2

C.

2

答案:B

解析:因?yàn)辄c(diǎn)M（一一。在角1的終邊上，所以cosa

7（?。?+12

坐，則cos2a=2cos2a-1=1.

2.（2022?江西省貴溪市模擬）半徑為2的圓中，有一條弧長(zhǎng)是全TT，則此弧所對(duì)的

圓心角是（）

A.15°B.20°

C.30°D.40°

答案：C

7t

一^IT/37E

解析：,在半徑為2的圓中，有一條弧的長(zhǎng)為/.a=-=y=-^,

...扇形的圓心角為30°.

3.（2022.吉林省白城市模擬）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活

動(dòng)，刻畫(huà)的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵

餅者張開(kāi)的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約與米，肩寬約

為當(dāng)米，“弓”所在圓的半徑約為1.25米,你估測(cè)一下擲鐵餅者此時(shí)雙手之間的距

O

離為(參考數(shù)據(jù)：V2-1.414,73-1.732)()

A.1.012米B.2.043米

C.1.768米D.2.945米

答案：C

解析：弓形所在的扇形如圖所示，則誦的長(zhǎng)度為費(fèi)■+費(fèi)■=注,

Zoo

O

5兀

故扇形的圓心角為■!"=，，故48=啦乂31乂1.414=1.7675kl.768（米）.

4

4.（2022?廣東省佛山市模擬）已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與工軸的非負(fù)半

7T

軸重合，終邊在直線y=3x上，則sin（a+w）=（）

A.土祥B邛

C坐D.興

答案：A

解析：（1）當(dāng)a為第一象限時(shí)，

31

由題意疝a=而,cosa=^,

所以sin(a+")=^(sina+cos公=冬a=邛.

（2）當(dāng)a為第三象限時(shí),

由題意sin。

所以sin(a+j)=^(sina+cos團(tuán)=一乎*島=一早.

5.（2022?河北模擬）劉徽是中國(guó)魏晉時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他提出“割圓求周”方法:

當(dāng)〃很大時(shí)，用圓內(nèi)接正〃邊形的周長(zhǎng)近似等于圓周長(zhǎng)，并計(jì)算出精確度很高的

圓周率兀M.1416.在《九章算術(shù)注》中總結(jié)出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，

以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”的極限思想.運(yùn)用此思想，當(dāng)兀取3.1416

時(shí)，可得sin2°的近似值為（

A.0.00873B.0.01745

C.0.02618D.0.03491

答案：D

解析：將一個(gè)單位圓分成90個(gè)扇形，則每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為4°.

由圓的垂徑定理，可得每個(gè)圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)AB=2AC=2xlxsin2°=2sin2°.

因?yàn)檫@90個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)之和近似于單位圓的周長(zhǎng)，

2兀2x3.1416

所以所以

90x2x1xsin2°=180sin2°~2n,sin2°~180180-0.03491.

o

6.（2022*四川省模擬）已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,

2

終邊上有兩點(diǎn)A（l,m）,BQ,〃），且cos2a=g,則加一〃的值等于（）

■2小

A.-1B.

c.土米

D.

答案：C

22

.,99cosa-sina1—tan2a2y[5

z=2=,tana=±

解析：cos2a=cosa—sina=^^26(_|_sjn26(j+tan?35,

幾

由題意知〃2=]=tana,

亞

所以???—；7=tana—2tana=—tana=±^~.

7.（2022?江蘇省揚(yáng)州市模擬）密位制是度量角的一種方法.將周角等分為6000

份，每一份叫作1密位的角.以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，

叫作角的密位制.在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱(chēng)密位

二字可以省去不寫(xiě).密位的寫(xiě)法是在百位數(shù)字與十位數(shù)字之間畫(huà)一條短線，如：

478密位寫(xiě)成寫(xiě)一78”，1周角等于6000密位，記作1周角=位一成.如果一個(gè)扇

7

形的半徑為2,面積為全，則其圓心角可以用密位制表示為（）

A.25-00B.35-00

C.42-00D.70-00

答案：B

解析：設(shè)扇形的圓心南為a,則&X22=%:,則a=/t.由題意可知，其密位大小為

7兀

6000x^-=3500密位，用密位制表示為35-00.

2.H

8.（2022*上海市模擬）與2021°終邊相同的最小正角是.

答案：221°

解析：因?yàn)?021°=1800°+221°=5x360°+221°,所以與2021°終邊相同的最小正

角是221°.

9.（2022*浙江省紹興市模擬）寫(xiě)出兩個(gè)與一芋兀終邊相同的角：.

答案：y一爭(zhēng)其他正確答案也可）

解析：設(shè)a是與一號(hào)兀終邊相同的角，則a=2E—號(hào)）ZWZ,令人=1,得a=

5兀

萼，令k=2,得a

10.（2022*荷澤模擬）已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3a-9,a+2）,Kcosa<0,sina>0,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案：（一2,3]

解析：?.,cosaSO,sina>0,...角a的終邊落在第二象限或〉軸的正半軸上.

3a—900,

B級(jí)（綜合創(chuàng)新練）

11.（多選題）（2022?廣東期末）如圖，A,8是單位圓上的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)

為（1,0）,ZBOA=60°,質(zhì)點(diǎn)A以1rad/s的角速度按逆時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng),

質(zhì)點(diǎn)8以2rad/s的角速度按順時(shí)針?lè)较蛟趩挝粓A上運(yùn)動(dòng)，則（）

TT

經(jīng)過(guò)1s后，NBQ4的弧度數(shù)為]+3

經(jīng)過(guò)自s后，扇形A08的弧長(zhǎng)為患

經(jīng)遂s后，扇形A05的面積用

經(jīng)過(guò)后，A,B在單位圓上第一次相遇

答案：ABD

解析：經(jīng)過(guò)Is后，質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)1rad,質(zhì)點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)2rad,此時(shí)N8Q4的弧度數(shù)

7T

為弓+3,故A正確；

7?ir7?TT77r77r77r

經(jīng)過(guò)方s后，乙408=石+元+2乂方=方，故扇形A08的弧長(zhǎng)為RXI=高，故B

1乙￡乙D1.乙X4L乙1乙

正確；

TTTTTTTTSir157r57r

經(jīng)過(guò)Ns后，ZA0B=7+T+2X-=—,故扇形AOB的面積S=5X-^-X12=Y^,故

C不正確；

設(shè)經(jīng)過(guò)fs后，A,8在單位圓上第一次相遇，則想+2）+92兀，解得片濟(jì)，

故D正確.

12.（多選題）（2022?山西省太原市模擬）古代中國(guó)的太極八卦圖是以圓內(nèi)的圓心為

界，畫(huà)出相同的兩個(gè)陰陽(yáng)魚(yú)，陽(yáng)魚(yú)的頭部有陰眼，陰魚(yú)的頭部有陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物

都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)

代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八邊形ABCOEFG”）是由圖1（八卦模型圖）

抽象而得到，并建立如圖2的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=1,則下列正確的結(jié)論是

（）

、歷

A.詼帥=一^-

5兀

B.以射線。尸為終邊的角的集合可以表示為{a|a=7-+2E,AdZ}

C.在以點(diǎn)。為圓心，。4為半徑的圓中，弦AB所對(duì)的劣弧弧長(zhǎng)為全

D.正八邊形ABCDEFGH的面積為4啦

答案：ABC

13兀

解析：由題意可得，正八邊形的八個(gè)內(nèi)角相等，則一個(gè)內(nèi)角為？＜6兀=號(hào)，

o4

1兀

/AOB=/BOC=/COD=…=7.

=ZH0A=QoX2TI4

對(duì)于A,因?yàn)閨g|=|仍|=???=\Oti\=\9NAOO=3x與=手，

3兀

所以8?Ob=\oA\\Ob\cos所以A正確；

jr5TT

對(duì)于B,因?yàn)镹AOF=5x^=7，所以以射線。尸為終邊的角的集合可以表示為

5兀，

{a\a=^~-}~2kjt,Z￡Z},所以B正確；

對(duì)于C,因?yàn)橐?08=全，半徑為1,所以弦AB所對(duì)的劣弧弧長(zhǎng)為》＜1=￡，所

以C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镾AQ4B=3lOA||OB|sinNAO8=3xlxlx^=乎，所以正八邊形

ABCDEFGH的面積為8x^-=2巾,所以D錯(cuò)誤.

13.（2022?浙江省麗水、湖州、衢州三地市模擬）已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,

始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（一坐，21鳥(niǎo)，則tana=,

sin(a+》=

冬案.—2亞°

口7t410

2-

解析：由三角函數(shù)定義知tana=一2.

一5

兀2小巫_亞V2V7O

sin(a+^)=sinacos^+cosasin4-5.2-5,2-10-

14.（2022-廣東省佛山市模擬）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，

其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積弦x矢+矢

2）.弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于

半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為竽，半徑等于4米的弧田，按照上

述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約為平方米.（精確到1平方米，參考數(shù)據(jù):

年1.41,小句.73）

C

答案：9

27rTT

解析：根據(jù)題意ZAOB=j,0A=4,

則4?=2S，AD=4小,0B=2,

則弦為4小，矢為OA~OB=4~2=2,

所以弧田面積約為；（4/x2+22）=4/+2=4x1.73+29（平方米）.

15.（2022*山西省運(yùn)城市模擬）“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦

煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月牙泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍

成.兩岸連接點(diǎn)間距離為60小米，其中外岸為半圓形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑

為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游客步行的路程為_(kāi)_____米.

答案：（40+30小）兀

解析：如圖是月牙湖的示意圖，。是QT的中點(diǎn),

連接產(chǎn)。，可得POLQT,由條件可知。7=60仍，PQ=60,

7T2兀

所以sin/QPO=為",所以NQPO=1,NQPT=《-,

所以月牙泉的周長(zhǎng)/=F-X60+TIX305=（40+30?。┴＃祝?

第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

目標(biāo)任務(wù)

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：1.同角三角函數(shù)

.sina基本關(guān)系的應(yīng)用

sm9za+cos9za—1t,—tana.

cosa數(shù)學(xué)運(yùn)算

rr2.誘導(dǎo)公式的邏輯推理

2.能利用對(duì)稱(chēng)性推導(dǎo)出/a,兀土a的正

應(yīng)用

弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式

(BEI朗畸ED知識(shí)必記課前預(yù)案

知識(shí)必記夯基礎(chǔ)構(gòu)體系

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：.

(2)商數(shù)關(guān)系：,

陳究］你能說(shuō)出兩個(gè)同角三角函數(shù)關(guān)系式的作用是什么嗎？

點(diǎn)撥：(1)平方關(guān)系的作用是實(shí)現(xiàn)同角的正弦值與余弦值之間的轉(zhuǎn)化，利用該公式

求值，要注意確定角的終邊所在的象限，從而判斷三角函數(shù)值的符號(hào).

(2)商數(shù)關(guān)系的作用：切化弦，弦切互化.

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

組數(shù)—三四五六

2E+71

由7t+a-a7t-a+a

a(^GZ)2

正弦sina—————

余弦——————

正切tana———

［思考］老師讓我們把誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)記為“奇變偶不變，符號(hào)看象限"，你知道什么

意思嗎？

7T

點(diǎn)撥：“奇”與“偶”指的是依2+a中的整數(shù)上是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指

函數(shù)的名稱(chēng)是否發(fā)生變化，若攵是奇數(shù)，則正、余弦函數(shù)名稱(chēng)互變；若左為偶數(shù),

則函數(shù)名稱(chēng)不變.“符號(hào)看象限''指的是在依彳TT+a中，將a看成銳角時(shí)m］JT+a

所在的象限.

［注意］利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)時(shí)要對(duì)題中整數(shù)攵是奇數(shù)或偶數(shù)進(jìn)行討論.

必記答案：l.(l)sin2jc+cos2x=1(2)tan?(存E+與，％ez)

cosX，

2.—sina-sinasinacosacosacosa-cosacosa-cosasina

—sinatana-tana—tana

1.［思想方法］同角三角函數(shù)關(guān)系的方程思想

對(duì)于sinO+cos。，sin。一cos?；騭in8cos8這三個(gè)式子，知一可求二，轉(zhuǎn)化公式

為(sin?！纁os0)2=l±2sinHeosa體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

【例】已知sina—cosa=半，貝Usin2a=.

答案：f2

、2

解析：由題設(shè)知(sina—cosa)2=1—2sinacosa=1—sin2a,/.sin2a=1.

2.［數(shù)學(xué)結(jié)論］同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的幾種變形

(1)sin2a=1-cos2a=(1+cosa)(l-cosa)；

cos2a=1—sin2a=(l+sina)(l—sina)；

(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

(2)sina=tanacosa(。當(dāng)+kn,&wZ).

,2sin2atan2aK.

(3)sin-a=sin2a+c°s2a='^TT(a專(zhuān)+E'0)；

,cos2a1,,，“、

(z有十攵兀，攵￡

cosa=s_m~za+.cos—za=~~tanJz~aF+T1a2Z)?

3.［學(xué)以致用］常用的互余和互補(bǔ)的角

互余的角三一a與,+a;g+a與*-a;京+a與卜一a等

互補(bǔ)的角三+8與竽一（9；￡+9與乎-6等

對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利

用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.特別要注意每一個(gè)角所在的象限，防

止符號(hào)及三角函數(shù)名出錯(cuò).

7T227r

【例】已知cos#—G）=W，求sin（a—g~）的值.

解：（法一）因?yàn)閟in（a—華）=-sin（專(zhuān)-a）

=-sin[兀-q+a)]=—sin(§+a)

兀2兀TC2兀71717T2

(法二—以+[-§=_],所以sin(a—~^")=sin[—2~(^-?)]=_cos(^—?)=-

對(duì)點(diǎn)

1.1=易食修l斷八1化…間cos勺/I市—si就na+,澗.勺/I不—co高sa(於3行兀/口厝)

A.sina+cosa-2B.2—sina-cosa

C.sina-cosaD.cosa-sina

答案：A

(1-sina)2,/(1-cosa)21—sina,

解析:原式9

=cos------c--o9sa----+--s-i-n----a\Al/-----s-m-~-a---------=--c-o--s---a---|c-o-s--a-\--r+

3、

sina9xkg.，因?yàn)樨Ｘ＃詂osa<0,sina<0.所以原式=—(1—sina)一

(1-cosa)=sina+cosa_2,故選A.

【易錯(cuò)點(diǎn)撥】不會(huì)對(duì)式子變形，且不注意角的范圍出錯(cuò).

「,3sina-cosa

2.已知tan?=2,則sina+2cosa=()

5

B.

4

5

C.|D.

3

答案：A

解析：原式=^￡=9^=1

tana+22+24

jr2021jr

3.［模擬演練］（2022?山西省臨汾市模擬）已知sin（4—a）=￥，貝Ucos（2a+—-）

的值為（）

A.gB.；

C-D-

答案：B

2021兀71TC71

解析：cos(2a+-""")=cos(2a+674?！?=cos(g-2a)=1-2sin2(^—a)=1—

2x(坐)2=；.

TTCOQH

4.［真題體驗(yàn)］(2021?全國(guó)甲卷)若。￡(0,2),4n2a=.$出屋則tana=()

A.fB雪

c坐D.平

答案：A

解析：」an2a=答為

sin2a2sinacosacosa

tan2a=

cos2a1—2sin2a2—sina9

71

V?E(0,2)，*'?cosa^O,

.2sina______］

解得sina=j,

1—2sin2a2—sina'

sinaV15

tana=

cosa~~15

爭(zhēng)國(guó)力瑁ED核心突破課堂學(xué)案

特訓(xùn)點(diǎn)1同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用【多維考向類(lèi)】

方法教練.....研典例導(dǎo)解法

考向1知一求二問(wèn)題

典例1已知cos（a一分=一2|^,竽），則tana=（）

A.2B.|

C.1D.g

［解題指導(dǎo)］

3兀

首先根據(jù)誘導(dǎo)公式可得sina-根據(jù)ae(7i,學(xué))和同角三角函數(shù)關(guān)系一可求出

cosa—■求出tana的值.

答案：A

初七匚../兀、.2迅「,3兀、

解析：.cos(a-5)=sma=-5，a?(無(wú)，

.r.------^5.sina

..cosa——sm/x=一七,..tana--------2.

v