江蘇省海安中學2017-2018學年高一4月底月數(shù)學試題（創(chuàng)新班）

階段檢測三高一創(chuàng)新班數(shù)學試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．1．已知復數(shù)z滿足(1＋i)z＝1＋eq\r(3)i(i是虛數(shù)單位)，則|z|=▲．2．已知向量，，則▲．3．集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{2}，則A∪B=▲．4．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)=▲．5．一個高為的圓錐，底面周長為2π．該圓錐的表面積為▲．6．將函數(shù)的圖象向左至少平移▲個單位可得到函數(shù)的圖象．7．若函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為▲．8．設是等差數(shù)列{an}的前項的和．若，，則a7的值為▲．9．已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P(x0，y0)滿足0＜eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)＜1，則PF1＋PF2的取值范圍為▲．10．在銳角△中，若，，依次成等差數(shù)列，則的值為▲．11．在平面直角坐標系xOy中，若直線：與圓：相切，且圓心在直線的上方，則的最大值為▲．12．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則p=▲．13．已知實數(shù)x，y滿足設，則z的取值范圍是▲．（表示a，b兩數(shù)中的較大數(shù)）14．若冪函數(shù)(a)及其導函數(shù)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性一致(同為增函數(shù)或同為減函數(shù))，則實數(shù)a的取值范圍是▲．二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分14分）如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=2．M，N分別是線段BC，CD的中點，P是長方形ABCD（含邊界）內(nèi)一點．（1）求sin∠MAN的值；（2）求的取值范圍．16．（本題滿分14分）ABCPD（第16題）如圖，在四棱錐ABCPD（第16題）（1）求證：平面平面；（2）若平面，求證：平面．17．（本題滿分14分）QABTSOxPy（第17QABTSOxPy（第17題）與x軸的兩個交點（點B在點A右側(cè)），點，x軸上方的動點P使直線PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差數(shù)列．（1）求證：動點P的橫坐標為定值；（2）設直線PA，PB與圓O的另一個交點分別為S，T．求證：點Q，S，T三點共線．18．（本題滿分16分）如圖，某機場建在一個海灣的半島上，飛機跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60°(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點B到海岸線的距離BC=4eq\r(3)km．D為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點，設CD＝xkm（x＞eq\f(9,4)），點D對跑道AB的視角為θ．（1）將tanθ表示為x的函數(shù)；（2）求點D的位置，使θ取得最大值．19．（本題滿分16分）設數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前n項和為，求；（3）判斷數(shù)列中是否存在三項成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．20．（本題滿分16分）已知函數(shù)．（1）過點（e是自然對數(shù)的底數(shù)）作函數(shù)圖象的切線l，求直線l的方程；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]（m>0）上的最大值；（3）若k∈Z，且對任意x>2恒成立，求k的最大值．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0．69，ln3≈1．10）

答案1.【答案】2.【答案】43.【答案】{1，2，3}4.【答案】35.【答案】3π6.【答案】7.【答案】18.【答案】139.【答案】[2，2eq\r(2))10.【答案】311.【答案】12.【答案】213.【答案】14.【答案】15.解：如圖，以點A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，yx（第15題）BCDNMPA（1yx（第15題）BCDNMPA，，所以，因為，所以．（7分）（2）設P（x，y）則，，所以，因為所以，所以，所以，即的取值范圍是．（14分）16.證明：（1）因為為二面角的平面角，所以，，（2分）又，平面，所以平面，（5分）又平面,故平面平面；（7分）（2）由（1）得，平面，又平面，所以，（10分）又平面，平面，所以平面．（14分）17.【證】（1）由題設知，．設，則，．因為kPA，kPQ，kPB成等差數(shù)列，所以2kPQ=kPA＋kPB，即，由于，所以，即證；（7分）（2）由（1）知，，．直線PA的方程為，代入得，于是點S的橫坐標，從而．同理可得．（11分）因為，，所以直線QS和直線QT的斜率相等，故點S，T，Q共線．（14分）18.解：（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．由題知，AB＝4．5，BC＝4eq\r(3)，∠ABF＝90°－60°＝30°，所以CE＝AF＝4．5×sin30°＝eq\f(9,4)，BF＝4．5×cos30°＝eq\f(9,4)eq\r(3)，AE＝CF＝BC＋BF＝eq\f(25,4)eq\r(3)．因為CD＝x(x＞eq\f(9,4))，所以tan∠BDC＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(4\r(3),x)．因為ED＝x－eq\f(9,4)，tan∠ADC＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(\f(25,4)\r(3),x－\f(9,4))＝eq\f(25\r(3),4x－9)(如圖1)．（4分）所以tanθ＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝eq\f(\f(25\r(3),4x－9)－\f(4\r(3),x),1＋\f(25\r(3),4x－9)·\f(4\r(3),x))＝eq\f(9\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)，其中x＞eq\f(9,4)．所以tanθ＝eq\f(9\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)，x＞eq\f(9,4)．（8分）（2）由（1）知：tanθ＝eq\f(9\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)＝eq\f(9\r(3),4(x＋4)＋\f(400,x＋4)－41)，x＞eq\f(9,4)．（10分）因為4(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41≥2eq\r(4(x＋4)·\f(400,x＋4))－41＝39，當且僅當4(x＋4)＝eq\f(400,x＋4)，即x＝6時取等號，所以當x＝6時，4(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41取最小值39．所以當x＝6時，tanθ取最大值eq\f(3\r(3),13)．（14分）由于y＝tanθ在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，所以當x＝6時，θ取最大值．答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大．（16分）19.解：（1）1°當n1時，，解得．（2分）2°當n≥2時，，即．因為，所以，從而數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．（5分）（2）因為，所以，故數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，從而，(7分)而，所以．(10分)（3）假設中存在三項成等差數(shù)列，不妨設第m，n，k（mnk）項成等差數(shù)列，則，即．(12分)因為mnk，且m，n，k，所以n+1≤k．令（），則，顯然在上是增函數(shù)，所以，即，所以，所以，其左邊為負數(shù)，右邊為正數(shù)，故矛盾，所以數(shù)列中不存在三項成等差數(shù)列．(16分)20.解：（1）設切點為，則，因為，所以，因為切線過點，所以切線方程為，①代入切點得，，解得，代入①得直線l的方程為：，即直線l的方程為：．（4分）（2）由得，，所以當x∈（0，）時，，當x∈（，+∞）時，，所以是極小值，因為恒成立，所以分如下兩種情況討論：1°當時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上是增函數(shù)，則，2°當時，函數(shù)f（x）